處理指對混合題型的進階利器-同構(gòu)法

處理指對混合題型的進階利器一一同構(gòu)法同構(gòu)不等式(等號成立時，稱為同構(gòu)方程)朧工二「十加)J產(chǎn))。二即L\x+Inx-Inxe'j大-Inx-In-...這些變形新寵是近年來因為交流的頻繁而流傳開來的.對解決指對混合不等式問題，如恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，都帶來極大的便利.一、變形基本功留工對下列不等式或方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應的同構(gòu)函數(shù).(1)log2X—H寸>0;(2)e2AT—[Ln-Jx3口(3)x2Inx—之。(4)"(修附II)>2j-IiInx；(5)(7In(x—1)+2 —1)evx+2erx+￡/Inx+ (jc>1).「-2x-\nx=O.x2qx+lux—0.群壽;(1)log,x-k*2^>0<^>xlog2x>kx^2^o(log2x)2%，>kx-2hcif(x)=x-2xx2lux—meT^()<=>jcInx>—cx<=>lux+In(hix)之一+In一,c(em+1)>2<=> +cix>2x2inx4-2Inx—x2Inx2+Inx2<(x)—xc*-fx.nIn(x—1)+2(x—I-4- 111(#一I)■+-2(工一1)>。Inu*I2已"/(x)=gInxl2.xjc+ijln.v+c~x> <=>.￥+c-57>/-InV7o"'一山—*三/一In.dr/(x)=x—Inx.e-r-2jc—Inx=()<=>e-T—jr=jr+liix<=>e~T十lne-T=x十lux1/(x)=x-fInx.二、唯有套路得人心/V2若充M壬意*恒有q十］）互2（X十*In“，貝”實數(shù)門的最小值為-笛密「口（。不+1）之2（工+工Inx■e^>辦（皂謝+Q>（/之+I）Inx2oU+1）In/>（x2+l）ln/r令/（*）=（x十l）lnx,貝U/'（*）=Inx十,/g=n易知/'（*）在（Ql）上遞減，在（L十s）上遞增，所以/〈X）三/「（1）=2AU.所以?。üぃ┰冢⑹?）單調(diào)遞增。貝U（々6十l）lne*三（十+l）lnX2o/（b）±_/（r2）u>e^r立x* >i2Injcci之一舊”,JC由導數(shù)法易證勁HM三，Xc所以門三.由X—]n（x—】）三h—（h—N）=2./jffUXIncj<2,艮|3彳導nv*ve±.兩4對任意jta。,不等式2<7C2'—Inx-i-In>0恒成立則實數(shù)。的最小值為.斛物.-2<7e2v—luX+In<r之O<^=>2門啟nt lnA<=>2A■e"*之—In—（>O）ct act<=>2x十In2.x>In--i-InIn— >a）.由于‘（》）=x+h】K為增函數(shù)，所以由/（2?三/（加方），彳導2xtln,，良口"之5■'恒成立令用（工）=言，則/⑺=三=，鋼6.日矢口還數(shù)了（工）=小In（工十I）—3a:—3,若不等式/（*）a7w.Y-3ev在（（）,-4-00）上恒成立，則實數(shù)切的取值范圍星（ ）A.UM/??三3 H.卡打蘭M C?.m3 L>.mO毒鈣；"？In（#+1）—3（工4-1）>/ttx—3c*=ntInc、—3e-tr令/（尤）=桃111萬一3工f由g（工+I）>^（ev）,目.Ivx卜Ivu1知g（x）在（L+8）為減函數(shù).所以K工）=%—3W。="?二3工=>?"W3.故選C.留，已知函數(shù)了（工）一口及工—Injc-1,證明：當口之工時，/（x?0.季即」當<7>2—日寸,f（5V）>- 111J€—\t所以只需證明*-Inx-1三O.由于- 1門％—1之O<=>c'三cInovxe">exlnejrAeT之elnavInex令M（x）=由才（x）=e>（x+1）a0矢口wO）為增函數(shù),又易證k之In.e.r=In-r+1,^FrUZg（*）= ,的旦已矢口是剪繳/(*)— -+mx—2白勺等點.貝U曰二7口_|_1nK心— 留9一已矢口函數(shù)，(x)=InM—%+1,g(X)="xc，—4工1具中白>0,求證：^(x)—2/'(x)>2(In?—In2).證幽：g(,k)—2r(x)=axe"0—4.x—2(hljc—jc-\-1)—axe*—2(Inx+xh-1)—axu*—2Inxcv—2,令人(/)=必一2M］一2,貝(J〃(/)=0—?= 2,易矢口內(nèi)(，)之內(nèi)—=—2In—=2(In￡7—Ln2),古攵g(x)—2/(x)>2(Inl7—In2).

需布jjrc^-1—Inx—ax—'s1—(In,x+me)之(Inx+ctx]—(inx+ex)—0(利用了eJ之*)等號成立的條件是In*十4-1,即"—匕電二有解x令g(x)=T^,貝易得€(”「￡(1)--土?故"的最小值為-電工工,已矢口苗婁攵f（-V）—x（e*K一c）,巖，/（x）三1+X+Inx求"白勺取值拒圍.(e"—c)之1+x+lnx斛新,f(x)>1+x(e"—c)之1+x+lnxe?*+e*—Y—x—inx^axo———2*+In*由于c“一Inx2x+Injv+1—1—2*+In*由于c 之 =1,當日僅當2#+lnx-0等號成立，所以aEl.例 已矢口/（工）=xex-ax2,g（^）=lnx+x-x2-\-l--taa>0f若力（%）=/（九）-ag（無）20恒成立，求實數(shù)夕的取值范的已知函數(shù)/(*)=JMxlnx,若關(guān)于工的不等式f(x}之工-1在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)m的取值集合是■春看j{1}解分/陽xlnx之1-1恒成立,又等價于///--In—>——1,即m1口尤<重一1怛成立XXX根據(jù)In工<X-1恒成立,可知m二1.令g(/)="e21n/+e(皂e),則/(/)=「?=/易知g(t)>g(e2)=e2-2c2+e2=0,又0<a<e?時,/-t?lnz+e2>r-e2In/+e2=g(￡).所以0<aMe"時，f(x)+e2>0.俐?5.證明:H>0,xln(x2+x)2俐?5.證明:H>0,evx+1xt1圖上&已知口a。,函數(shù)J(")=心*-〃—ln(.r-b1)-l(x>0)白勺最小值為0.則實數(shù)。的取值范圍是()A.［。［BI)eg}C°解新；/(x)=匕"一"—ln(x+dr)—1X一。十1一(JV十￡7—1)—1—1-2iV—0j當且僅當Jx—)即太"時等號成立，A：-+<7=1, 2 2所以。=3.答案選C.10

三、再來一個系列例”.完成下列各問(1)已知/(m)=lnx+x-xeT+],則函數(shù)/(x)的最大值為◎微佶公眾號：值為◎微佶公眾號：感學為將(2)函數(shù)〃x)-士廠的最小值是;(3)函數(shù)/(x)=(x+lnx+l)e-v-a：的最大值是(4)函數(shù)/⑺=Le；+；口”的最小值是.水詈」(1)-2； (2)1； (3)0； (4)1舒布/fl:/(t)=liiA*+x-xeY+1=x+lnx-e"“3f由于X十In九一1+■"】＜x-FInx-(x+Inx+2)=-2,當且僅當#+]nxt1-0時等號成立，所以/(必三-2.Q)f(x)Q)f(x)=eInx+1xex-In-1'"t—Inx—1x+Inx+1—Inx—1當且僅當"Int=0時等號成立.11俐工8完成下列各問(1)已知函數(shù)/(%)-xex-a(^x+Inx),若之0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是；(2)已矢口函數(shù)/(x)-xer-￡7(x+In^H-1),若/(x)>0恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是；(3)已矢口函數(shù)/(x)—xe"+u—口(X+lux+1),若了(“小)恒成立，則正數(shù)。的取值范圍是；12(7)已矢口函數(shù)/(x)—ad”—hix—】j若/(無)之0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是；(8)已知不等式e，-1之辰+In#,對V#丘(On~H>o)恒成立，則4的最大值為；(9)若不等式ax+xe-HT-hix—130又寸x>0恒成立『則實數(shù)a的取值范圍是；水素」(1)()<a<e；(2)0<a<］；⑶0<￡?<e(4)a<\； (5)a<b； (6)a>~； (7)^>—e 2e(8) ； (9) -Ie13(2)/(x)A0=xeT- +lnx+1)>0oe-T+hi-T>￡7(x+lnx+1),當x+Iun+IMO時/原不等式恒成立;x-l-lnjc當片+1iia?+l>0時，a< x+Inx+1?ex+lnx+11由于 > =Lx+Inx+1x+Inx+1當且僅當工十hM=0等號成立，所以。＜1.14xex—hix<=>a< *+1由于尤e*-Inx_巳*+出*-Inx>x+Inx+1-liix所以「ML『5/J(x)—O,Y^ev》aIn工+*+1當目/又當x+石In*—0等號成立,所以白二石.15/77ac2x-lnx-l>0<?<7>用1,由于e2T>e-2xf兩者都是當且僅當工-1imilnx+1 imilnx+1 x成U,貝U——>—-e