二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題-教師版

二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題班級(jí)：姓名：專題攻略相似三角形的判定定理有3個(gè)，其中判定定理1和判定定理2都有對(duì)應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對(duì)應(yīng)角相等.判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步:尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn).應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對(duì)應(yīng)角相等.應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例列連比式解方程(組).例題解析例如圖1-1,拋物線y=1X2-3%+4與％軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，與78 2y軸交于點(diǎn)C動(dòng)直線EF(EF//x軸)從點(diǎn)C開始，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸負(fù)方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).是否存在K使得△BPF與^ABC相似.若存在，試求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.八Y\C圖1-1【解析】△BPF與^ABC有公共角/B，那么我們梳理兩個(gè)三角形中夾/B的兩條邊.3ABC是確定的.由y=1X2--X+4，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4).82于是得到BA=4,BC=4<5.還可得到CE=CO=1.EFOB2BPF中，BP=21,那么BF的長用含t的式子表示出來，問題就解決了.在母△EFC中，CE=t,EF=21,所以CF=<5t.因此BF=4<5-<51=v'5(4-1).于是根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,分兩種情況列方程：①當(dāng)B±=BP時(shí)，=——.解得t=4(如圖1-2).BCBF 4%：5%5(4-1) 3②當(dāng)B±=BF時(shí)，上=亙4二。.解得t=竺(如圖1-3).BCBP 4<5 2t 7

圖1-2 圖1-3例如圖2-1,在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)求這條拋物線的解析式；(2)連結(jié)OM，求ZAOM的大??；(3)如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與^AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo).圖2-1【解析】△ABC與^AOM中相等的一組角在哪里呢？本題由簡(jiǎn)到難，層層深入.第(1)題求出拋物線的解析式，得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，為第(2)題求ZAOM的大小作鋪墊；求得了/AOM的大小，第(3)題暗示了要在A4BC中尋找與ZAOM相等的角.(1)如圖2-2,過點(diǎn)A作AH±y軸，垂足為H.容易得到A(-1,<3).再由A(-1,門)、B(2,0)兩點(diǎn)，可求得拋物線的解析式為y==x2-手x.（2）由y=立x2-空x=立（x-1）2-亙，得頂點(diǎn)M（1,-立）.^3 ^3 ^3 ^3 ^3所以tan/BOM=——.所以ZBOM=30°.所以ZAOM=150°.3MM圖2-2(3)由A(-1,*；3)、B(2,0),可得ZABO=30°.因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，ZABC=ZAOM=150°.所以△ABC與^AOM相似，存在兩種情況：①當(dāng)BA=OA.=,、"時(shí)，BC=絲='3=2.此時(shí)C(4,0)(如圖2-3).BCOM <3 <3②當(dāng)BC=OA-=<3時(shí)，BC=*3BA=33x2c3=6.此時(shí)C(8,0)(如圖2-4).BAOM圖2-3 圖2-4例 如圖3-1,拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為C.(1)求此拋物線的解析式；(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過M作MN±x軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖3-1【解析】△AMN是直角三角形，因此必須先證明4BCD是直角三角形.一般情況下，根據(jù)直角邊對(duì)應(yīng)成比例分兩種情況列方程.(1)拋物線的解析式為y=-x2+4x-3.(2)由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,得D(0,-3),C(2,1).如圖3-2,由B(3,0)、D(0,-3)、C(2,1),可知/CBO=45°,ZDBO=45°.所以/CBD=90°,且BC=上2=1.BD3<23圖3-2 圖3-3 圖3-4設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為％，那么NM=-yM，而NA的長要分N在A的右邊或左邊兩種情況，因此列方程要“兩次分類”：

當(dāng)N在A右側(cè)時(shí)，NA=x—1,分兩種情況列方程:①當(dāng)NA二殷二3時(shí),

NMBC②當(dāng)迫二生」時(shí)NMBD3 =3.解得x①當(dāng)NA二殷二3時(shí),

NMBC②當(dāng)迫二生」時(shí)NMBD3(x-1)(x-3) 3 3 9x1 1一x =—.解得x=6.此時(shí)M(6,—15)(如圖3-5).(x-1)(x-3)3當(dāng)N在A左側(cè)時(shí)，NA=1—x，也要分兩種情況列方程:①當(dāng)NA=BD=3時(shí),

NMBC②當(dāng)獨(dú)二二=1時(shí)NMBD3一①當(dāng)NA=BD=3時(shí),

NMBC②當(dāng)獨(dú)二二=1時(shí)NMBD3(x-1)(x—3) 31—x1 x-=—.解得x=0,此時(shí)M(0,—3)(如圖3-6).圖3-5圖3-6(x-1)(x-3) 3圖3-5圖3-6例如圖4-1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(8,0),B(0,6),點(diǎn)C在x軸上，BC平分NOBA.點(diǎn)P在直線AB上，直線CP與y軸交于點(diǎn)F如果△ACP與^BPF相似，求直線CP的解析式.圖4-1【解析】首先求得點(diǎn)C(3,0).^ACP與^BPF中，相等的角在哪里啊？①如圖4-2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，△ACP與^BPF中，/APC與NBPF是鄰補(bǔ)角，如果這兩個(gè)鄰補(bǔ)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角，兩個(gè)三角形怎么可能相似呢？因此CP與AB是垂直的.可以求得F(0,—4),于是直線CF(CP)為y=4x-4.3②如圖4-3,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時(shí)，"CP與^BPF有公共角NP.于是NOFC=NPFB=NA，可以求得F(0,4),因此直線CF(CP)為y=-4x+4.3③如圖4-4,當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，NB與NPCA不可能相等.在"OB中，根據(jù)大邊對(duì)大角，NB>NBAO；NBAO又是△PCA的一個(gè)外角，NBAO>NPCA.

圖4-2 圖4-3 圖4-4例如圖5-1,二次函數(shù)y=%2+3%的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,a)，線段AD平行于％軸，交拋物線于點(diǎn)D.在y軸上取一點(diǎn)C(0,2),直線AC交拋物線于點(diǎn)B,連結(jié)OA、OB、OD、BD.求坐標(biāo)平面內(nèi)使△EOD^AAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo)；圖5-1圖5-1【解法一】點(diǎn)A、D、B都是確定的，可以求得A(1,4),D(-4,4),B(-2,-2).所以AO=<17,BO=2<2,AB=3<5,DO=4<2.△EOD-△AOB，對(duì)應(yīng)邊已經(jīng)確定，因此我們可以根據(jù)判定定理3列方程.,EOODDEmEO4<2DE由==,得一==——=—=.所以EO=2%17,DE=6\5.AOOBBA4172<23v5 一―.I%2+y2=68.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(%,y),根據(jù)EO2=68,DE2=180,列萬程組| 解I(%+4)2+(y-4)2=180.%1y1=8,=%1y1=8,=-2,y=-8,2所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,-2)或(一2,8).上面的解題過程是“盲解”，我們并不明白兩個(gè)三角形的位置關(guān)系.【解法二】如圖5-2,△AOB是確定的，△AOB與^EOD有公共點(diǎn)O,OB:OD=1：2,ZBOD=90°.如果△EOD。^AOB,我