地下水溶質(zhì)運(yùn)移理論及模型讀書報(bào)告

《地下水溶質(zhì)運(yùn)移理論及模型》讀書報(bào)告0、前言本書作者陳崇希教授，浙江溫州人士，生于1933年10月，1956年畢業(yè)于北京地質(zhì)學(xué)院水文地質(zhì)及工程地質(zhì)專業(yè)。教授、博士生導(dǎo)師?，F(xiàn)任中國地質(zhì)大學(xué)環(huán)境地質(zhì)研究所所長?！端牡刭|(zhì)、工程地質(zhì)》、《勘察科學(xué)技術(shù)》與《地球科學(xué)》雜志編委。湖北省地質(zhì)學(xué)會(huì)名譽(yù)理事。長期從事地下水滲流理論，地下水?dāng)?shù)值模擬技術(shù)，地下水資源評價(jià)與管理，地質(zhì)環(huán)境保護(hù)及地質(zhì)災(zāi)害防治等方面的教學(xué)與科研工作；主持過“五五”、“八五”、“九五”國家科技攻關(guān)，國家自然科學(xué)基金等各類的科研項(xiàng)目31項(xiàng)；以第一作者身份獲獎(jiǎng)的有：省部級科技進(jìn)步三等獎(jiǎng)2項(xiàng),二等獎(jiǎng)3項(xiàng)，部優(yōu)秀教材2等獎(jiǎng)1項(xiàng)，國家科技進(jìn)步三等獎(jiǎng)1項(xiàng)。獨(dú)著或以第一作者合作的著作有《地下水動(dòng)力學(xué)》、《地下水流動(dòng)問題數(shù)值方法》、《地下水溶質(zhì)運(yùn)移理論及模型》、《地下水混合井流的理論及應(yīng)用》和《地下水不穩(wěn)定井流計(jì)算方法》等七部，發(fā)表的論文有《用數(shù)值一解析法預(yù)測毛里塔尼亞伊迪尼水源地地下水開釆動(dòng)態(tài)》、《濱海多含水層系統(tǒng)地下水開釆一一水環(huán)境系統(tǒng)若干問題》等40余篇。1997年獲地質(zhì)礦產(chǎn)部“八五”科技工作有突出貢獻(xiàn)先進(jìn)個(gè)人。1992年獲政府特殊津貼。培養(yǎng)碩士生18需，博士生13名。是中國地質(zhì)大學(xué)211工程建設(shè)《地質(zhì)環(huán)境保護(hù)及地質(zhì)災(zāi)害防治》學(xué)科群的首席科學(xué)家。該書是陳教授在“多孔介質(zhì)水動(dòng)力彌散理論及水質(zhì)模型”的講稿基礎(chǔ)上修正補(bǔ)充而成，分7章進(jìn)行敘述。《地下水溶質(zhì)運(yùn)移理論及模型》書中主要分三個(gè)方向：水動(dòng)力彌散（微分）方程、水動(dòng)力彌散（微分）方程的解及水動(dòng)力彌散系數(shù)的計(jì)算。通過對本書的閱讀，現(xiàn)就關(guān)于水動(dòng)力彌散方程的解的做一下簡單介紹。水動(dòng)力彌散方程的解法主要分為水動(dòng)力彌散方程的解析解法和數(shù)值解法。本書第四章，重點(diǎn)介紹以基本解為基礎(chǔ)，給出一、二、三維的解析解；第六章介紹了數(shù)值解，主要是利用有限差分和有限元法來求一、二維的解，并給出一些修

正過的數(shù)值解法。1、對水動(dòng)力彌散方程的解析解法的理解盡管解析解法在求解復(fù)雜的水動(dòng)力彌散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。室內(nèi)或野外試驗(yàn)都要根據(jù)解析解的實(shí)用條件來進(jìn)行設(shè)計(jì)，并用解析解去擬合觀測資料以求得水動(dòng)力彌散系數(shù)。解析解中將瞬時(shí)注入點(diǎn)源問題的解稱為基本解。由基本解出發(fā)，利用疊加原理導(dǎo)出線源、面源、多點(diǎn)源及連續(xù)注入問題的解。因此，點(diǎn)源問題的解是一切解的根本，需十分重視。(1)空間瞬時(shí)點(diǎn)源的解其基本條件是：①均質(zhì)各向同性介質(zhì)；②靜止流場"=0,彌散系數(shù)為常數(shù)，流體密度為常數(shù)(卩=常數(shù))；③f=0時(shí)，在原點(diǎn)處瞬時(shí)注入溶質(zhì)的質(zhì)量為〃7。以瞬時(shí)點(diǎn)源的位置為原點(diǎn)，可以得出濃度C是相對于原點(diǎn)對稱的?？珊喕黾儚浬⒎匠蹋弘?yún)“竽+寥+賀otdx^雲(yún)“竽+寥+賀otdx^ovdx-dy~dz'式中，D代表多孔介質(zhì)的分子擴(kuò)散系數(shù)。該式可看出，是球?qū)ΨQ的，有利于純彌散方式的應(yīng)用討論。取半徑為R和R+dR的兩個(gè)球面所構(gòu)成的單元體為均衡段，根據(jù)質(zhì)量均衡有:Wm?從—Wm?丿C式中，W為球面積；n為有效孔隙率；Jd為彌散通量，且為均衡oR段空隙體積。忽略高階微量，化簡后得：dC八16心——=D>—?——(/?■——)

dt&ORdR于是該點(diǎn)源的定解問題可以寫成：dtR2dtR2dR[oR(R^O,t>0)(R>0)c(5“=o(R>0)C(M)|"=OC(M)|"=O(t>0)C(M)|"=OC(M)|"=O(t>0)cw)|g=o(t>o)『C?〃?4欣'dR=m(t>0)(該式將點(diǎn)源處濃度限制在有限區(qū)域)通過Boltzmaim變換，將原來的偏微分方程定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠潭ń鈫栴}，可求得空間瞬時(shí)點(diǎn)源的解為：C(R、t)=e山Sn(^Dt)2從上式可得出：①等濃度面為圓心位于原點(diǎn)處的球面；②任何時(shí)候的濃度最大值都在原點(diǎn)處，且隨著時(shí)間的增加，原點(diǎn)處的濃度減小。⑵空間瞬時(shí)無限線源解空間瞬時(shí)無限線源的作用可看著點(diǎn)源的連續(xù)分布，因考慮到點(diǎn)源基本解的微分方程是線性的，故采用疊加的方法，即積分法，可得空間無限線源的基本解為：從上式可看出，濃度C與z無關(guān)，即在z方向不產(chǎn)生彌散問題。也就是說我們可以將空間上的無限線源彌散問題轉(zhuǎn)化成小平面上的二維彌散問題。于是，該解也可為平面瞬時(shí)點(diǎn)源問題的基本解。⑶空間瞬時(shí)無限面源的解根據(jù)點(diǎn)、線、面的構(gòu)成原理，同理，可將空間無限面源看成是無數(shù)連續(xù)排列的無限線源組成，通過對無限線源的積分，可以得出空間無限面源的基本解為:叫-二C(X，O=—€4"2nyl7d)t從上式可看出：y與z無關(guān)，也就是說上述定解問題實(shí)質(zhì)上是一維彌散問題。以上解都是沒有邊界限制的，若加上邊界，便成了有限空間問題。若邊界簡單，則可利用類似于水流問題中的反映法，將其變成無界問題，然后再采用疊加方法求出所需求的解。C(sJ)=OC(sJ)=Ot>0（4）一維穩(wěn)定流下水動(dòng)力彌散問題的解本章中水動(dòng)力彌散問題都是在一維穩(wěn)定流情況下討論的，分為一、二、三維水動(dòng)力彌散問題的解。I、一維水動(dòng)力彌散問題與一維瞬時(shí)點(diǎn)源問題相近，初始條件與邊界條件都相同。只是在示蹤劑瞬時(shí)注入時(shí)，設(shè)其原有溶液濃度Co=O,并有速度"穩(wěn)定流動(dòng)，求濃度C（x,0的分布，從而造成一維水動(dòng)力彌散問題比之多了一個(gè)對流項(xiàng)。本書中，釆取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（按X=x-ut\利用一維瞬時(shí)點(diǎn)源問題的解，消去對流rn/{x-my項(xiàng)，令Xn、T=f°將新變量X、T反變換后得到：C（x,/）=—幺盹"當(dāng)一維水動(dòng)力彌散問題里初始濃度成階梯狀分布，即形成一維穩(wěn)定流動(dòng)一維水動(dòng)力彌散問題，其數(shù)學(xué)模型可寫成：竺t莊dtdxego〉工ego〉工VO"0C(—ooJ)=Cqt>0C(oo」)=C\t>0我們可以通過利用點(diǎn)源的基本解進(jìn)行積分，再令X=x-ut,用換元法對它m/（e尸進(jìn)行簡化，得出：g）=孑e科而在半無限，一端為定濃度邊界的限定情況下，一維水動(dòng)力彌散問題的數(shù)學(xué)模型為：dCd^CdCx>0t>0——=D]—--u——

dtLdx2x>0t>0C(x,O)=0C(°J)=

該模型通過Laplace變換，并利用邊界條件，換元法可得出該定解問題的解：才押(驕吋瓦叫勝)’當(dāng)俺夠大或t足夠長時(shí)，該式為II、二維水動(dòng)力彌散問題中，注入平面瞬時(shí)點(diǎn)源時(shí)，同樣可利用平面瞬時(shí)點(diǎn)源的基本解，通過換元等一系列轉(zhuǎn)化、積分求得所求之解。只是必須清楚該問題在假定條件上有新的變化：①為一定值，流體非靜止②水動(dòng)力彌散系數(shù)為各向異性。通過一定關(guān)系的轉(zhuǎn)化，得出該問題的解：y2C(x,y,r)=叭JM4如+耐C(x,y,r)=47r^DLDTt當(dāng)注入平面連續(xù)點(diǎn)源時(shí)，可將連續(xù)點(diǎn)源的作用看為無數(shù)瞬時(shí)點(diǎn)源之和，通過疊加原理，積分求得解：C(x,y,t)=XH17iMn^DLDT式中,7yirx^2K°(0)—W(C(x,y,t)=XH17iMn^DLDT式中,7yirx^2K°(0)—W(7yiry^irtK°(0)為第二類零階修正貝賽爾函數(shù),為第一類越流系統(tǒng)井函數(shù)當(dāng)時(shí)間足夠較長時(shí)，上式可簡化為:c(兀y)c(兀y)=，此式也是計(jì)算水動(dòng)力彌散系數(shù)常用的公式之一。對于擬穩(wěn)定條件下示蹤劑的徑向彌散，通常以井為中心，通過達(dá)西定律求出其平均速度，在極坐標(biāo)下建立二維彌散方程，并利用復(fù)變函數(shù)理論求出其精確解，貝爾給出該定解問題的近似解為：

（常用于確定實(shí)測的縱向彌散度乙）（常用于確定實(shí)測的縱向彌散度乙）IIL三維水動(dòng)力彌散問題中，對于空間瞬時(shí)點(diǎn)源，其彌散系數(shù)D是各向異性,且屬于二度各向異性，若要利用前面基本解的結(jié)果（各向同性），就需進(jìn)行相應(yīng)的坐標(biāo)變換，得到該問題的解為：&詒d]d乎4DlIADyt可看出:三維水動(dòng)力彌散問題中，濃度C于時(shí)間/的二分之三次方成反比。對比一、二維情況，不難看出，隨著彌散維數(shù)的增加，濃度C的衰減度也加快。根據(jù)濃度空間分布的時(shí)間函數(shù)，等濃度面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的橢球面，其長軸沿x方向。注入空間連續(xù)點(diǎn)源時(shí)，假定注入的是理想示蹤劑。將連續(xù)點(diǎn)源視為無數(shù)的瞬時(shí)點(diǎn)源之和，直接利用空間瞬時(shí)點(diǎn)源的解，利用積分得出解。當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，加（心二A）該問題的解為：曲亠巫員十2、對水動(dòng)力彌散方程的數(shù)值解法的理解數(shù)值解法可以應(yīng)用于復(fù)雜的情況，在實(shí)際應(yīng)用中起著很好的效果?，F(xiàn)就書上出現(xiàn)的數(shù)值解法做一些簡單介紹。（1）有限差分法有限差分法的基本思想是：將研究空間劃分成許多小的網(wǎng)格，把時(shí)間分成許多小段每個(gè)網(wǎng)格中心點(diǎn)處的未知變量視為該網(wǎng)格上的平均值，然后利用差商近似代替微商，形成研究區(qū)域上離散分布的有限個(gè)代數(shù)方程，求解方程組便可得該△/時(shí)刻上各格點(diǎn)上的取值。然后按照一個(gè)個(gè)的&逐個(gè)往前求解。其基本原理：就是將某點(diǎn)處的濃度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用該點(diǎn)處和其n個(gè)相鄰點(diǎn)處的濃度值及其間距近似表示，常通過泰勒展開式建議濃度導(dǎo)數(shù)的近似。其求解地下水動(dòng)力彌散問題的基本步驟：剖分滲流區(qū)，確定離散點(diǎn)；建立水的動(dòng)力彌散問題的差分方程；求解差分方程。I、一維水動(dòng)力彌散的差分解法根據(jù)一維水動(dòng)力彌散方程，根據(jù)差分原理，釆用向前、向后和中心差分3種不同的差分格式進(jìn)行差分，可分別得到顯式、隱式和Ciaiik-Nicolson等3種不同的差分格式。顯式是有穩(wěn)定條件要求的，而隱式和Ciaiik-Nicolson式都是無條件穩(wěn)定的，都可以利用“追趕法”解三對角方程組求時(shí)候的濃度值II、二維水動(dòng)力彌散的差分解法以一維流動(dòng)二維水動(dòng)力彌散方程為依據(jù)，用差分近似代替方程中的偏導(dǎo)數(shù)，同理得到二維水動(dòng)力彌散方程的顯式、隱式和Ciaiik-Nicolson3種不同的差分格式。IIL一、二維水動(dòng)力彌散的差分解法的比較相同點(diǎn)：都釆用類似的差分原理進(jìn)行差分，得到的差分格式的基本類型一致。區(qū)別：一維條件下3種格式采用“追趕法”求解，的三對角線方程組。而二維條件下所給出的三種格式組成的方程組是五對角線方程組。為了避免解五對角線方程組的困難，特提出交替方向隱式法，簡稱ADI方法。它的優(yōu)點(diǎn)是：不是一次對整體矩陣求逆，而是分兩次對三對角線矩陣求逆，這樣就把二維問題簡化為多次解一維問題。⑵有限單元法與有限差分法相同，有限單元法也是根據(jù)區(qū)域剖分和插值方法將水動(dòng)力彌散的定解問題化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解的。本書主要介紹一維穩(wěn)定流場中二維水動(dòng)力彌散問題伽遼金有限單元法，伽遼金有限單元法在伽遼金法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，是伽遼金法與有限單元法的結(jié)合。I、迦遼金法是尋找一個(gè)級數(shù)形式的試探函數(shù)作為微分方程的近似解，并使其滿足給定的邊界條件，并令剩余的加權(quán)積分為零，經(jīng)過積分，最終得出伽遼金方程:ffrnffrndCdNLndCdNLdCdC...,『，竝尸L=1,2,3,…川迦遼金法屬于加權(quán)剩余法，且由于其他加權(quán)剩余法，應(yīng)用更普遍。II、有限單元法用有限單元法求解地下水水動(dòng)力彌散問題，首先要將區(qū)域單元均質(zhì)剖分，常用的單元形狀有三角形單元和矩形單元。本書中介紹的矩形有限元。在單元剖分后，隨即構(gòu)造單元基函數(shù)Nl,且矩形單元滿足：在L結(jié)點(diǎn)處，Nl=1;在其他結(jié)點(diǎn)處，Nl=O.基函數(shù)Nl在各個(gè)矩形單元中都按雙線性規(guī)律變化。IIL伽遼金有限單元法將迦遼金方程與有限元剖分思想結(jié)合起來，就建立了矩形單元的迦遼金有限元方程。最終得出：當(dāng)L為內(nèi)結(jié)點(diǎn)，則Nl二0,故Fl二0;當(dāng)L為第二類結(jié)點(diǎn)時(shí)，仇=+正/"+*石厶4。式中，厶應(yīng)為邊界仏段上的彌散通量；厶4為邊界U段上是彌散通量。（3）修正方法在求解彌散方程中常出現(xiàn)過量和數(shù)值彌散，為克服它們引起的誤差，提高數(shù)值解法的精確性和穩(wěn)定性，本書特提出兒種修正的