高中化高三大題練習(xí)解題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第11練研創(chuàng)新-以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型

高中化學(xué)教學(xué)同步課件專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第11練研創(chuàng)新——以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型題型分析·高考展望在近幾年的高考命題中，以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型時有出現(xiàn).主要以新定義、新運(yùn)算或新規(guī)定等形式給出問題，通過判斷、運(yùn)算解決新問題.這種題難度一般為中檔，多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，考查頻率雖然不是很高，但失分率較高.通過研究命題特點(diǎn)及應(yīng)對策略，可以做到有備無患.?？碱}型精析高考題型精練題型一與新定義有關(guān)的創(chuàng)新題型題型二綜合型函數(shù)創(chuàng)新題?？碱}型精析題型一與新定義有關(guān)的創(chuàng)新題型例1

(1)(2014·山東)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，對函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(diǎn)(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(diǎn)(x，f(x))對稱.若h(x)是g(x)＝

關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.(2)(2014·湖北)設(shè)f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，且f(x)>0.對任意a>0，b>0，若經(jīng)過點(diǎn)(a，f(a))，(b，－f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0)，則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a，b).例如，當(dāng)f(x)＝1(x>0)時，可得Mf(a，b)＝c＝

，即Mf(a，b)為a，b的算術(shù)平均數(shù).①當(dāng)f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的幾何平均數(shù)；②當(dāng)f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)

.解析設(shè)A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c,0)，且三點(diǎn)共線.故可以選擇f(x)＝x(x>0).點(diǎn)評在(1)(2)兩個題目中都出現(xiàn)了一個新定義，即“對稱函數(shù)”和“平均數(shù)”，解答這類題目關(guān)鍵在于解讀新定義，利用定義的規(guī)定去判斷和求解是這類題目的主要解法.變式訓(xùn)練1

(2014·浙江)設(shè)函數(shù)f1(x)＝x2，f2(x)＝2(x－x2)，f3(x)＝

|sin2πx|，ai＝

，i＝0,1,2，…，99.記Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|，k＝1,2,3.則(

)A.I1<I2<I3

B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2

D.I3<I2<I1所以a0＝0，a99＝1.當(dāng)k＝1時，f1(a0)＝0，f1(a99)＝1.因?yàn)閒1(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以I1＝|f1(a1)－f1(a0)|＋|f1(a2)－f1(a1)|＋…＋|f1(a99)－f1(a98)|＝f1(a1)－f1(a0)＋f1(a2)－f1(a1)＋…＋f1(a99)－f1(a98)＝－f1(a0)＋f1(a99)＝1.當(dāng)k＝2時，f2(a0)＝f2(a99)＝0.所以I2＝|f2(a1)－f2(a0)|＋|f2(a2)－f2(a1)|＋…＋|f2(a99)－f2(a98)|＝f2(a1)－f2(a0)＋f2(a2)－f2(a1)＋…＋f2(a50)－f2(a49)＋f2(a50)－f2(a51)＋…＋f2(a98)－f2(a99)當(dāng)k＝3時，f3(a0)＝f3(a99)＝0.所以I3＝|f3(a1)－f3(a0)|＋|f3(a2)－f3(a1)|＋…＋|f3(a99)－f3(a98)|＝[f3(a1)－f3(a0)＋f3(a2)－f3(a1)＋…＋f3(a24)－f3(a23)＋f3(a24)－f3(a25)＋…＋f3(a48)－f3(a49)]×2＝[f3(a24)＋f3(a24)－f3(a49)]×2答案

B題型二綜合型函數(shù)創(chuàng)新題例2

(2014·四川)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合：對于函數(shù)φ(x)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[－M，M].例如，當(dāng)φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx時，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題：①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f(a)＝b”；②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值；③若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，則f(x)＋g(x)?B；④若函數(shù)f(x)＝aln(x＋2)＋

(x>－2，a∈R)有最大值，則f(x)∈B.其中的真命題有________.(寫出所有真命題的序號)解析①因?yàn)閒(x)∈A，所以函數(shù)f(x)的值域是R，所以滿足?b∈R，?a∈D，f(a)＝b，同時若?b∈R，?a∈D，f(a)＝b，則說明函數(shù)f(x)的值域是R，則f(x)∈A，所以正確；取M＝1，則f(x)?[－1,1]，但是f(x)沒有最大值，所以錯誤；③因?yàn)閒(x)∈A，g(x)∈B且它們的定義域相同(設(shè)為[m，n])，所以存在區(qū)間[a，b]?[m，n]，使得f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域與g(x)的值域相同，所以存在x0?[a，b]，使得f(x0)的值接近無窮，所以f(x)＋g(x)?B，所以正確；④因?yàn)楫?dāng)x>－2時，函數(shù)y＝ln(x＋2)的值域是R，所以函數(shù)f(x)若有最大值，則a＝0，答案

①③④點(diǎn)評此類題目包含了與函數(shù)有關(guān)的較多的概念、性質(zhì)及對基本問題的處理方法.解答這類題目，一是要細(xì)心，讀題看清要求；二是要熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及其判斷應(yīng)用的方法，掌握基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.變式訓(xùn)練2設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合.若映射f：V→R滿足：對任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，則稱映射f具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________.(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號)解析a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2).對于①，∵f1(m)＝x－y，∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，∴①具有性質(zhì)P.對于②，f2(m)＝x2＋y，設(shè)a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)，又λ是任意實(shí)數(shù)，∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)，故②不具有性質(zhì)P.對于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b).∴③具有性質(zhì)P.綜上，具有性質(zhì)P的映射的序號為①③.答案①③高考題型精練1234567891011121.某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為

萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是(

)A.[4,8]

B.[6,10]C.[4%,8%]

D.[6%,100%]高考題型精練123456789101112解析根據(jù)題意得，要使附加稅不少于128萬元，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8].答案A高考題型精練1234567891011122.若a>b，則下列不等式成立的是(

)解析因?yàn)閍>b，而對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，所以lna>lnb不一定成立；因?yàn)閥＝0.3x是減函數(shù)，又a>b，則0.3a<0.3b，故B錯；高考題型精練123456789101112又a>b，答案D高考題型精練1234567891011123.(2014·山東)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是(

)A.f(x)＝

B.f(x)＝x2C.f(x)＝tanx

D.f(x)＝cos(x＋1)高考題型精練123456789101112解析由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱，且a≠0，A，C中兩函數(shù)圖象無對稱軸，B中函數(shù)圖象對稱軸只有x＝0，而D中當(dāng)a＝kπ－1(k∈Z)時，x＝a都是y＝cos(x＋1)的圖象的對稱軸.故選D.答案D高考題型精練1234567891011124.設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)對任意x1，x2∈S，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2).那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是(

)A.A＝N*，B＝NB.A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C.A＝{x|0<x<1}，B＝RD.A＝Z，B＝Q高考題型精練123456789101112解析對于A，取f(x)＝x＋1，滿足題意.排除法，選D.答案D高考題型精練1234567891011125.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，y有(

)A.[－x]＝－[x]B.[2x]＝2[x]C.[x＋y]≤[x]＋[y]D.[x－y]≤[x]－[y]高考題型精練123456789101112解析特殊值法.令x＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A錯；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B錯；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C錯.答案D高考題型精練1234567891011126.設(shè)函數(shù)D(x)＝

則下列結(jié)論錯誤的是(

)A.D(x)的值域?yàn)閧0,1} B.D(x)是偶函數(shù)C.D(x)不是周期函數(shù)

D.D(x)不是單調(diào)函數(shù)解析A中函數(shù)值只有兩個：0和1，正確；B中，若x是無理數(shù)，則－x也是無理數(shù)，則D(－x)＝D(x)；若x是有理數(shù)，則－x也是有理數(shù)，則D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函數(shù)，正確；高考題型精練123456789101112C中，對于任意有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)(若x是無理數(shù)，則x＋T也是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù))，不正確；D中，取任意兩個數(shù)值x1，x2，D(x1)與D(x2)的大小不確定，故不存在單調(diào)性，正確.答案C高考題型精練1234567891011127.函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a，b]，有

[f(x1)＋f(x2)]，則稱f(x)在[a，b]上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的；③若f(x)在x＝2處取得最大值1，則f(x)＝1，x∈[1,3]；高考題型精練123456789101112④對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有

[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)].其中真命題的序號是(

)A.①②

B.①③

C.②④

D.③④解析通過構(gòu)造某些特殊函數(shù)，排除不合適的選項(xiàng)，利用反證法證明③正確，再兩次應(yīng)用定義式證明④正確.高考題型精練123456789101112但f(x)在[1,3]上的圖象不連續(xù)，故①不正確；令f(x)＝－x，則f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P，高考題型精練123456789101112對于③，假設(shè)存在x0∈[1,3]，使得f(x0)≠1，因?yàn)閒(x)max＝f(2)＝1，x∈[1,3]，所以f(x0)<1.又當(dāng)1≤x0≤3時，有1≤4－x0≤3，由f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P，得高考題型精練123456789101112由于f(x0)<1，f(4－x0)≤1，故上式矛盾.即對?x∈[1,3]，有f(x)＝1，故③正確.對?x1，x2，x3，x4∈[1,3]，高考題型精練123456789101112答案D高考題型精練123456789101112

高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112解析對t進(jìn)行分段，確定函數(shù)y＝S(t)的解析式.由題意知，當(dāng)0<t≤1時，甲從O向B移動，乙從O向A移動，則t時刻，|OB|＝t，|OA|＝2t，當(dāng)t>1時，設(shè)圓弧半徑為r，甲從B沿圓弧移動到C后停止，乙在A點(diǎn)不動，高考題型精練123456789101112當(dāng)甲移動至C點(diǎn)后，甲、乙均不再移動，面積不再增加，選項(xiàng)B中開始一段函數(shù)圖象不對，選項(xiàng)C中后兩段圖象不對，選項(xiàng)D中前兩段函數(shù)圖象不對，故選A.答案A高考題型精練1234567891011129.對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程為f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________.高考題型精練123456789101112作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3.高考題型精練123456789101112不妨設(shè)x1<x2<x3，易知x2>0，高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112解析因?yàn)閒(x)的周期為2，高考題型精練123456789101112又因?yàn)閒(－1)＝f(1)，將②代入①，得a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.答案－10高考題型精練123456789101112高考題型精練123456789101112所以f(x)開口向下，高考題型精練123456789101112即3a－3<b≤4a－4，又0<b<a＋1，所以3a－3<b<a＋1，得1<a<2.答案(1,2)高考題型精練12345678910111212.(2015·四川)已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).對于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，現(xiàn)有如下命題：①對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；③