第三節(jié) 矩陣的初等變換_第1頁(yè)
第三節(jié) 矩陣的初等變換_第2頁(yè)
第三節(jié) 矩陣的初等變換_第3頁(yè)
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第三節(jié) 矩陣的初等變換_第5頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

主要內(nèi)容第三節(jié)

矩陣的初等變換

矩陣的初等變換行階梯形矩陣（不唯一）

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（唯一）

行最簡(jiǎn)形矩陣（唯一）

矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形的比較矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算,它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?(第j

行的k倍加到第

i

行上,記作

ri+krj).

一、矩陣的初等變換(i)對(duì)調(diào)A的兩行(對(duì)調(diào)i,j兩行,記作

ri

rj

);(ii)

以一個(gè)非零數(shù)

k

乘以A的某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,記作

kri

);(iii)

把A的某一行所有元素的

k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去定義1

矩陣的初等行變換:(第j

列的k倍加到第

i

列上,記作

ci+kcj).

(i)對(duì)調(diào)A的兩列(對(duì)調(diào)i,j兩列,記作

ci

cj

);(ii)

以非零數(shù)k乘以A的某一列中的所有元素

(第

i

列乘以

k,記作

kci

);(iii)

把A的某一列所有元素的

k倍加到另一列對(duì)應(yīng)的元素上去定義2

矩陣的初等列變換:矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.注：初等變換可逆，且其逆變換是同一類型的初等變換.定義3

矩陣的等價(jià)

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣

B,就稱矩陣A與B行等價(jià),記作

A~B;r

如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B,就稱矩陣

A與B

列等價(jià),記作A~B;c如果矩陣

A

經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

,就稱矩陣A與B等價(jià),記作

A~B.

矩陣的等價(jià)關(guān)系具有性質(zhì)：

(i)反身性

A~A;(ii)對(duì)稱性

若A~B,則B~A;

(iii)傳遞性若A~B,B~C,則A~C.

二、行階梯形矩陣

(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元（主元）前面0的個(gè)數(shù)是嚴(yán)格增加的.

(1)

零行全部位于非零行的下方.行階梯形矩陣:

定義4

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為例如階梯形矩陣

行階梯形矩陣的特點(diǎn):階梯線下方的元素全為零;

每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元（主元）.

三、行最簡(jiǎn)形矩陣

定義5

一個(gè)行階梯形矩陣若滿足

(1)

主元全為1;

(2)

主元所在列的其它元素全為零，則稱之為行最簡(jiǎn)形矩陣.

四、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形F其中r為矩

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