基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)

基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)

1維生物圖像的研究與可視化在過(guò)去的十多年里，許多三維成像技術(shù)在生物和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展和應(yīng)用。這些三維成像技術(shù)主要包括CT,核磁共振(MRI),超聲(Ultrasound),PET,SPECT,fMRI,電子顯微成像(Electronicmicroscopy),光學(xué)顯微成像(Lightmicroscopy)等。三維成像技術(shù)的主要特點(diǎn)是提供了一種無(wú)損傷、非侵入的手段,使得我們?cè)诓唤馄嗜梭w、生物體的情況下就可以獲取被掃描體的內(nèi)部的真實(shí)的三維結(jié)構(gòu)或三維功能信息分布。已有的三維成像技術(shù)可以分為三類(lèi):1結(jié)構(gòu)成像(Morphologyimaging)技術(shù):包括CT、核磁共振、超聲等臨床常用的成像技術(shù)。在醫(yī)學(xué)臨床應(yīng)用中,該類(lèi)成像技術(shù)主要用于采集人體內(nèi)部需要診斷的器官的真實(shí)的三維解剖結(jié)構(gòu)信息。例如,利用CT技術(shù)能很好地獲取人體的三維骨骼的結(jié)構(gòu)信息。2功能成像(functionalimaging)技術(shù):包括PET,SPECT,fMRI等成像技術(shù)。在醫(yī)學(xué)臨床應(yīng)用中,主要用于獲取人體內(nèi)部真實(shí)的功能代謝、細(xì)胞代謝等三維功能信息的分布。例如,PET圖像能顯示腦功能和葡萄糖代謝,能早期診斷腦血流圖和腦細(xì)胞代謝的異常,能早期診斷功能代謝異常等。3顯微成像技術(shù):包括電子顯微及光顯微成像技術(shù)?？捎糜讷@取微小物體(如單個(gè)細(xì)胞)的三維結(jié)構(gòu)信息?；谶@些新的三維成像技術(shù),在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,逐漸出現(xiàn)幾個(gè)極其重要的研究方向:如用于臨床的計(jì)算機(jī)輔助診斷、計(jì)算機(jī)輔助手術(shù)與計(jì)算機(jī)輔助放療技術(shù),對(duì)人腦的功能、結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究的人腦工程,進(jìn)行人體形態(tài)結(jié)構(gòu)數(shù)字化研究的可視人體工程,工業(yè)中設(shè)備的無(wú)創(chuàng)傷三維CT成像檢查技術(shù),神經(jīng)元細(xì)胞結(jié)構(gòu)功能的定量分析等。在圖1,我們給出從利用三維成像技術(shù)獲取生物醫(yī)學(xué)圖像到其應(yīng)用在這些不同領(lǐng)域的簡(jiǎn)單流程圖。從該流程圖中可以看到,三維生物醫(yī)學(xué)圖像的分析與可視化是將三維成像技術(shù)應(yīng)用到諸多領(lǐng)域的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由于三維生物醫(yī)學(xué)圖像分析的極端重要性,目前其作為一個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域吸引了眾多的研究者。國(guó)際上許多著名大學(xué)都開(kāi)展了該領(lǐng)域的研究。此外,國(guó)際上許多大公司,如GE,西門(mén)子,飛利浦等也投入大量的人力、物力致力于該領(lǐng)域應(yīng)用軟件的研發(fā)。熟知,二維圖像的分析技術(shù)經(jīng)過(guò)數(shù)十年的發(fā)展,已經(jīng)有許多成熟的處理算法。然而“三維圖像分析這一新研究領(lǐng)域還處在其發(fā)展的初期,在該領(lǐng)域活躍的研究?jī)H僅是從近幾年才開(kāi)始”。因此,該領(lǐng)域的各個(gè)研究方向都需要進(jìn)一步深入的工作。通常,三維圖像由一系列依順序掃描的二維斷層圖像組成。例如,圖2顯示了利用光學(xué)顯微成像技術(shù)掃描得到的單個(gè)神經(jīng)元細(xì)胞的三維斷層掃描圖像。在實(shí)際分析中,三維圖像可以看作個(gè)三維函數(shù)在三維規(guī)則網(wǎng)格(見(jiàn)圖3)的頂點(diǎn)進(jìn)行離散采樣的結(jié)果。三維生物醫(yī)學(xué)圖像分析的研究?jī)?nèi)容包括三維圖像的預(yù)處理(圖像的平滑、去噪,圖像的恢復(fù),特征增強(qiáng)等)、圖像中目標(biāo)的邊界曲面的檢測(cè)與抽取、圖像的分割、圖像的配準(zhǔn)、圖像的可視化等。其主要目的是研究三維圖像中感興趣特征的增強(qiáng)、抽取、顯示、定量描述等。圖4顯示的結(jié)果是從不同的三維生物醫(yī)學(xué)圖像中重構(gòu)得到的目標(biāo)的三維結(jié)構(gòu)。其中,單個(gè)神經(jīng)元細(xì)胞是從圖2顯示的神經(jīng)元細(xì)胞的三維斷層掃描圖像中重構(gòu)得到。三維圖像處理與二維圖像處理存在一定的不同。二維圖像處理中研究的二維圖像是三維物體的二維投影結(jié)果。人們?cè)噲D從這些二維投影圖像中恢復(fù)三維結(jié)構(gòu)。由于在投影過(guò)程中某些信息已經(jīng)丟失,恢復(fù)三維結(jié)構(gòu)是非常復(fù)雜的問(wèn)題,而且結(jié)果通常不唯一。與此不同,三維圖像可以看作為三維物體的離散采樣數(shù)據(jù),其內(nèi)部直接包含了真實(shí)的三維結(jié)構(gòu)。人們?cè)噲D從這些離散采樣數(shù)據(jù)中分離、重構(gòu)原來(lái)的三維結(jié)構(gòu)。此外,三維圖像處理可以看作一個(gè)交叉學(xué)科,該領(lǐng)域的研究通常要涉及到計(jì)算機(jī)視覺(jué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、科學(xué)可視化、圖像處理與分析、生物醫(yī)學(xué)成像、數(shù)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。在實(shí)際應(yīng)用中,不同的三維成像技術(shù)生成的生物醫(yī)學(xué)圖像的特點(diǎn)各不相同,而且各自針對(duì)不同的結(jié)構(gòu)或者功能信息進(jìn)行成像。例如,CT圖像分辨率高(512*512),顯示骨骼效果很好,但不同的軟組織不容易分辨清楚;MRI圖像的分辨率一般為256*256,但可以將不同的軟組織較好的區(qū)分開(kāi)來(lái);超聲成像設(shè)備簡(jiǎn)單、成本低、易攜帶而且對(duì)人體無(wú)損害,但生成的圖像的分辨率低,不同組織之間不容易分辨,而且圖像比較模糊;PET及SPECT可以記錄人體功能代謝、細(xì)胞代謝等信息的三維分布狀況,但功能成像技術(shù)所生成圖像的分辨率一般都比較偏低。Figure3:圖5顯示了不同的三維成像技術(shù)所生成的三維圖像的一些斷層圖像。可以看到三維成像技術(shù)生成的圖像有著各不相同的灰度分布特征及復(fù)雜性。因此,一般地,不存在可以有效應(yīng)用于任何三維生物醫(yī)學(xué)圖像的一般性的算法。不同成像技術(shù)所生成的三維生物醫(yī)學(xué)圖像需要不同的處理方法。此外,受成像技術(shù)、成像模式的限制及噪聲的影響,三維生物醫(yī)學(xué)圖像的處理是非常復(fù)雜的問(wèn)題。許多傳統(tǒng)的圖像處理技術(shù)不能很好的處理這些復(fù)雜的生物醫(yī)學(xué)圖像。自從基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)提出后,該類(lèi)技術(shù)很快被一些研究者用于處理復(fù)雜的生物醫(yī)學(xué)圖像。人們注意到該類(lèi)新的技術(shù)一定程度上比較好的克服了經(jīng)典圖像處理技術(shù)中的困難,在處理復(fù)雜的生物醫(yī)學(xué)圖像時(shí)獲得很大的成功。因此,基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)受到許多研究者的重視并被廣泛的應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)圖像處理。在下面第二節(jié),我們將介紹生物醫(yī)學(xué)圖像處理中常用的幾類(lèi)基于偏微分方程的圖像處理方法。2圖像分割處理簡(jiǎn)略地,圖像處理的一般框架見(jiàn)圖6。這里,圖像的預(yù)處理包括圖像的平滑去噪、圖像的恢復(fù)、圖像中特征的增強(qiáng)等。由于諸多原因,生物醫(yī)學(xué)圖像中常常包含許多噪聲。這些噪聲的存在可能影響對(duì)圖像中所包含特征的檢測(cè)、分割與分析。因此,如何在不影響圖像中主要特征的條件下除去圖像中的噪聲是一個(gè)重要的問(wèn)題。盡管經(jīng)典圖像處理技術(shù)中存在不同的圖像平滑技術(shù),但是大多難以在平滑圖像的同時(shí)很好地保持圖像中的邊緣。圖像的分割主要是將圖像中感興趣的目標(biāo)分離出來(lái)或者將圖像分為不相重疊的關(guān)于某些特征具有一致性的若干個(gè)連通區(qū)域。在生物醫(yī)學(xué)圖像中,不同的區(qū)域?qū)?yīng)于不同的器官結(jié)構(gòu)或者人們感興趣的組織。圖像分割是圖像分析及其應(yīng)用中最關(guān)鍵的一步。它是圖像中特征的建模、表示、定量測(cè)量、可視化不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié),也是計(jì)算機(jī)輔助的診斷、手術(shù)、放療等應(yīng)用的基礎(chǔ)。然而,圖像分割也是三維圖像分析中最困難的問(wèn)題。許多研究者認(rèn)為不存在適用于眾多圖像的通用的分割算法。另外,由于生物醫(yī)學(xué)圖像的復(fù)雜性,發(fā)展完全自動(dòng)的生物醫(yī)學(xué)圖像的分割方法也被認(rèn)為是非常困難的問(wèn)題。已有的圖像分割方法主要分為:基于閾值(Threshold)的分割算法、基于區(qū)域的分割算法、基于邊緣的分割算法三大類(lèi)?；趨^(qū)域的分割算法根據(jù)不同區(qū)域內(nèi)灰度分布的特點(diǎn)不同進(jìn)行圖像分割;基于邊緣的分割算法根據(jù)區(qū)域的邊界處存在較大的灰度變化這一特點(diǎn)進(jìn)行圖像分割;基于閾值的分割算法根據(jù)采樣點(diǎn)灰度值的大小進(jìn)行圖像分割。在二維圖像處理中,邊緣檢測(cè)一直是許多研究者探討的問(wèn)題,存在大量的相關(guān)的研究文獻(xiàn)。但是這些本質(zhì)上基于圖像的梯度或者Laplacian函數(shù)設(shè)計(jì)的邊緣檢測(cè)子都存在一個(gè)無(wú)法克服的困難:抽取的邊緣常常不能封閉以及對(duì)噪聲敏感?；谄⒎址匠痰膱D像處理技術(shù)是不同于經(jīng)典圖像處理方法的一類(lèi)新的方法。一方面,它一定程度上比較好的克服經(jīng)典圖像處理技術(shù)中的上述這些困難。另一方面,它提供了一類(lèi)新的描述圖像處理技術(shù)的數(shù)學(xué)工具。因此基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)吸引了眾多研究者的注意。要利用基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)處理圖像,首先要將一個(gè)圖像處理操作建模為不同的偏微分方程、變分方程或者優(yōu)化問(wèn)題。其次,通過(guò)對(duì)偏微分方程進(jìn)行數(shù)值求解得到結(jié)果。目前,比較常見(jiàn)的、被廣泛應(yīng)用的幾類(lèi)基于偏微分方程的圖像處理方法包括:(1)用于圖像平滑的各向異性的非線性擴(kuò)散方法(Anisotropicnonlineardiffusion)(2)用于圖像恢復(fù)的變分方法(3)用于從圖像中抽取封閉的邊界曲線或曲面的形變曲面算法,包括主動(dòng)輪廓線算法(Activecontour或者Snake)及水平集方法(Levelsetmethod)。(4)用于對(duì)圖像中不同區(qū)域進(jìn)行分割的變分方法方法(1)與(2)是圖像的預(yù)處理方法,方法(3)與(4)是圖像的分割方法。下面,對(duì)這幾類(lèi)方法進(jìn)行分別的介紹。我們側(cè)重介紹它們的數(shù)學(xué)模型及圖像處理效果。為了描述的便利,有時(shí)我們討論二維圖像,有時(shí)直接討論三維圖像。2.1非線性擴(kuò)散濾波子的設(shè)計(jì)在經(jīng)典的圖像處理算法中,圖像平滑技術(shù)有一個(gè)嚴(yán)重的缺陷,即在對(duì)圖像進(jìn)行平滑去噪的同時(shí)往往也會(huì)將圖像中的邊緣(圖像中的主要特征)進(jìn)行一定程度的平滑。結(jié)果,平滑后的圖像難以很好的保持邊緣?；谄⒎址匠痰母飨虍愋缘姆蔷€性擴(kuò)散技術(shù)一定程度上克服了這一困難。這是一類(lèi)自適應(yīng)的平滑技術(shù),根據(jù)圖像的內(nèi)容的不同而采取不同的平滑方式。直觀的講,該技術(shù)可以將平滑的強(qiáng)度在邊緣位置減弱,在非邊緣區(qū)域增強(qiáng);同時(shí),在平行于邊緣的方向進(jìn)行平滑而在垂直于邊緣的方向不進(jìn)行平滑。從而在平滑噪聲的同時(shí)比較好的保持圖像中的結(jié)構(gòu)或者邊緣?；谄⒎址匠痰母飨虍愋缘姆蔷€性擴(kuò)散技術(shù)可以看作是對(duì)物質(zhì)擴(kuò)散過(guò)程的一種模仿。圖像的平滑被假定類(lèi)似于化學(xué)物質(zhì)的擴(kuò)散過(guò)程。時(shí)間作為一個(gè)新的參量被引入圖像,圖像的灰度(化學(xué)物質(zhì))將隨著時(shí)間的變化而變化(擴(kuò)散)。在某一個(gè)時(shí)間點(diǎn),變化后的圖像(擴(kuò)散的結(jié)果)就是我們?cè)噲D得到的平滑后的圖像。因此,可以根據(jù)擴(kuò)散的物理規(guī)律描述圖像的平滑過(guò)程。設(shè)f(x,y)表示一個(gè)二維圖像,u(t,x,y)表示圖像隨著時(shí)間t>0變化的狀態(tài),u(0,x,y)=f(x,y)。則圖像隨著時(shí)間變化的狀態(tài)或者圖像的平滑過(guò)程被如下的擴(kuò)散方程描述:這里▽u=(ux,uy)T,div=ax+by以及D是一個(gè)2×2正定矩陣。根據(jù)上述擴(kuò)散方程,粗略地說(shuō),在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn),圖像的平滑是由當(dāng)時(shí)圖像的二階導(dǎo)數(shù)決定。矩陣D是擴(kuò)散張量。它的2個(gè)特征向量刻畫(huà)擴(kuò)散方程的擴(kuò)散方向,特征值決定沿這些方向進(jìn)行擴(kuò)散的強(qiáng)度。通過(guò)設(shè)計(jì)不同的D,可以得到具有不同特性的擴(kuò)散濾波子。具體分析如下:(1)設(shè)D是一個(gè)常矩陣。它不隨著圖像位置而變化,而且其兩個(gè)特征值相等。則可以得到各向同性的線性擴(kuò)散濾波子。這類(lèi)濾波子可以消除噪聲及圖像中的細(xì)節(jié)。但是,該類(lèi)濾波子有缺陷。因?yàn)樗鼘?duì)圖像中的噪聲和重要的特征進(jìn)行同樣的平滑,在去噪的同時(shí)也平滑邊緣。(2)設(shè)矩陣D的兩個(gè)特征值相等,但其特征值的大小隨圖像位置的變化而變化。因?yàn)閳D像中的邊緣具有大的梯度,為了減少對(duì)邊緣的平滑強(qiáng)度,設(shè)矩陣的特征值隨著所在位置的圖像梯度的增加而減小。這樣,可以得到各向同性的非線性擴(kuò)散濾波子。該類(lèi)濾波子一定程度上可以識(shí)別邊界位置,在去噪的同時(shí),在邊界位置處減少平滑強(qiáng)度。(3)矩陣D的兩個(gè)特征值與兩個(gè)特征向量采用如下方式設(shè)計(jì):(i)兩個(gè)特征向量分別平行及垂直于邊緣;(ii)當(dāng)梯度大時(shí),選取特征值使得垂直于邊緣方向的平滑減到很小,同時(shí)主要沿平行于邊緣方向平滑。這樣得到各向異性的非線性擴(kuò)散濾波子。這類(lèi)濾波子在去噪的同時(shí),很大程度上可以保持邊緣。此外,因?yàn)殡S著時(shí)間的不同,圖像的灰度發(fā)生變化。因此,各向異性的非線性擴(kuò)散濾波子事實(shí)上根據(jù)上次圖像平滑的結(jié)果也進(jìn)行自適應(yīng)的變化。這反映各向異性的非線性擴(kuò)散濾波子存在對(duì)上次平滑結(jié)果的反饋,而且這種反饋可以用于指導(dǎo)新的平滑過(guò)程。因此,這類(lèi)濾波子具有經(jīng)典模版濾波算法沒(méi)有的優(yōu)勢(shì)。關(guān)于非線性擴(kuò)散濾波子更詳細(xì)的討論及更多的應(yīng)用可以從文獻(xiàn)[12,13,14,15,16,17]中找到。為了直觀地比較各向同性與各向異性濾波子的圖像平滑效果的不同,在圖7我們給出對(duì)比的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。顯然,各向同性濾波子的圖像平滑效果更加模糊,亦即邊緣保持比較差。2.2lagrange方程的恢復(fù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化受噪聲以及離散采樣或者成像技術(shù)的限制,圖像的真實(shí)灰度存在一定的改變。有時(shí),人們?cè)噲D從采集的圖像恢復(fù)原來(lái)真實(shí)的圖像。通常人們并不清楚真實(shí)的圖像是什么。所以對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)操作時(shí),通常做如下兩個(gè)假定:(1)整體上,恢復(fù)后的新的圖像和處理前的圖像改變不大。(2)恢復(fù)后的圖像是分片光滑的。設(shè)f(x,y)與g(x,y)分別表示恢復(fù)前與恢復(fù)后的圖像?；谏鲜鰞蓚€(gè)假定,圖像的恢復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題:這里Ω表示函數(shù)空間,t表示歸一化參量,▽g(x,y)表示g(x,y)的梯度函數(shù),ψ(t)是的t增函數(shù)。(g(x,y)-f(x,y))2促使恢復(fù)后的圖像和原圖像改變不大,ψ(‖▽g(x,y)‖2)促使恢復(fù)后的圖像比較光滑。根據(jù)變分計(jì)算,上述優(yōu)化問(wèn)題的極小值滿足如下的Euler-Lagrange方程:如果近似地將等式的左邊看作gt的近似,則圖像恢復(fù)問(wèn)題與上面討論的各向異性擴(kuò)散問(wèn)題相類(lèi)似。通過(guò)合適地設(shè)計(jì)函數(shù)ψ(t),比如讓?duì)?‖Vg(x,y)‖2)隨著圖像梯度的增加而減小,則進(jìn)行圖像恢復(fù)時(shí),我們也可以使得區(qū)域內(nèi)的噪聲得到平滑,但同時(shí)邊界得到保持。關(guān)于圖像恢復(fù)的更詳細(xì)的介紹,參見(jiàn)文獻(xiàn)及其后的文獻(xiàn)。2.3基于偏微分方程的變形曲面技術(shù)在經(jīng)典的基于梯度或零交叉邊緣算子的圖像邊緣檢測(cè)技術(shù)中,對(duì)噪聲的敏感以及許多時(shí)候難以抽取得到封閉的邊緣是該類(lèi)技術(shù)的主要缺陷。此外,該類(lèi)技術(shù)獨(dú)立地在圖像的不同的局部區(qū)域分別判定邊緣點(diǎn),很難有效利用到邊緣的全局的信息以及包含待分割目標(biāo)的知識(shí)。利用基于偏微分方程的形變曲面技術(shù),如主動(dòng)輪廓線算法、水平集方法,可以比較好的克服經(jīng)典邊緣檢測(cè)算法中邊緣不封閉、噪聲敏感等缺點(diǎn)。該類(lèi)算法具有如下的優(yōu)點(diǎn):(1)可以從一些質(zhì)量很不好的生物醫(yī)學(xué)圖像(如超聲圖像)中抽取光滑、封閉的邊界。(2)對(duì)局部小噪聲不太敏感。(3)克服了由于圖像質(zhì)量不好或者噪聲導(dǎo)致的邊緣斷裂現(xiàn)象。(4)可以進(jìn)行交互分割。通過(guò)交互設(shè)置初值,選擇感興趣的目標(biāo)進(jìn)行分割。因此,主動(dòng)輪廓線算法被一些研究者稱(chēng)為近20年中圖像分割算法的一個(gè)重大進(jìn)展。同時(shí),水平集方法正受到圖像處理研究者的極大重視。下面分別做簡(jiǎn)單的介紹。2.3.1輪廓線求解算法直觀地,Snake型算法可以近似地用氣球的膨脹過(guò)程進(jìn)行形象的類(lèi)比。假定氣球內(nèi)部有促使氣球向外膨脹的壓力,而在邊界位置有阻止氣球膨脹的反向壓力。首先將氣球置于真實(shí)邊界位置的內(nèi)部。然后氣球在其內(nèi)部壓力作用下向外膨脹。當(dāng)氣球接近真實(shí)邊界位置時(shí),由于遇到反向的壓力,其將逐漸停止膨脹,最后在真實(shí)邊界節(jié)置處于平衡狀態(tài)。因此,通過(guò)計(jì)算處于平衡狀態(tài)的氣球的位置,就得到真實(shí)邊界的位置。令v(s)=(x(s),y(s))表示二維圖像中的一條封閉的曲線(氣球)。我們的目的是賦予該曲線以演化的能量。當(dāng)將其置于真實(shí)邊界的內(nèi)部(外部)時(shí),在能量的作用下,該封閉的曲線將向外(內(nèi))膨脹(收縮)。最終封閉的曲線在能量極小處達(dá)到平衡。這時(shí),處在平衡態(tài)的封閉曲線就是真實(shí)邊界的一個(gè)近似。這里,問(wèn)題的關(guān)鍵是如何設(shè)計(jì)促使封閉的曲線v(s)=(x(s),y(s))合適地演化的能量函數(shù)。概括地,能量函數(shù)可以粗略地表示為:E(v)=Eint(v)+Eext(v)。這里Eint(v)與Eext(v)分別表示促使封閉的曲線向外、向內(nèi)兩個(gè)相反的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的能量。我們的目的是通過(guò)極小化該能量函數(shù)計(jì)算封閉輪廓線的新位置。封閉曲線隨著時(shí)間變化,岡此可以表示為二參量函數(shù)v(s,t)=(x(s,t),y(s,t)),t表示時(shí)間參量。Eint表示內(nèi)部的形變能量,亦即表示曲線自身的彎曲力和延伸力等內(nèi)力所確定的內(nèi)部能量。具體地,它刻畫(huà)了具有彈性的、易彎曲的輪廓線的形變。其中,w1(s)控制輪廓線的張力,w2(s)控制輪廓線的剛性。Eext(v)和圖像特性相聯(lián)系。傳統(tǒng)上,Eext(v)=(v(s)ds。這里,p(x,y)表示定義在圖像中的一個(gè)標(biāo)量勢(shì)函數(shù)。為了從圖像中抽取邊界曲線,p(x,y)的局部極小要設(shè)計(jì)的與圖像的真實(shí)邊界線相一致。例如,通過(guò)令p(x,y)=-c.‖▽f(x,y)‖,演化的輪廓線將被吸引到圖像f(x,y)的邊界的位置。c是一個(gè)參量,控制勢(shì)函數(shù)的強(qiáng)度。根據(jù)變分計(jì)算,極小化能量函數(shù)E(v)的輪廓線v(s)滿足如下的Euler-Lagrange方程:當(dāng)輪廓線到達(dá)平衡態(tài)時(shí),該偏微分方程表示內(nèi)力和外力的平衡。方程中,前兩項(xiàng)分別表示伸展與彎曲的力,第三項(xiàng)為與圖像相關(guān)的外部的力。該方程需要數(shù)值求解。關(guān)于主動(dòng)輪廓線方法的詳細(xì)討論、改進(jìn)以及應(yīng)用,見(jiàn)文獻(xiàn)[22,23,24,25,26,28,29,30]。圖8顯示利用主動(dòng)輪廓線方法抽取圖像中的邊界曲線時(shí),在不同的時(shí)間步,封閉曲線的演化的結(jié)果。主動(dòng)輪廓線算法的最主要優(yōu)點(diǎn)是無(wú)論圖像的質(zhì)量如何,總可以抽取得到光滑、封閉的邊界。但是,該類(lèi)算法也存在一定的限制。該類(lèi)算法難以處理輪廓線拓?fù)涞淖兓?。因此無(wú)法正確處理分岔,多目標(biāo)邊界的提取等問(wèn)題。此外,該類(lèi)算法對(duì)初始值(初始輪廓線位置)比較敏感,收斂易陷入局部極值,常常無(wú)法收斂到輪廓的深度凹陷部分。在實(shí)際使用中,合適參量的選擇也是一個(gè)對(duì)最終結(jié)果有很大影響的因素。盡管人們對(duì)基本的snake模型進(jìn)行了各種各樣的改進(jìn),但都是在某一方面作出一些改進(jìn),仍未從根本上解決snake模型存在的困難。主動(dòng)輪廓線算法的不具備自動(dòng)拓?fù)渥儞Q能力的這一缺陷在水平集方法中有一定程度的改進(jìn)。2.3.2維圖像中輪廓線的演化過(guò)程在Snake類(lèi)算法中,我們的目的是通過(guò)施加合適的力,促使輪廓線本身不斷的變化,最終達(dá)到一個(gè)平衡位置。因此,在Snake類(lèi)算法中,實(shí)現(xiàn)輪廓線的自動(dòng)拓?fù)渥儞Q比較復(fù)雜、困難。水平集方法是一種不同的計(jì)算和分析二維或三維空間中界面運(yùn)動(dòng)的方法。其基本思想是將表示界面的閉合曲線或曲面隱含地表達(dá)為高一維的函數(shù)(稱(chēng)為水平集函數(shù))的零水平集。通過(guò)設(shè)計(jì)一定的規(guī)則,讓水平集函數(shù)不斷演化,從而帶動(dòng)隱含的界面(輪廓線)也進(jìn)行相應(yīng)的變化。最終的界面(輪廓線)從變化后的水平集函數(shù)中計(jì)算。在水平集方法中,我們并不試圖直接改變輪廓線。我們通過(guò)讓水平集函數(shù)變化來(lái)隱含地實(shí)現(xiàn)輪廓線的改變。因此,在水平集方法中,界面的拓?fù)渥兓梢缘玫奖容^自然的處理。我們考慮二維圖像。令φ(x,y,t)表示隨著時(shí)間而變化的水平集函數(shù),其相應(yīng)的零水平集表示為l(t)={(x,y):φ(x,y,t)=0}。則明表示不同時(shí)刻得到的目標(biāo)的真實(shí)輪廓線的近似。φ(x,y,t)可以看作三維空間的一個(gè)曲面。水平集函數(shù)φ(x,y,t)的發(fā)展方程一般表示如下:這里,▽?duì)?x,y,t)表示水平集函數(shù)的梯度,F(·)為曲面φ(x,y,t)的法線方向上的速度函數(shù),用于控制曲面的運(yùn)動(dòng)。水平集函數(shù)的發(fā)展取決于速度函數(shù)F(·)。要很好的抽取邊界輪廓線,設(shè)計(jì)合適的函數(shù)F(·)是關(guān)鍵。一般,F(·)包括與圖像本身有關(guān)的各種項(xiàng)(如圖像的梯度信息)、與曲線的幾何形狀有關(guān)的項(xiàng)(如曲線的曲率)以及其他約束條件。F(·)的設(shè)計(jì)應(yīng)保證演化的水平集函數(shù)的水平集(曲線)逐漸靠近真實(shí)的邊界位置。關(guān)于水平集方法的更多的介紹見(jiàn)文獻(xiàn)[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]。特別,綜述性文獻(xiàn)關(guān)于水平集方法有詳細(xì)、全面的介紹。這些文獻(xiàn)的參考文獻(xiàn)中羅列了近幾年來(lái)發(fā)表的和水平集方法相關(guān)的幾乎所有的主要文獻(xiàn)。相對(duì)于Snake算法,水平集算法在處理圖像時(shí)的主要改進(jìn)可能是:對(duì)于輪廓線的拓?fù)涓淖兛梢宰匀坏倪M(jìn)行處理以及對(duì)初值的敏感性有所降低。圖9中,我們利用水平集方法抽取仿真圖像中的多個(gè)目標(biāo)的輪廓線。水平集函數(shù)中的輪廓線的演化過(guò)程以及輪廓線的拓?fù)渥兓^(guò)程可以非常直觀的看到。在圖10中,顯示的是利用水平集方法抽取MRI醫(yī)學(xué)圖像中大腦的復(fù)雜邊界線時(shí),水平集函數(shù)中的輪廓線的演化過(guò)程。這里,需要指出的是,盡管主動(dòng)輪廓線算法及水平集方法可以生成封閉的輪廓線。但是,當(dāng)真實(shí)的邊界的梯度很小或者有缺口時(shí),演化的輪廓線存在從邊界的梯度很小或者有缺口處滲出的問(wèn)題。與之向?qū)?演化的輪廓線常常無(wú)法收斂到邊界的深度凹陷部分。此外,實(shí)際應(yīng)用中,合參量的選擇也非常重要,其常對(duì)最終結(jié)果有比較大的影響。2.4圖像分割的解析對(duì)圖像進(jìn)行區(qū)域分割的目的是,將圖像分為若干個(gè)互不連通的區(qū)域,使得每個(gè)區(qū)域的圖像灰度(或者其他屬性)基本上是一致的,但區(qū)域間圖像的灰度(或者其他屬性)是不一致的。設(shè)Ω∈R2是一個(gè)有界開(kāi)集,GΩ為Ω中由若干光滑的曲線構(gòu)成的閉集,Ωj,j=1,2,...N表示Ω/C中的所有況個(gè)連通分支。則。令|C|表示C中所有曲線的長(zhǎng)度,f(x,y):Ω→R+為有界的函數(shù)。如果讓?duì)副硎緢D像的采樣空間或者定義域,f(x,y)表示圖像函數(shù),Ωj,j=1,2…N表示圖像中的不同的區(qū)域,C表示圖像中不同區(qū)域之間的分界線,Mumford和Shah將圖像分割問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述如下:“對(duì)于給定的圖像f(x,y),尋找f(x,y)的一個(gè)優(yōu)化的分片光滑逼近函數(shù)g(x,y)以及區(qū)域Ω的分解:Ωj,j=1,2,…N,使得g(x,y)在每個(gè)Ωj中光滑但是在Ωj的邊界處不連續(xù)或者梯度很大?！睘榱私鉀Q該問(wèn)題,Mumford和Shah提出如下的極小化問(wèn)題:這里,u,v是兩個(gè)用于加權(quán)能量函數(shù)中不同項(xiàng)的參量。最小化解{g,C}中,g(x,y)是f(x,y)的優(yōu)化的分片光滑逼近函數(shù),C是f(x,y)中圖像的邊界線的逼近曲線。g(x,y)只在每個(gè)連通分支Ωj內(nèi)光滑。上述極小化問(wèn)題被許多研究者稱(chēng)為Mumford和Shah泛函。關(guān)于該泛函的詳細(xì)討論、其在圖像分割中的應(yīng)用及其數(shù)值計(jì)算可以參考文獻(xiàn),。2.5閾值提取及分類(lèi)處理許多已有分割算法,可以用一個(gè)變分問(wèn)題描述。這里介紹如何將圖像處理中的自適應(yīng)閾值(Threshold)選取方法建模為一個(gè)變分問(wèn)題?；陂撝档姆指钏惴ㄊ亲詈?jiǎn)單的圖像分割算法之一,被許多研究者討論。閾值算法假定圖像內(nèi)所包含的每個(gè)目標(biāo)都具有相對(duì)一致的灰度分布。同時(shí),不同目標(biāo)的灰度分布區(qū)間差別較大。這時(shí),我們可以選取M個(gè)合適的全局閾值0<T1<…<TM,使得灰度范圍分布在區(qū)間[Tk-1,Tk]中的體素屬于第k個(gè)目標(biāo)。通常,基于閾值的分割算法主要適用于圖像中包含少數(shù)幾個(gè)目標(biāo)的圖像。對(duì)內(nèi)容復(fù)雜的圖像,基于閾值的分割算法往往難以很好的處理。此外,在許多時(shí)候,一些目標(biāo)及(或)其背景的灰度分布并不均勻。這時(shí)無(wú)法選擇一個(gè)全局的閾值將該目標(biāo)分離開(kāi)來(lái)。在這種情況下,需要采用自適應(yīng)閾值算法,亦即讓不同的點(diǎn)(x,y,z)對(duì)應(yīng)不同的閾值g(x,y,z)。g(x,y,z)被稱(chēng)為閾值函數(shù),其隨著圖像的區(qū)域不同而自適應(yīng)變化。對(duì)于給定的三維圖像f(x,y,z),閾值函數(shù)g(x,y,z)滿足條件:(i)g(x,y,z)≥(x,y,z),如果x,y,z屬于背景(ii)g(x,y,z)<f(x,y,z)如果(x,y,z)屬于目標(biāo)如果構(gòu)造的自適應(yīng)閾值函數(shù)g(x,y,z)是合適的,目標(biāo)的邊界正好是曲面S=f(x,y,z)-g(x,y,z)=0。因此,理論上,邊界曲面S上的點(diǎn)的梯度值的積分應(yīng)該最大。換言之,合適的自適應(yīng)閾值函數(shù)g(x,y,z)應(yīng)該是滿足如下優(yōu)化條件的函數(shù):這里Ω表示函數(shù)空間。因?yàn)榇嬖跓o(wú)窮多函數(shù)滿足上述優(yōu)化問(wèn)題,所以我們可以采用計(jì)算機(jī)視覺(jué)中常用的處理這類(lèi)病態(tài)問(wèn)題的手法,通過(guò)為目標(biāo)函數(shù)增加罰項(xiàng)(penaltyterm)使得上述問(wèn)題被規(guī)則化為如下的優(yōu)化問(wèn)題:通過(guò)增加上述罰項(xiàng),我們計(jì)算的是一個(gè)比較光滑的自適應(yīng)閾值函數(shù)。上述規(guī)則化后的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)泊松方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?？疾靾D2中單個(gè)神經(jīng)元細(xì)胞的三維斷層掃描圖像。神經(jīng)元細(xì)胞的各部分(細(xì)胞核、樹(shù)突、軸突)具有不同的灰度,而且背景的灰度分布也不均勻。這時(shí)選擇任何全局閾值低都無(wú)法正確的分割出整個(gè)神經(jīng)元細(xì)胞。圖11的(2)-(4)中給出當(dāng)選擇從大到小的三個(gè)閾值時(shí),得到的結(jié)果。圖11的(1)給出應(yīng)用自適應(yīng)閾值算法的結(jié)果。3ula和偏微分方程在圖像研究中的應(yīng)用下面介紹一下基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)的發(fā)展歷史。該領(lǐng)域的研究主要從上個(gè)世紀(jì)90年左右開(kāi)始。在1983和1984年,Witkin和Koenderink首先引入圖像的多尺度(Scale-space)表示。這里,多尺度圖像表示是利用高斯慮波進(jìn)行平滑得到。其效果等價(jià)于各向同性的擴(kuò)散結(jié)果,因此和經(jīng)典的熱擴(kuò)散方程相聯(lián)系。他們的開(kāi)拓性的工作是后來(lái)的許多基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)。在1987年,Kass,Witkin和Terzopoulos提出了著名的主動(dòng)輪廓線算法(Activecontour)。由于該算法可以用于從二維圖像中抽取封閉的邊緣曲線,很好的克服了經(jīng)典的邊緣檢測(cè)算法中抽取的邊緣曲線不封閉的重要缺陷,因此該算法被一些研究者稱(chēng)為最近二十多年圖像分割算法的一個(gè)重大的進(jìn)展。在1989年,Mumford和Shah提出了基于變分原理的圖像分割的一般性數(shù)學(xué)模型,發(fā)展了具有一般性的圖像分割框架。其結(jié)果統(tǒng)一了許多圖像分割算法。在1990年,Perona和Malik提出了可以保持邊緣的方向性擴(kuò)散——各向異性擴(kuò)散。該類(lèi)技術(shù)被Gerig等1992年介紹進(jìn)入醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域處理醫(yī)學(xué)圖像。在1990年,Osher和Rudin明確提出偏微分方程應(yīng)用于圖像處理的重要性及需要。特別,在UCLA的數(shù)學(xué)系,以O(shè)sher為首的一個(gè)圖像研究小組,基于偏微分方程,在圖像處理的諸多問(wèn)題中做了許多深入而且廣泛的研究。大多數(shù)相關(guān)的研究結(jié)果可以在他們的研究小組的主頁(yè)找到。在1988年,Osher和Sethian提出著名的水平集(level-set)算法.該算法現(xiàn)在被廣泛地應(yīng)用于圖像處理與圖像的分割?；谒郊膱D像分割方法的研究目前是非常活躍的研究課題[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40]?？傊?從上世紀(jì)90年代之后,在基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)領(lǐng)域,研究變的非?；钴S。一方面,該領(lǐng)域本身的研究吸引了眾多的研究者。另一方面,該領(lǐng)域提出的許多重要的圖像處理算法被廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)圖像處理、一般的圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等應(yīng)用領(lǐng)域,并得到這些領(lǐng)域的研究者的認(rèn)同。我們注意到,近幾年,生物醫(yī)學(xué)圖像分析領(lǐng)域中著名的國(guó)際會(huì)議MICCAI(MedicalImageComputingandComputer-assistedIntervention)及IPMI(InformationProcessinginMedicalImaging)都將形變曲面技術(shù)(DeformableSurfaceTechniques)作為一個(gè)重要的問(wèn)題討論。在2001年和2003年,伴隨著計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域著名的國(guó)際會(huì)議CVPR、ICCV的召開(kāi),IEEE連續(xù)兩次舉行了主題為“Geometric,Variationala.ndLevelSetMethodsinComputerVision”專(zhuān)題研討會(huì)。此外,在IEEETransonMedicalImaging,MedicalImageAnalysis,IEEETransonPAMI,IEEETransonImageProcessing,InternationalJournalofComputerVision,JournalofMathematicalImagingandVision等圖像處理領(lǐng)域的國(guó)際著名期刊,近幾年也發(fā)表了大量的相關(guān)研究結(jié)果。圖像處理領(lǐng)域的重要國(guó)際期刊及重要國(guó)際會(huì)議發(fā)表大量的相關(guān)的文獻(xiàn)這一事實(shí)從另一個(gè)側(cè)面反映了基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)的活躍及重要性。在最近幾年,幾個(gè)著名的圖像處理國(guó)際雜志分別出版了一期與基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)相關(guān)的專(zhuān)輯,討論偏微分方程技術(shù)在圖像處理及分析中的應(yīng)用。包括:(1)V.Caselles.J.M.Morel,G.Sapiro,A.Tannenbaum(Eds),SpecialIssueOnPartialDifferentialEquationsAndGeometry-drivenDiffusionInImageProcessingAndAnalysis,IEEETransactionsonImageProcessing,1998年,7卷,3期,(2)N.Paragios(Eds),InternationalJournalofComputerVision,2002年,50卷,3期,SpecialIssueonVariationalandLevelSetMethodsinComputerVision.(.3)O.Fa.ugeras,P.PeronaandG.Sa.piro(Eds),JournalofVisualCommunicationandImageRepresentation,2002年,13卷,SpecialIssueonPartialDifferentialEquationsinImageProcessing,ComputerVision,andComputerGraphics(4)L.D.Cohen(Eds),JournalofMathematicalImagingandVision,2004,20卷,1/2期,SpecialissueonMathematicsandImageAnalysis.此外,伴隨著基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)的快速發(fā)展,多部反映相關(guān)的前沿的研究結(jié)果的專(zhuān)著已經(jīng)出版,主要包括:(1)B.terHaarRomeny,Ed.,GeometryDrivenDiffusioninComputerVision,Boston,MA:Kluwer,1994(2)Jean-MichelMorel,SergioSolimini,Variationalmethodsinimagesegmentation,(Progressinnonlineardifferentialequationsandtheirapplications;Vol.14),1995(3)J.Weickert,Anisotropicdiffusioninimageprocessing,ECMISeries,Teubner,Stuttgart,1998(4)J.A.Sethian,Levelsetmethodsandfastmarchingmethods:evolvinginterfacesincomputationalgeometry,fluidmechanics,computervision,andmaterialsscience,Ca