高等數(shù)學(xué)各章知識結(jié)構(gòu)

PAGE4高等數(shù)學(xué)各章知識結(jié)構(gòu)一．總結(jié)構(gòu)可積性可微性連續(xù)性函數(shù)（高等數(shù)學(xué)研究的主要對象）可積性可微性連續(xù)性函數(shù)（高等數(shù)學(xué)研究的主要對象）導(dǎo)數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分定積分不定積分一元微積分一元函數(shù)重積分，曲線積分全微分偏導(dǎo)數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)重積分，曲線積分全微分偏導(dǎo)數(shù)空間解析幾何多元微積分多元函數(shù)無窮級數(shù)數(shù)列無窮級數(shù)數(shù)列常微分方程方程常微分方程方程數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué)，研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué).微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué).微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”.微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論和對人們進(jìn)行文化熏陶的極好素材（本部分內(nèi)容詳見光盤）.微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就,對它的重要性無論做怎樣的估計都不會過分.馮.諾伊曼注：馮.諾依曼（JohnvonNeumann，1903-1957，匈牙利人），20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，在純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)等許多分支，從集合論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)到量子理論與算子理論等作多方面，他都作出了重要貢獻(xiàn).他與經(jīng)濟(jì)學(xué)家合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》奠定了對策論的基礎(chǔ)，他發(fā)明的“流程圖”溝通了數(shù)學(xué)語言與計算機(jī)語言，制造了第一臺計算機(jī)，被人稱為“計算機(jī)之父”.微積分中重要的思想和方法：1．“極限”方法，它是貫穿整個《微積分》始終。導(dǎo)數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限；定積分是一種特殊和式的極限；級數(shù)歸結(jié)為數(shù)列的極限；廣義積分定義為常義積分的極限；各種重積分、曲線積分、曲面積分都分別是某種和式的極限。所以，極限理論是整個《微積分》的基礎(chǔ)。盡管上述各種概念都是某種形式的極限，但是它們都有各自獨(dú)特和十分豐富深刻的內(nèi)容，這是《微積分》最有魅力的地方之一。2．“逼近”思想，它在《微積分》處處體現(xiàn)。在近似計算中，用容易求的割線代替切線，用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長代替所求曲線的長；用多項(xiàng)式代替連續(xù)函數(shù)等。這種逼近思想在理論和實(shí)際中大量運(yùn)用。3．“求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分”是最基本的方法。熟練掌握求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分的方法，學(xué)習(xí)《微積分》就不會遇到太多困難，甚至能做到得心應(yīng)手。4．“特色定理”是《微積分》的支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等是《微積分》中最深刻、最基本、最能體現(xiàn)《微積分》特色的定理，支撐起《微積分》的大廈。5．“綜合運(yùn)用能力”是《微積分》學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。充分注重綜合運(yùn)用極限概念與方法的能力、綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與積分相結(jié)合的各種方法的能力、綜合運(yùn)用定積分思想方法解決問題的能力、綜合運(yùn)用一元和多元相結(jié)合方法的能力、綜合運(yùn)用各種方法解決實(shí)際問題的能力。中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格的極限理論之后，才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述.連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性.我們將以極限為基礎(chǔ)，介紹連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).微分學(xué)三．微分學(xué)微分學(xué)微分導(dǎo)數(shù)微分導(dǎo)數(shù)運(yùn)算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用運(yùn)算概念應(yīng)用性質(zhì)概念運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用幾何意義定義微分形式不變性近似計算1.羅爾定理；2.拉格朗日中值定理；3.泰勒中值定理；4.洛比達(dá)法則。按定義求導(dǎo)法；幾何意義定義微分形式不變性近似計算1.羅爾定理；2.拉格朗日中值定理；3.泰勒中值定理；4.洛比達(dá)法則。按定義求導(dǎo)法；直接求導(dǎo)法；反函數(shù)求導(dǎo)法；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；對數(shù)求導(dǎo)法；隱函數(shù)求導(dǎo)法；高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法。幾何意義定義1.求切線、法線方程；1.求切線、法線方程；2.函數(shù)的一般性態(tài)研究；3.證明不等式。連續(xù)性連續(xù)性可微性可導(dǎo)性可微性可導(dǎo)性函數(shù)的一般性態(tài)函數(shù)的一般性態(tài)點(diǎn)性態(tài)區(qū)間性態(tài)點(diǎn)性態(tài)區(qū)間性態(tài)極（最）值增減性 極（最）值增減性拐點(diǎn)凹凸性漸近線 拐點(diǎn)凹凸性漸近線描繪函數(shù)圖象描繪函數(shù)圖象從15世紀(jì)初文藝復(fù)興時期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商貿(mào)得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟(jì)時代。而16世紀(jì)的的歐洲，正處在資本主義的萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求下，下列三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：求變速運(yùn)動的*時速度；求曲線上一點(diǎn)處的切線；求最大值和最小值。這三類實(shí)際問題的現(xiàn)實(shí)原型在數(shù)學(xué)上都可歸納為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即所謂函數(shù)的變化率問題。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，常常又會遇到這樣的問題：當(dāng)自變量有微小變化時，求函數(shù)的微小改變量.這個問題初看起來似乎只要做減法運(yùn)算就可以了，然而，對于較復(fù)雜的函數(shù)，差值卻是一個更復(fù)雜的表達(dá)式，不易求出其值。一個想法是：我們設(shè)法將表示成的線性函數(shù)，即線性化，從而把復(fù)雜問題化為簡單問題。微分就是實(shí)現(xiàn)這種線性化的一種數(shù)學(xué)模型。積分學(xué)四．積分學(xué)積分學(xué)定積分不定積分電路定積分不定積分電路運(yùn)算查積分表幾種特殊函數(shù)的積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法運(yùn)算查積分表幾種特殊函數(shù)的積分法性質(zhì)應(yīng)用概念一般積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形的面積為體積被積函數(shù)有無窮型間斷點(diǎn)積分區(qū)間為無限直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形的面積為體積被積函數(shù)有無窮型間斷點(diǎn)積分區(qū)間為無限第一換元法第二換元法第一換元法第二換元法牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.恩格斯數(shù)學(xué)發(fā)展的動力主要來源于社會發(fā)展的環(huán)境力量.17世紀(jì)，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當(dāng)時數(shù)學(xué)面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等.此類問題的研究具有久遠(yuǎn)的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國南北朝時期的祖沖之、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對此類問題的研究興起于17世紀(jì)，先是窮竭法被逐漸修改，后來由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.由求運(yùn)動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分，構(gòu)成了微積分學(xué)的微分學(xué)部分；同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成了微積分學(xué)的積分學(xué)部分.微分方程微分方程及其概念微分方程及其概念高階(常)微分方程（二階為主）一階(常)微分方程高階(常)微分方程（二階為主）一階(常)微分方程可降階的高階微分方程（三種）二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量的微分方程可降階的高階微分方程（三種）二階常系數(shù)微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量的微分方程非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次六．向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何平面及其方程空間直線及其方程向量的運(yùn)算向量的表示向量的概念平面及其方程空間直線及其方程向量的運(yùn)算向量的表示向量的概念旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面空間曲線及其方程空間曲線及其方程七．多元微分學(xué)多元微分學(xué)多元微分學(xué)極限與連續(xù)全微分偏導(dǎo)數(shù)極限與連續(xù)全微分偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)直接求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)法隱函數(shù)偏導(dǎo)法高階偏導(dǎo)數(shù)直接求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)法隱函數(shù)偏導(dǎo)法多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用多元函數(shù)極值幾何應(yīng)