中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編專題21：全等三角形(含答案)

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE．∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，∴BE=CE．在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（AAS）．∴AE=ME．∵AF⊥CD，∴EF=AE=EM=AM．∴∠M=∠EFC．∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．5、（2016齊河三模）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE＋DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離？答案：解：?jiǎn)栴}背景：EF＝BE＋DF；探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．6、（2016青島一模）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G、H，連接EH，F(xiàn)G．（1）求證：△BFH≌△DEG；（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：連接DF，如圖所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四邊形EGFH是菱形．7、（2016青島一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】動(dòng)點(diǎn)型．【分析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論，（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范圍是：0≤t≤5；（2）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴當(dāng)（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如圖①：過點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如圖②：過點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，△APQ是等腰三角形．8．(2016·浙江杭州蕭山區(qū)·模擬)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF．【解答】解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∴BF=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大．9．(2016·云南省·一模)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：△EBC≌△FCB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得BE=CF，然后再利用SAS判定△EBC≌△FCB．【解答】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AE=AF，∴AB﹣AE=AC﹣AF即BE=CF，在△EBC和△FCB中，，∴△EBC≌△FCB（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．10.（2016·吉林長(zhǎng)春朝陽區(qū)·一模）探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上截取BM=CN，連結(jié)MC、AN，延長(zhǎng)MC交AN于點(diǎn)P．（1）求證：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN=120°．應(yīng)用：將圖①的△ABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE，如圖②、③，在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上截取BM=CN，連結(jié)MC、DN，延長(zhǎng)MC交DN于點(diǎn)P，則圖②中∠CPN=90°；圖③中∠CPN=72°．拓展：若將圖①的△ABC改為正n邊形，其它條件不變，則∠CPN=°（用含n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】探究：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，從而得到△ACN≌△CBM．（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，即可求解．應(yīng)用：利用正方形（或正五邊形）的性質(zhì)得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，從而判斷出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和），即可．拓展：利用正n五邊形的性質(zhì)得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，從而判斷出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的內(nèi)角和，即可．【解答】探究：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠ACN=∠CBM=60°．在△ACN和△CBM中，∴△ACN≌△CBM．（2）解：∵△DCN≌△CBM，∴∠CAN=∠BCM，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°，故答案為120．應(yīng)用：將等邊三角形換成正方形，解：四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠MBC=∠DCN=120°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠CDN=∠BCM，∵∠BCM=∠PCN∴∠CDN=∠PCN在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90°，∴∠PCN+∠CND=90°，∴∠CPN=90，將等邊三角形換成正五邊形，五邊形ABCDE是正五邊形，∴BC=DC=108°．∴∠MBC=∠DCN=72°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108°∴∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°．故答案為90，72．拓展解：方法和上面正五邊形的方法一樣，得到∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，也是一道規(guī)律題，主要考查了正n邊形的性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，如等邊三角形、正方形、正五邊形的性質(zhì)，如由四邊形ABCD是正方形，得到BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵是充分利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和）．11．（2016·湖南省岳陽市十二校聯(lián)考·一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．．（1）求證：∠BAE=∠FEG．（2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．請(qǐng)借助圖1完成小明的證明；在（2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（3）小聰提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）根據(jù)∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得；（2）作AB的中點(diǎn)M，連接ME，根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；（3）在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME，同（2）根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得．【解答】解：（1）∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEG；（2）作AB的中點(diǎn)M，連接ME．∵正方形ABCD中，AB=BC，又∵AM=MB=AB，BE=CE=BC，∴MB=BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°．∴∠AME=∠ECF，∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF，∴AE=EF；（3）在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°∴∠AME=∠ECF∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵．12.（2016·湖北襄陽·一模）(本題11分）如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點(diǎn)G，連接PG．（1）求證：∠GCF＝∠FCE；（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若BP＝2，在直線AB上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由．第1題答案：（1）證明：過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，HKMHKM∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90o,AB＝BC，∴∠BAP＋∠APB＝90o∵AP⊥PF,∴∠APB＋∠FPH＝90o∴∠FPH＝∠BAP又∵AP＝PF∴△BAP≌△HPF∴PH＝AB，BP＝FH∴PH＝BC∴BP＋PC＝PC＋CH∴CH＝BP＝FH而∠FHC＝90o.∴∠FCH＝CFH＝45o∴∠DCF＝90o－45o＝45o∴∠GCF＝∠FCE（2）PG＝PB＋DG證明：延長(zhǎng)PB至K，使BK=DG,∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD,∠ABK＝ADG=90o∴△ABK≌△ADG∴AK=AG,∠KAB＝∠GAD,而∠APF=90o,AP=PF∴∠PAF＝∠PFA＝45o∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45o＝∠PAF∴△KAP≌△GAP∴KP=PG,∴KB＋BP=DG＋BP＝PG即，PG＝PB＋DG；（3）存在.如圖，在直線AB上取一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，則MD∥PF，且MD＝FP，又∵PF=AP，∴MD=AP∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABP=∠DAM∴△ABP≌△DAM∴AM＝BP=2，∴BM＝AB－AM=5－2=3.∴當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時(shí)，四邊形DMPF是平行四邊形．13..（2016·廣東·一模）（本題滿分10分）定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，樂老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形．理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB、BC為邊的兩個(gè)對(duì)等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對(duì)等四邊形；（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點(diǎn)A在BP邊上，且AB=13．用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點(diǎn)D，使四邊形ABCD為對(duì)等四邊形，并求出CD的長(zhǎng)．解：（1）如圖1所示（畫2個(gè)即可）．（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對(duì)等四邊形．（3）如圖3，點(diǎn)D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置，AD2=AD3