第三章 幾何元素間的相對位置

第三章幾何元素間的相對位置第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1平行問題3.1.1直線與直線平行1）對一般直線，只要兩直線的同名投影平行就能確定空間中兩條直線平行2）對投影面的平行線，這樣的條件不夠第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月對投影面的平行線與投影面平行的直線只有兩直線的同名投影平行不能確定空間中兩條直線平行如何確定某一直線為特殊直線？第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2直線與平面平行定理（1）如果一直線與平面上某一直線平行，則此直線與該平面平行簡單證明-例3-1：過k點(diǎn)作直線與平面ABC平行解是否唯一？第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2：若一直線與與某一投影面的垂直面平行，則該直線必有一個(gè)投影與平面具有積聚性的那個(gè)投影平行證明：∵一定可以再平面P內(nèi)作直線CD//AB∴它們的投影也必定平行第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3平面與平面平行定理1若一平面上兩相交直線對應(yīng)地與另一平面上的相交直線平行，則這兩個(gè)平面互相平行例：過K點(diǎn)作一平面與相交直線AB確定的平面平行第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

若兩投影面垂直面互相平行，則它們具有積聚性的那組投影互相平行證明：∵根據(jù)2平行平面與另一平面相交，其交線互相平行第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2相交問題1）直線與直線相交-如果2直線相交，則各個(gè)投影面上的同名投影也相交，且這些交點(diǎn)符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2）兩直線交叉-既不平行也不相交如果2直線交叉，則投影面上的同名投影也可能相交，但這些交點(diǎn)不符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律應(yīng)用重影點(diǎn)可以方便地判斷兩直線的空間位置第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2直線與平面相交直線若與平面不平行就必然相交，交點(diǎn)稱穿點(diǎn)1）平面為特殊位置平面若平面為特殊位置平面，可利用投影的積聚性，簡便地求出穿點(diǎn)例：ABC為水平面，MN為直線，求穿點(diǎn)？被平面遮擋部分為不可見線段，用虛線表示，以提高投影圖的表現(xiàn)力可見性判斷方法：從正面投影向下看判斷可見性第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.直線為特殊位置直線若直線為投影面的垂直線，利用其積聚性使求穿點(diǎn)簡化例：已知EK為鉛垂線，穿點(diǎn)k，求K的水正投影k‘?？梢娦耘袛喾椒ǎ旱?1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.平面及直線都處于一般位置利用輔助平面求穿點(diǎn)，作一個(gè)包含直線EF的輔助平面P，與已知平面的交線為MN，EF與MN的交點(diǎn)K則為穿點(diǎn)。作圖步驟1）包含已知直線作一個(gè)平面（投影面的垂直面）2）求輔助面與已知平面的交線3）此交線與已知直線的交點(diǎn)即為穿點(diǎn)例：已知平面ABC與直線EF的投影，求他們的交點(diǎn)K，并判斷可見性。第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3平面與平面相交不平行的2個(gè)平面具有交線只要求出交線上的2個(gè)點(diǎn)就可以確定2個(gè)平面的交線1）直接法只要2個(gè)平面中有一個(gè)是特殊位置平面時(shí)，利用積聚性可簡便求出交線例3-4求水平面Q與三角形平面ABC的交線第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2）輔助平面法當(dāng)2個(gè)平面均為一般平面時(shí)，其交線不能直接求出，需利用輔助平面來解決第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：P、Q為相交平面，求它們的交線求解原理：用輔助平面R截平面P和Q，得交線AK和KB，則K點(diǎn)為平面P和Q交線中的一點(diǎn)。同理求出另一交點(diǎn)L.K和L確定的直線就是所求2平面的交線具體作圖方法：作水平面R和S利用2平行平面與地3平面相交，其交線互相平行的特性，可簡化作圖第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：P（2相交直線AB與CD確定）、Q（平行線DE與FG確定）為相交平面，求它們的交線解：先作正平面R，求得第一個(gè)交點(diǎn)K，同理求得另一交點(diǎn)L第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3）穿點(diǎn)法利用求一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面的穿點(diǎn)作為兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)。為求2個(gè)共有點(diǎn)可取2條直線，或2個(gè)平面各取一條直線互穿對方。第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求平面ABC與EFG的交線，判別可見性1)求公共點(diǎn)M:作包含直線DE的正垂面，正面跡線為1‘2’。通過投影關(guān)系求出m點(diǎn)2）同理的n點(diǎn)3）判別可見性先判斷正投影的可見性。在正投影上找一重影點(diǎn)可見性判斷第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3垂直問題3.3.1直角的投影定理1：若組成直角2邊中的一邊平行于某投影面，則它的投影仍為直角，反之亦成立。證明：∵∠ABC為直角(已知)，∴BC⊥□ABab,又有BC//bc(已知),∴bc⊥□ABab∴bc⊥ab得證可以推廣到交叉直線逆定理亦成立推廣到空間交叉直線第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：過點(diǎn)D作直線與正平線MN垂直相交思路：∵M(jìn)N為正平線，∴MN//V面，假如有一直線與MN垂直相交，則它們在V面上的投影仍為直角解：第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2直線與平面垂直定理：若一直線垂直于平面，則此直線的水平投影一定垂直于該平面水平線的水平投影證明：∵NK⊥平面P，∴NK⊥AB∵AB//平面H，根據(jù)定理1，∴nk⊥ab此定理可推廣到正平面和側(cè)平面第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月此定理可推廣到正平面和側(cè)平面推論：若一直線垂直于平面，則此直線的各的投影一定垂直于該平面的同名跡線第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-8：過點(diǎn)M作直線垂直于平面ABC解：作正平線AE和水平線CF，則所求直線MN⊥AE和CF,于是過m作mn⊥cf,m’n’⊥a’e’為所求第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-9過點(diǎn)K作平面垂直于已知直線MN解：此題只要作2相交直線同時(shí)垂直于MN即可1)過K作正平線KB，使k’b’⊥m’n’2)過K作水平線KC，使k’c’⊥m’n’KB,KC確定的平面為所求第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-10過M作直線垂直于平面P，過N作直線垂直于平面Q根據(jù)推論：平面的垂線，其投影必垂直于同名跡線。因P、Q為投影面的垂面，其跡線容易求出，過m作2跡線的垂線即為所求。第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3直線與直線垂直（一般直線）例3-11過D作直線與MN垂直相交空間分析：由立體幾何知所求直線位于過D且垂直于MN的平面上，設(shè)垂足為K，則DK為所求解：1）過D作平面P垂直于MN，（P面由正平線DE和水平線DF確定了一個(gè)平面）必有df⊥mn及d’e’⊥m’n’2）過MN作正垂面R，跡線Rv交d’e’、d’f’與1’2’.3)求MN與平面P的交點(diǎn)K4)連接DK為所求第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-12已知光源入射于與V面垂直的平面鏡P，求反射光線T空間分析：入射光、反射光及入射處的鏡面法線共面，入射角=反射角解：第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4平面與平面垂直定理：若一平面過另一平面的垂線，則這兩平面垂直繪制互相垂直平面的方法：1）使平面Q過垂直于平面P的直線AB2）使平面Q垂直于平面上的直線CD第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-13過直線MN作一平面，垂直于△ABC確定的平面想法：在直線上找一點(diǎn)做平面ABC的垂線，即此垂線和MN確定的平面為所求解：1）在△ABC上容易作水平線AD和正平線ＡE2）作mk⊥ad,m’k’⊥a’e’3)MN和MK確定的平面為所求第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-14過點(diǎn)M作一正平面Q，垂直于△ABC確定的平面∵Q為正垂面，∴它垂直于某一條正平線，于是根據(jù)第2種作圖法，只要作Q⊥這條正平線就可以解：作正平線cd，第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月綜合練習(xí)：例3-15求過K點(diǎn)作平面平行于△ABC且與MN相交的直線分析：1）所求直線必在過K點(diǎn)與△ABC平面平行的平面上2）同時(shí)該直線也在過K點(diǎn)且與直線MN垂直的平面上綜上所述：該直線在上述兩平面的交線上作圖：1）作平行于△ABC的平面（由直線KE、KF確定，KE//DC、KF//DB

）2）過MN作正垂面3）找出相應(yīng)投影點(diǎn)4）KL為所求第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4更換投影面選取合適的輔助平面，使解題變得容易選取輔助平面的2個(gè)因素1）輔助平面必須處于解題的有利位置2）輔助平面必須垂直于原有某一投影面為什么有時(shí)需要變換投影面（換面法）第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2點(diǎn)的變換規(guī)律掌握點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的基礎(chǔ)1.更換一次投影面2.新舊投影之間的關(guān)系1)點(diǎn)A到H面的距離不變2)2投影的連線垂直于新軸3)點(diǎn)的新投影到新軸的距離與原投影到軸線距離不變2.新投影的作圖方法第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.新投影的作圖方法1)替換V面2)替換H面情況與替換V面相同第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.更換2次投影面點(diǎn)的2次變換第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.34個(gè)基本問題1.把一般直線變成投影面平行線空間分析:設(shè)鉛垂面P1平行于MN,這樣在新投影體系P1/H中MN就是投影面平行線作圖：m1n1與X1軸的夾角α就是MN與H面的夾角第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.把一般直線變成投影面的垂線需要2次變換因?yàn)?，垂直于普通直線的平面必然是普通平面1）在P1/H體系變換成投影面平行線2）在P1、P2體系變換成投影面垂線第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月3.把一般位置平面變成投影面才垂面空間分析：要使新投影面P1垂直于△ABC必須使P1⊥△ABC內(nèi)的一條直線。為此作水平線BD，作平面P1⊥BD，P1也必垂直于H面作圖方法：第38頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月4.把一般平面變成投影面的平行面要經(jīng)過2次變換1）先變成投影面的垂直面2）變成投影面的平行面第39頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-16過D點(diǎn)作一直線與一般直線垂直相交根據(jù)直角的投影特性，當(dāng)2直線的一條邊為投影面的平行線時(shí)，它在該投影面的投影仍為直角為了能直接向MN畫垂線，先