中考數(shù)學(xué)試卷：與圓有關(guān)的壓軸題

與圓有關(guān)的壓軸題（四）16．（2014?廣西來(lái)賓，第24題10分）如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點(diǎn)B，AF交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交⊙O于點(diǎn)E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點(diǎn)G，連接AE．（1）直接寫(xiě)出AE與BC的位置關(guān)系；（2）求證：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定．專題：綜合題．分析：（1）由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．（2）易證∠CBF=∠BAE，再結(jié)合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG=；設(shè)圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC﹣AD=可求出⊙O的半徑長(zhǎng)．解答：解：（1）如圖1，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．∴AE⊥BC．（2）如圖1，∵BF與⊙O相切，∴∠ABF=90°．∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE．（3）連接BD，如圖2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴BD⊥AF．∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，∴CD=．∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴AB=AC．設(shè)⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．∵∠ADB=90°，∴AD=r．∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=（2﹣）r=．∴r=2+3．∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2+3．∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=．點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、相似等重要知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問(wèn)中，注意圖形面積的計(jì)算方法；第（3）問(wèn)中，解題關(guān)鍵是理解“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義．18．（2014?黔南州，第26題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式 （2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題．分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得對(duì)稱軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長(zhǎng)，與到拋物線的對(duì)稱軸的距離相比較即可；（3）過(guò)P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長(zhǎng)；然后根據(jù)三角形面積的計(jì)算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）2﹣1，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，；∴拋物線為；（3分）（2）相交．證明：連接CE，則CE⊥BD，當(dāng)時(shí)，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），對(duì)稱軸x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相交．（7分）（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q；可求出AC的解析式為；（8分）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）；∴PQ=﹣\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m+3﹣（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m2﹣2m+3）=﹣\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m2+\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""×（﹣\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m2+\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""m）×6=﹣\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（m﹣3）2+；∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為；此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）．（10分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)．19、（2014年江蘇南京,26題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓．（1）求⊙O的半徑；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B沿邊BA向點(diǎn)A以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，若⊙P與⊙O相切，求t的值．【分析】：（1）求圓的半徑，因?yàn)橄嗲?，我們通常連接切點(diǎn)和圓心，設(shè)出半徑，再利用圓的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)表示其中關(guān)系，得到方程，求解即得半徑．（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內(nèi)切．所以我們要分別討論，當(dāng)外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑的和；當(dāng)內(nèi)切時(shí)，圓心距等于大圓與小圓半徑的差．分別作垂線構(gòu)造直角三角形，類似（1）通過(guò)表示邊長(zhǎng)之間的關(guān)系列方程，易得t的值．【解】：（1）如圖1，設(shè)⊙O與AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，則AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．∵∠C=90°，∴四邊形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形CEOF是正方形．設(shè)⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即⊙O的半徑為1cm．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC，垂直為G．∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，∴PG=，BG=．若⊙P與⊙O相切，則可分為兩種情況，⊙P與⊙O外切，⊙P與⊙O內(nèi)切．①當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí)，如圖3，連接OP，則OP=1+t，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OE，垂足為H．∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四邊形PHEG是矩形，∴HE=PG，PH=CE，∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．在Rt△OPH中，由勾股定理，，解得t=．②當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時(shí)，如圖4，連接OP，則OP=t﹣1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PG，垂足為M．∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四邊形OEGM是矩形，∴MG=OE，OM=EG，∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，在Rt△OPM中，由勾股定理，，解得t=2．綜上所述，⊙P與⊙O相切時(shí)，t=s或t=2s．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了圓的性質(zhì)、兩圓相切及通過(guò)設(shè)邊長(zhǎng)，表示其他邊長(zhǎng)關(guān)系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點(diǎn)，總體題目難度不高，是一道非常值得練習(xí)的題目．20、（2014?瀘州24題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2=CE?CA．（1）求證：BC=CD；（2）分別延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若PB=OB，CD=，求DF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．【分析】：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出結(jié)論．（2）連接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC=，再由割線定理PC?PD=PB?PA求得半徑為4，根據(jù)勾股定理求得AC=，再證明△AFD∽△ACB，得，則可設(shè)FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=．【解答】：（1）證明：∵DC2=CE?CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如圖，連接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC?PD=PB?PA∴PA=4也就是半徑OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，設(shè)FD=x，則AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及圓周角的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角和邊求解．21、（2014?濟(jì)寧21題）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC?r+AC?r+AB?r=（a+b+c）r．∴r=．（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求的值．【考點(diǎn)】：圓的綜合題．【分析】：（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過(guò)程，r易得．（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、易得．【解答】：（1）如圖2，連接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=+++=，∴r=．（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵梯形ABCD為等腰梯形，∴AE===5，∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16．在Rt△AED中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴DB==20．∵S△ABD===126，S△CDB===66，∴===．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力，同時(shí)考查了解直角三角形及等腰梯形等相關(guān)知識(shí)．這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，是一道值得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．22、（2014.福州20題）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，，點(diǎn)D為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠D=∠ACB，⊙O為△ABC的外接圓.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求⊙O的半徑.【解析】∴.（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=.∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD.∴，即.∴DM=4.∴⊙O的半徑為2.【考點(diǎn)】：1.銳角三角函數(shù)定義；2.特殊角的三角函數(shù)值；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.圓周角定理；5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；6.含30度角直角三角形的性質(zhì)；7.勾股定理.23、（2014.廣州25題）如圖7，梯形中，，，,，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為，連接，設(shè)，的面積為，的面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)落在梯形的中位線上時(shí)，求的值；（2）試用表示，并寫(xiě)出的取值范圍；（3）當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切時(shí)，求的值．【答案】解：（1）如圖1，為梯形的中位線，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則有：在中，有在中，又解得：（2）如圖2，交于點(diǎn)，與關(guān)于對(duì)稱，則有：，又又與關(guān)于對(duì)稱，（3）如圖3，當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切時(shí)，則為切點(diǎn).的圓心落在的中點(diǎn)，設(shè)為則有，過(guò)點(diǎn)作，連接，得則又解得：（舍去）①②③24、（2014?寧波26）木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案：方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓；方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．（1）寫(xiě)出方案一中圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說(shuō)明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．【考點(diǎn)】：圓的綜合題【分析】：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，由已知長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長(zhǎng)的題目．一般都先設(shè)出所求邊長(zhǎng)，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長(zhǎng)，方案二中可利用△O1O2E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后對(duì)應(yīng)邊成比例整理方程，進(jìn)而可求r的值．（3）①類似（1）截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過(guò)橫縱向方向跨度．則選擇最小跨度，取其，即為半徑．由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論．②已有關(guān)系表達(dá)式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑．另與前三方案比較，即得最終結(jié)論．【解答】：解：（1）方案一中的最大半徑為1．分析如下：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．（2）如圖1，方案二中連接O1，O2，過(guò)O1作O1E⊥AB于E，方案三中，過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時(shí)M，N恰為⊙O與AB，BF的切點(diǎn)．方案二：設(shè)半徑為r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：設(shè)半徑為r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比較知，方案三半徑較大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼圖形水平方向跨度為3﹣x，豎直方向跨度為2+x．類似（1），所截出圓的直徑最大為3﹣x或2+x較小的．1．當(dāng)3﹣x＜2+x時(shí)，即當(dāng)x＞時(shí)，r=（3﹣x）；2．當(dāng)3﹣x=2+x時(shí)，即當(dāng)x=時(shí)，r=（3﹣）=；3．當(dāng)3﹣x＞2+x時(shí)，即當(dāng)x＜時(shí)，r=（2+x）．②當(dāng)x＞時(shí)，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；當(dāng)x=時(shí)，r=（3﹣）=；當(dāng)x＜時(shí)，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，當(dāng)x=時(shí)，r最大為．∵1＜＜＜，∴方案四時(shí)可取的圓桌面積最大．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過(guò)勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長(zhǎng)及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細(xì)觀察每一小問(wèn)都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點(diǎn)，所以總體來(lái)說(shuō)是一道質(zhì)量很高的題目，值得認(rèn)真練習(xí)．25、（2014?泰州25題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方．（1）若直線AB與有兩個(gè)交點(diǎn)F、G．①求∠CFE的度數(shù)；②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫(xiě)出b的取值范圍；（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】：圓的綜合題【分析】：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對(duì)的圓周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB點(diǎn)M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根據(jù)式子寫(xiě)出b的范圍，