2022年中考數(shù)學(xué)模擬試題壓軸題匯編(五)

2022年中考數(shù)學(xué)試題壓軸題匯編(五)26．(湖南省長(zhǎng)沙市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．BBAPxCQOy第26題圖解：(1)∵CQ＝t，OP=t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝（0＜t＜8）…3分(2)∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32…………5分∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32…………6分（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí),△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°又∵BQ與AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴解得：t＝4經(jīng)檢驗(yàn)：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長(zhǎng)關(guān)系和速度）此時(shí)P（，0）∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，∴拋物線是，直線BP是：…8分設(shè)M（m,）、N(m，)∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)∴∵與交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P∴當(dāng)時(shí)，………………9分∴＝∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是2∴設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)則、∴S△BHM＝＝∴S△BHM：S五邊形QOPMH＝＝3:29∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29．……10分28.（南京市8分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG。（1）設(shè)AE=時(shí)，△EGF的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)。解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0y=;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0<x≤2在正方形ABCD中∠A=∠ADC=90°,∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF.∵AM=DM∠AME=∠DMF.∴△AME≌△DMF.∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x,AM=1,EF=2ME=2過M作MN⊥BC于N，則∠MNG=90°,∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠NMG+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Ｒt△AME∽Ｒt△NMG∴即∴MG=2ME=2∴×2×2=2+2x2∴y=2x2+2(0≤x≤2)(2)Ｐ的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2．25．（云南省昆明市12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點(diǎn).（1）求此拋物線的解析式；（2）以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào)）解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：由題意得： ……………1分解得：………………2分∴拋物線的解析式為：………………3分（2）存在 ………………4分l′l′拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，作拋物線和⊙M（如圖），設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C連接MC，過C作CD⊥x軸于D∵M(jìn)C=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)設(shè)切線l的解析式為:，點(diǎn)B、C在l上，可得：解得：∴切線BC的解析式為：∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn)由解得：∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，………………8分∵拋物線的對(duì)稱軸是直線此拋物線、⊙M都與直線成軸對(duì)稱圖形于是作切線l關(guān)于直線的對(duì)稱直線l′(如圖)得到B、C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B1、C1l′滿足題中要求，由對(duì)稱性，得到P1、P2關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)：，即為所求的點(diǎn).∴這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)：，，，……12分（本題其它解法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）25．(江西省)課題：兩個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．實(shí)驗(yàn)與論證設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ（1）用含α的式子表示角的度數(shù)：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）圖1－圖4中，連接A0H時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)選擇期中的一個(gè)圖給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；歸納與猜想設(shè)正n邊形A0A1A2…An-1與正n邊形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1與B1重合），現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…Bn-1繞頂點(diǎn)A0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（3）設(shè)θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫出θn的度數(shù)；（4）試猜想在正n邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請(qǐng)說明理由．解:（１）．………3分說明：每寫對(duì)一個(gè)給1分.（２）存在·下面就所選擇圖形的不同分別給出證明:選圖１，圖１中有直線垂直平分．證明如下:方法一:證明：∵△與△與是全等的等邊三角形，∴.∴.又∠.∴∴.∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上.又∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分．………………….6分方法二:證明:∵△與△與是全等的等邊三角形，∴.∴.又∠.∴∴.在△與△中,∵∴△△.∴.∴是等腰三角形的頂角平分線.∴直線垂直平分.…………..6分選圖2.圖2中有直線垂直平分，證明如下：∵∴.又∵∴∴,∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上.又,∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分．…………….6分.說明:(i)在圖2中選用方法二證明的，參照上面的方法二給分；（ii）選圖3或圖4給予證明的，參照上述證明過程評(píng)分.（３）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．…….8分.（４）存在，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，直線垂直平分．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，直線垂直平分．……….10分.說明：第（３）、（４）問中，每寫對(duì)一個(gè)得1分.26.(遼寧省大連市)如圖17，拋物線F：與軸相交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過點(diǎn)C且平行于軸，將向上平移t個(gè)單位得到直線，設(shè)與拋物線F的交點(diǎn)為C、D，與拋物線F的交點(diǎn)為A、B，連接AC、BC（1）當(dāng)，，，時(shí)，探究△ABC的形狀，并說明理由；（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A’恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積（用含a的式子表示）OCOCABDx圖17解：（1）結(jié)論：是直角三角形.1分由題意：令解得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為設(shè)與軸相交于點(diǎn)，在和中是直角三角形 2分（2）由題意，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 3分 4分設(shè)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為為直角三角形 5分即 6分 7分（舍去） 8分（3）依題意，點(diǎn)與點(diǎn)重合在拋物線的對(duì)稱軸上，與關(guān)于軸對(duì)稱軸四邊形是平行四邊形 9分在中與關(guān)于軸對(duì)稱為等邊三角形 10分 11分 12分25、(陜西省)問題探究(1)請(qǐng)你在圖①中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；（2）如圖②點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)你在圖②中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。問題解決（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DC∥OB,OB=6,CD=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（4,2）處。為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認(rèn)為直線l是否存在？若存在求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）如圖①（2）如圖②連結(jié)AC、BC交與P則P為矩形對(duì)稱中心。作直線MP，直線MP即為所求。如圖③存在直線l過點(diǎn)D的直線只要作DA⊥OB與點(diǎn)A則點(diǎn)P(4,2)為矩形ABCD的對(duì)稱中心∴過點(diǎn)P的直線只要平分△DOA的面積即可易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA面積平分。從而，直線PH平分梯形OBCD的面積即直線PH為所求直線l設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b且點(diǎn)P(4,2)∴2=4k+b即b=2－4k∴y=kx+2－4k∵直線OD的表達(dá)式為y=2x∴解之∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）∴PH與線段AD的交點(diǎn)F（2,2－2k）∴0＜2－2k＜4∴－1＜k＜1∴S△DHF=∴解之，得。（舍去）∴b=8－∴直線l的表達(dá)式為y=24．(山東省濟(jì)南市本小題滿分9分)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線BD的函數(shù)表達(dá)式為，拋物線的對(duì)稱軸l與直線BD交于點(diǎn)C、與x軸交于點(diǎn)E．⑴求A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．⑵點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），以點(diǎn)A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點(diǎn)N，分別連接AN、BM、MN．①求證：AN=BM．DCMNOABPlDCMNOABPl第24題圖yExDCMNOABDCMNOABP第24題圖lxyFE解得：，∴A(－1，0)，B(3，0) 2分∵=，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，將x=1代入，得y=2，∴C（1，2）. 3分⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60o，∴AC=BC，∴△ABC為等邊三角形， 4分∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60o，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM. 5分②四邊形AMNB的面積有最小值． 6分設(shè)AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，過M作MF⊥BC,垂足為F,則MF=MC?sin60o=，∴S△CMN==?=， 7分∴S=S△ABC－S△CMN=－（）= 8分∴m=2時(shí)，S取得最小值3. 9分23.（紅河州本小題滿分14分）如圖9，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度數(shù).（2）以O(shè)B為直徑的⊙O‘與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O‘相切？（3）寫出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請(qǐng)說明理由.解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如圖10，連接O‘P，O‘M.當(dāng)PM與⊙O‘相切時(shí)，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等邊三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=，t=3即：t=3時(shí)，PM與⊙O‘相切.（3）如圖9，過點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=