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2022年中考數(shù)學(xué)試題壓軸題匯編(五)26.(湖南省長沙市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,cm,OC=8cm,現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā),P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運動,Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動.設(shè)運動時間為t秒(1)用t的式子表示△OPQ的面積S;(2)求證:四邊形OPBQ的面積是一個定值,并求出這個定值;(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時,拋物線經(jīng)過B、P兩點,過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N,當(dāng)線段MN的長取最大值時,求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比.BBAPxCQOy第26題圖解:(1)∵CQ=t,OP=t,CO=8∴OQ=8-t∴S△OPQ=(0<t<8)…3分(2)∵S四邊形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ==32…………5分∴四邊形OPBQ的面積為一個定值,且等于32…………6分(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時,△QPB必須是一個直角三角形,依題意只能是∠QPB=90°又∵BQ與AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴解得:t=4經(jīng)檢驗:t=4是方程的解且符合題意(從邊長關(guān)系和速度)此時P(,0)∵B(,8)且拋物線經(jīng)過B、P兩點,∴拋物線是,直線BP是:…8分設(shè)M(m,)、N(m,)∵M在BP上運動∴∵與交于P、B兩點且拋物線的頂點是P∴當(dāng)時,………………9分∴=∴當(dāng)時,MN有最大值是2∴設(shè)MN與BQ交于H點則、∴S△BHM==∴S△BHM:S五邊形QOPMH==3:29∴當(dāng)MN取最大值時兩部分面積之比是3:29.……10分28.(南京市8分)如圖,正方形ABCD的邊長是2,M是AD的中點,點E從點A出發(fā),沿AB運動到點B停止,連接EM并延長交射線CD于點F,過M作EF的垂線交射線BC于點G,連結(jié)EG、FG。(1)設(shè)AE=時,△EGF的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;(2)P是MG的中點,請直接寫出點P的運動路線的長。解:(1)當(dāng)點E與點A重合時,x=0y=;當(dāng)點E與點A不重合時,0<x≤2在正方形ABCD中∠A=∠ADC=90°,∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF.∵AM=DM∠AME=∠DMF.∴△AME≌△DMF.∴ME=MF在Rt△AME中,AE=x,AM=1,EF=2ME=2過M作MN⊥BC于N,則∠MNG=90°,∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠NMG+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt△AME∽Rt△NMG∴即∴MG=2ME=2∴×2×2=2+2x2∴y=2x2+2(0≤x≤2)(2)P的運動路線的長為2.25.(云南省昆明市12分)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三點.(1)求此拋物線的解析式;(2)以O(shè)A的中點M為圓心,OM長為半徑作⊙M,在(1)中的拋物線上是否存在這樣的點P,過點P作⊙M的切線l,且l與x軸的夾角為30°,若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注意:本題中的結(jié)果可保留根號)解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:由題意得: ……………1分解得:………………2分∴拋物線的解析式為:………………3分(2)存在 ………………4分l′l′拋物線的頂點坐標(biāo)是,作拋物線和⊙M(如圖),設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點B,與⊙M相切于點C連接MC,過C作CD⊥x軸于D∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)設(shè)切線l的解析式為:,點B、C在l上,可得:解得:∴切線BC的解析式為:∵點P為拋物線與切線的交點由解得:∴點P的坐標(biāo)為:,………………8分∵拋物線的對稱軸是直線此拋物線、⊙M都與直線成軸對稱圖形于是作切線l關(guān)于直線的對稱直線l′(如圖)得到B、C關(guān)于直線的對稱點B1、C1l′滿足題中要求,由對稱性,得到P1、P2關(guān)于直線的對稱點:,即為所求的點.∴這樣的點P共有4個:,,,……12分(本題其它解法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分)25.(江西省)課題:兩個重疊的正多邊形,其中的一個繞某一個頂點旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題.實驗與論證設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0B1),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ(1)用含α的式子表示角的度數(shù):θ3=_________,θ4=_________,θ5=_________;(2)圖1-圖4中,連接A0H時,在不添加其他輔助線的情況下,是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在,請選擇期中的一個圖給出證明;若不存在,請說明理由;歸納與猜想設(shè)正n邊形A0A1A2…An-1與正n邊形A0B1B2…Bn-1重合(其中,A1與B1重合),現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…Bn-1繞頂點A0逆時針旋轉(zhuǎn)α(3)設(shè)θn與上述“θ3,θ4,…”的意義一樣,請直接寫出θn的度數(shù);(4)試猜想在正n邊形且不添加其他輔助線的情形下,是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段?若存在,請將這條線段用相應(yīng)的頂點字母表示出來(不要求證明);若不存在,請說明理由.解:(1).………3分說明:每寫對一個給1分.(2)存在·下面就所選擇圖形的不同分別給出證明:選圖1,圖1中有直線垂直平分.證明如下:方法一:證明:∵△與△與是全等的等邊三角形,∴.∴.又∠.∴∴.∴點在線段的垂直平分線上.又∴點在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分.………………….6分方法二:證明:∵△與△與是全等的等邊三角形,∴.∴.又∠.∴∴.在△與△中,∵∴△△.∴.∴是等腰三角形的頂角平分線.∴直線垂直平分.…………..6分選圖2.圖2中有直線垂直平分,證明如下:∵∴.又∵∴∴,∴點在線段的垂直平分線上.又,∴點在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分.…………….6分.說明:(i)在圖2中選用方法二證明的,參照上面的方法二給分;(ii)選圖3或圖4給予證明的,參照上述證明過程評分.(3)當(dāng)為奇數(shù)時,,當(dāng)為偶數(shù)時,.…….8分.(4)存在,當(dāng)為奇數(shù)時,直線垂直平分.當(dāng)為偶數(shù)時,直線垂直平分.……….10分.說明:第(3)、(4)問中,每寫對一個得1分.26.(遼寧省大連市)如圖17,拋物線F:與軸相交于點C,直線經(jīng)過點C且平行于軸,將向上平移t個單位得到直線,設(shè)與拋物線F的交點為C、D,與拋物線F的交點為A、B,連接AC、BC(1)當(dāng),,,時,探究△ABC的形狀,并說明理由;(2)若△ABC為直角三角形,求t的值(用含a的式子表示);(3)在(2)的條件下,若點A關(guān)于軸的對稱點A’恰好在拋物線F的對稱軸上,連接A’C,BD,求四邊形A’CDB的面積(用含a的式子表示)OCOCABDx圖17解:(1)結(jié)論:是直角三角形.1分由題意:令解得點的坐標(biāo)分別為設(shè)與軸相交于點,在和中是直角三角形 2分(2)由題意,,設(shè)點的坐標(biāo)為 3分 4分設(shè)為的中點,則點的坐標(biāo)為為直角三角形 5分即 6分 7分(舍去) 8分(3)依題意,點與點重合在拋物線的對稱軸上,與關(guān)于軸對稱軸四邊形是平行四邊形 9分在中與關(guān)于軸對稱為等邊三角形 10分 11分 12分25、(陜西省)問題探究(1)請你在圖①中做一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;(2)如圖②點M是矩形ABCD內(nèi)一點,請你在圖②中過點M作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。問題解決(3)如圖③,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖,其中DC∥OB,OB=6,CD=4開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(其占地面積不計)設(shè)在點P(4,2)處。為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過點P修一條筆直的道路(路寬不計),并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分,你認(rèn)為直線l是否存在?若存在求出直線l的表達式;若不存在,請說明理由解:(1)如圖①(2)如圖②連結(jié)AC、BC交與P則P為矩形對稱中心。作直線MP,直線MP即為所求。如圖③存在直線l過點D的直線只要作DA⊥OB與點A則點P(4,2)為矩形ABCD的對稱中心∴過點P的直線只要平分△DOA的面積即可易知,在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分。從而,直線PH平分梯形OBCD的面積即直線PH為所求直線l設(shè)直線PH的表達式為y=kx+b且點P(4,2)∴2=4k+b即b=2-4k∴y=kx+2-4k∵直線OD的表達式為y=2x∴解之∴點H的坐標(biāo)為(,)∴PH與線段AD的交點F(2,2-2k)∴0<2-2k<4∴-1<k<1∴S△DHF=∴解之,得。(舍去)∴b=8-∴直線l的表達式為y=24.(山東省濟南市本小題滿分9分)如圖所示,拋物線與x軸交于A、B兩點,直線BD的函數(shù)表達式為,拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E.⑴求A、B、C三個點的坐標(biāo).⑵點P為線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合),以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M,以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N,分別連接AN、BM、MN.①求證:AN=BM.DCMNOABPlDCMNOABPl第24題圖yExDCMNOABDCMNOABP第24題圖lxyFE解得:,∴A(-1,0),B(3,0) 2分∵=,∴拋物線的對稱軸為直線x=1,將x=1代入,得y=2,∴C(1,2). 3分⑵①在Rt△ACE中,tan∠CAE=,∴∠CAE=60o,∴AC=BC,∴△ABC為等邊三角形, 4分∴AB=BC=AC=4,∠ABC=∠ACB=60o,又∵AM=AP,BN=BP,∴BN=CM,∴△ABN≌△BCM,∴AN=BM. 5分②四邊形AMNB的面積有最小值. 6分設(shè)AP=m,四邊形AMNB的面積為S,由①可知AB=BC=4,BN=CM=BP,S△ABC=×42=,∴CM=BN=BP=4-m,CN=m,過M作MF⊥BC,垂足為F,則MF=MC?sin60o=,∴S△CMN==?=, 7分∴S=S△ABC-S△CMN=-()= 8分∴m=2時,S取得最小值3. 9分23.(紅河州本小題滿分14分)如圖9,在直角坐標(biāo)系xoy中,O是坐標(biāo)原點,點A在x正半軸上,OA=cm,點B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動,動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動,動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動,移動時間為t(0<t<6)s.(1)求∠OAB的度數(shù).(2)以O(shè)B為直徑的⊙O‘與AB交于點M,當(dāng)t為何值時,PM與⊙O‘相切?(3)寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式,并求s的最小值及相應(yīng)的t值.(4)是否存在△APQ為等腰三角形,若存在,求出相應(yīng)的t值,若不存在請說明理由.解:(1)在Rt△AOB中:tan∠OAB=∴∠OAB=30°(2)如圖10,連接O‘P,O‘M.當(dāng)PM與⊙O‘相切時,有∠PMO‘=∠POO‘=90°,△PMO‘≌△POO‘由(1)知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等邊三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=,t=3即:t=3時,PM與⊙O‘相切.(3)如圖9,過點Q作QE⊥x于點E∵∠BAO=30°,AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q點的坐標(biāo)為(-t,2t)S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=
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