2022年中考數學模擬試題壓軸題匯編(五)

2022年中考數學試題壓軸題匯編(五)26．(湖南省長沙市)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，cm，OC=8cm，現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，拋物線經過B、P兩點，過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N，當線段MN的長取最大值時，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．BBAPxCQOy第26題圖解：(1)∵CQ＝t，OP=t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝（0＜t＜8）…3分(2)∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32…………5分∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于32…………6分（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時,△QPB必須是一個直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°又∵BQ與AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根據相似三角形的對應關系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴解得：t＝4經檢驗：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關系和速度）此時P（，0）∵B（，8）且拋物線經過B、P兩點，∴拋物線是，直線BP是：…8分設M（m,）、N(m，)∵M在BP上運動∴∵與交于P、B兩點且拋物線的頂點是P∴當時，………………9分∴＝∴當時，MN有最大值是2∴設MN與BQ交于H點則、∴S△BHM＝＝∴S△BHM：S五邊形QOPMH＝＝3:29∴當MN取最大值時兩部分面積之比是3：29．……10分28.（南京市8分）如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連結EG、FG。（1）設AE=時，△EGF的面積為，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長。解：（1）當點E與點A重合時，x=0y=;當點E與點A不重合時，0<x≤2在正方形ABCD中∠A=∠ADC=90°,∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF.∵AM=DM∠AME=∠DMF.∴△AME≌△DMF.∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x,AM=1,EF=2ME=2過M作MN⊥BC于N，則∠MNG=90°,∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠NMG+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Ｒt△AME∽Ｒt△NMG∴即∴MG=2ME=2∴×2×2=2+2x2∴y=2x2+2(0≤x≤2)(2)Ｐ的運動路線的長為2．25．（云南省昆明市12分）在平面直角坐標系中，拋物線經過O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點.（1）求此拋物線的解析式；（2）以OA的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結果可保留根號）解：（1）設拋物線的解析式為：由題意得： ……………1分解得：………………2分∴拋物線的解析式為：………………3分（2）存在 ………………4分l′l′拋物線的頂點坐標是，作拋物線和⊙M（如圖），設滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C連接MC，過C作CD⊥x軸于D∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)設切線l的解析式為:，點B、C在l上，可得：解得：∴切線BC的解析式為：∵點P為拋物線與切線的交點由解得：∴點P的坐標為：，………………8分∵拋物線的對稱軸是直線此拋物線、⊙M都與直線成軸對稱圖形于是作切線l關于直線的對稱直線l′(如圖)得到B、C關于直線的對稱點B1、C1l′滿足題中要求，由對稱性，得到P1、P2關于直線的對稱點：，即為所求的點.∴這樣的點P共有4個：，，，……12分（本題其它解法參照此標準給分）25．(江西省)課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形成的有關問題．實驗與論證設旋轉角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ（1）用含α的式子表示角的度數：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）圖1－圖4中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇期中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；歸納與猜想設正n邊形A0A1A2…An-1與正n邊形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1與B1重合），現將正n邊形A0B1B2…Bn-1繞頂點A0逆時針旋轉α（3）設θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數；（4）試猜想在正n邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．解:（１）．………3分說明：每寫對一個給1分.（２）存在·下面就所選擇圖形的不同分別給出證明:選圖１，圖１中有直線垂直平分．證明如下:方法一:證明：∵△與△與是全等的等邊三角形，∴.∴.又∠.∴∴.∴點在線段的垂直平分線上.又∴點在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分．………………….6分方法二:證明:∵△與△與是全等的等邊三角形，∴.∴.又∠.∴∴.在△與△中,∵∴△△.∴.∴是等腰三角形的頂角平分線.∴直線垂直平分.…………..6分選圖2.圖2中有直線垂直平分，證明如下：∵∴.又∵∴∴,∴點在線段的垂直平分線上.又,∴點在線段的垂直平分線上.所以直線垂直平分．…………….6分.說明:(i)在圖2中選用方法二證明的，參照上面的方法二給分；（ii）選圖3或圖4給予證明的，參照上述證明過程評分.（３）當為奇數時，，當為偶數時，．…….8分.（４）存在，當為奇數時，直線垂直平分．當為偶數時，直線垂直平分．……….10分.說明：第（３）、（４）問中，每寫對一個得1分.26.(遼寧省大連市)如圖17，拋物線F：與軸相交于點C，直線經過點C且平行于軸，將向上平移t個單位得到直線，設與拋物線F的交點為C、D，與拋物線F的交點為A、B，連接AC、BC（1）當，，，時，探究△ABC的形狀，并說明理由；（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；（3）在（2）的條件下，若點A關于軸的對稱點A’恰好在拋物線F的對稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積（用含a的式子表示）OCOCABDx圖17解：（1）結論：是直角三角形.1分由題意：令解得點的坐標分別為設與軸相交于點，在和中是直角三角形 2分（2）由題意，，設點的坐標為 3分 4分設為的中點，則點的坐標為為直角三角形 5分即 6分 7分（舍去） 8分（3）依題意，點與點重合在拋物線的對稱軸上，與關于軸對稱軸四邊形是平行四邊形 9分在中與關于軸對稱為等邊三角形 10分 11分 12分25、(陜西省)問題探究(1)請你在圖①中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；（2）如圖②點M是矩形ABCD內一點，請你在圖②中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。問題解決（3）如圖③，在平面直角坐標系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DC∥OB,OB=6,CD=4開發(fā)區(qū)綜合服務管理委員會（其占地面積不計）設在點P（4,2）處。為了方便駐區(qū)單位準備過點P修一條筆直的道路（路寬不計），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認為直線l是否存在？若存在求出直線l的表達式；若不存在，請說明理由解：（1）如圖①（2）如圖②連結AC、BC交與P則P為矩形對稱中心。作直線MP，直線MP即為所求。如圖③存在直線l過點D的直線只要作DA⊥OB與點A則點P(4,2)為矩形ABCD的對稱中心∴過點P的直線只要平分△DOA的面積即可易知，在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分。從而，直線PH平分梯形OBCD的面積即直線PH為所求直線l設直線PH的表達式為y=kx+b且點P(4,2)∴2=4k+b即b=2－4k∴y=kx+2－4k∵直線OD的表達式為y=2x∴解之∴點H的坐標為（，）∴PH與線段AD的交點F（2,2－2k）∴0＜2－2k＜4∴－1＜k＜1∴S△DHF=∴解之，得。（舍去）∴b=8－∴直線l的表達式為y=24．(山東省濟南市本小題滿分9分)如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E．⑴求A、B、C三個點的坐標．⑵點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN．①求證：AN=BM．DCMNOABPlDCMNOABPl第24題圖yExDCMNOABDCMNOABP第24題圖lxyFE解得：，∴A(－1，0)，B(3，0) 2分∵=，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，將x=1代入，得y=2，∴C（1，2）. 3分⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60o，∴AC=BC，∴△ABC為等邊三角形， 4分∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60o，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM. 5分②四邊形AMNB的面積有最小值． 6分設AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，過M作MF⊥BC,垂足為F,則MF=MC?sin60o=，∴S△CMN==?=， 7分∴S=S△ABC－S△CMN=－（）= 8分∴m=2時，S取得最小值3. 9分23.（紅河州本小題滿分14分）如圖9，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度數.（2）以OB為直徑的⊙O‘與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O‘相切？（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求s的最小值及相應的t值.（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應的t值，若不存在請說明理由.解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=∴∠OAB=30°（2）如圖10，連接O‘P，O‘M.當PM與⊙O‘相切時，有∠PMO‘=∠POO‘=90°，△PMO‘≌△POO‘由（1）知∠OBA=60°∵O‘M=O‘B∴△O‘BM是等邊三角形∴∠BO‘M=60°可得∠OO‘P=∠MO‘P=60°∴OP=OO‘·tan∠OO‘P=6×tan60°=又∵OP=t∴t=，t=3即：t=3時，PM與⊙O‘相切.（3）如圖9，過點Q作QE⊥x于點E∵∠BAO=30°，AQ=4t∴QE=AQ=2tAE=AQ·cos∠OAB=4t×∴OE=OA-AE=-t∴Q點的坐標為（-t，2t）S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ=