2022年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座解析幾何理科

第六講解析幾何第一節(jié)曲線與方程曲線與方程是解析幾何的基本概念,在近年的高考試題中,重點考查曲線與方程的關(guān)系,考查曲線方程的探求方法,多以綜合解答題的第⑴小題的形式出現(xiàn),就這部分考題來說,屬于中檔題,難度值一般在之間.考試要求⑴了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.⑵掌握一般曲線(點的軌跡)方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程.題型1曲線與方程例設(shè)方程的解集非空.如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上”不正確,給出以下四個命題：①曲線上的點的坐標(biāo)都滿足方程；②坐標(biāo)滿足方程的點有些在上,有些不在上；③坐標(biāo)滿足方程的點都不在曲線上；④一定有不在曲線上的點,并且其坐標(biāo)滿足方程.那么正確命題的個數(shù)是().A.B.C.D.點撥：直接用定義進行判斷.解：“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上”不正確,意味著“坐標(biāo)滿足方程的點不都在曲線上”是正確的,即一定有不在曲線上的點,并且其坐標(biāo)滿足方程,∴④正確；曲線上的點的坐標(biāo)可以有不滿足方程的,∴①錯；若只有一解,則知②錯；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③錯.故選A.易錯點：定義把握不準(zhǔn)確,關(guān)鍵字詞認(rèn)識不到位,概念理解不深刻,均有可能錯選其它選項.變式與引申A.C.B.D.A.C.B.D.2.已知定點不在直線：上,則方程表示一條()A.過點且平行于的直線B.過點且垂直于的直線C.不過點但平行于的直線D.不過點但垂直于的直線題型2代入法(相關(guān)點法)求曲線方程例已知點,點、分別在軸、軸上,且,,當(dāng)點在軸上運動時,求點的軌跡方程.點撥：由確定與的坐標(biāo)關(guān)系,由建立動點與、的坐標(biāo)關(guān)系,用代入法求軌跡方程.解：設(shè),,,又,則,,.由,得①.由,得,∴,,即,,代入①得,,∴,當(dāng)時,三點、、重合,不滿足條件,∴,故點的軌跡方程為.易錯點：忽視軌跡方程中的.圖6-1-1圖6-1-13.已知為坐標(biāo)原點,點、分別在軸、軸上運動,且,動點滿足,求動點的軌跡方程.4.如圖6-1-1，從雙曲線上一點引直線的垂線,垂足為,求線段的中點的軌跡方程.題型3待定系數(shù)法、直接法求曲線方程例已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點,焦點在軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是和.⑴求橢圓的方程；⑵若為橢圓上的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.點撥：問題⑴用待定系數(shù)法求橢圓的方程；問題⑵可將點、的坐標(biāo)代入滿足的關(guān)系式中,得到點的軌跡方程(含參數(shù)),最后對進行分類討論,說明其軌跡是什么曲線,并指出變量的取值范圍.解：⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,半焦距為,則,解得,,∴.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.⑵設(shè),其中.由已知及點在橢圓上可得.整理得,其中.①時,化簡得,所以點的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段.②時,方程變形為,其中.當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時,點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓.易錯點：第⑵小題中忽視方程的變量的限制；討論方程所表示的曲線時,標(biāo)準(zhǔn)不明確,分類混亂,會導(dǎo)致錯誤發(fā)生.③討論方程所表示的曲線時,一般是以二次項系數(shù)為零或相等的參數(shù)值來進行分類,做到不重復(fù)不遺漏.圖6-1-2圖6-1-25.如圖6-1-2，已知橢圓：的右頂點為,過的焦點且垂直長軸的弦長為.⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)點在拋物線：上,在點處的切線與交于點、.當(dāng)線段的中點與的中點的橫坐標(biāo)相等時,求的最小值.題型4定義法求曲線方程與實際應(yīng)用問題川圖6-1-3冰已融化區(qū)域例為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距的、兩點各建一個考察基地.視冰川面為平面形,以過、兩點的直線為軸,線段的的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖6-1-3所示).在直線的右側(cè),考察范圍為到點的距離不超過區(qū)域；在直線的左側(cè),考察范圍為到、兩點的距離之和不超過區(qū)域.川圖6-1-3冰已融化區(qū)域⑴求考察區(qū)域邊界曲線的方程；⑵如圖所示,設(shè)線段,是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線),當(dāng)冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動,以后每年移動的距離為前一年的倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.點撥：通過審題,構(gòu)建圓與橢圓的數(shù)學(xué)模型,運用圓的知識及橢圓定義求出考察區(qū)域邊界曲線、的方程,但需注意變量的取值范圍.對于第⑵問,先寫出直線、的方程,然后依題意求出與平行、且與曲線相切的直線的方程,再綜合運用平行直線間的距離公式、等比數(shù)列求和公式、解不等式等知識求解.圖解：⑴設(shè)考察區(qū)域邊界曲線上點的坐標(biāo)為.當(dāng)時,由題意知.當(dāng)時,由知,點在以、為焦點,長軸長為的橢圓上,此時短半軸長,因而其方程為.故考察區(qū)域邊界曲線的方程為：和：.圖⑵設(shè)過點、的直線為,過點、的直線為,則直線、的方程分別為、.設(shè)直線平行于直線,其方程為,代入橢圓方程,消去整理得,.由,解得或.從圖中可以看出,當(dāng)時,直線與的公共點到直線的距離最近,此時直線的方程為.,與之間的距離為.又直線到和的最短距離,∴考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為.設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為年,則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式,得,∴.故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為年.易錯點：⑴易出現(xiàn)審題不清,不能將實際問題有效轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；⑵求方程時忽視,求方程時忽視；⑶待定系數(shù)與不能正確取舍.圖變式與引申圖6.某航天衛(wèi)星發(fā)射前,科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設(shè)計方案如圖6-1-5,航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分,降落點為.觀測點、同時跟蹤航天器.⑴求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；⑵試問：當(dāng)航天器在軸上方時,觀測點、測得離航天器的距離分別為多少時,應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？本節(jié)主要考查：⑴知識點有曲線與方程的關(guān)系、求曲線(軌跡)的方程；⑵依據(jù)動點軌跡的幾何條件,運用求曲線(軌跡)方程的方法求軌跡方程的問題,以應(yīng)用題為背景的求曲線方程的問題；⑶求曲線(軌跡)方程時：①恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,使所求方程更簡單；②適時利用圓錐曲線的定義,及時運用平面幾何知識,將大大簡化求解運算過程.⑷解析幾何基本思想(用代數(shù)方法研究幾何問題)、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、應(yīng)用題建模思想以及分析推理能力、運算能力.點評：⑴求曲線(軌跡)方程的常用方法有：①直接法：直接利用動點滿足的幾何條件(一些幾何量的等量關(guān)系)建立,之間的關(guān)系(如例第小題).其一般步驟是：建系設(shè)點、列式、坐標(biāo)代換、化簡、證明(證明或判斷所求方程即為符合條件的動點軌跡方程)；②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時,可先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),求出曲線的方程(如例第小題)；③定義法：先根據(jù)條件能得出動點的軌跡符合某種曲線的定義,則可用曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程(如例)；④代入法(相關(guān)點法)：有些問題中,動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的,并且點在某已知曲線上,這時可先用、的代數(shù)式來表示、,再將、的表達式代入已知曲線,即得要求的動點軌跡方程(如例及變式).⑵要注意求曲線(軌跡)方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線(軌跡)的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡)方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程,再根據(jù)方程形式說明或討論(含參數(shù)時)曲線圖形的(形狀、位置、大小)類型.解題時應(yīng)根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答.⑶在求出曲線(軌跡)的方程時,要注意動點的取值范圍,及時補漏和去除“雜點”,以保證所求曲線(軌跡)方程的完整性.習(xí)題6-1.方程的曲線是().A.一個點B.一條直線C.一個點和一條直線D.兩條直線.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點與拋物線的焦點相同.則雙曲線的方程為.3．（2022年高考福建卷·理）已知直線l：y=x+m，m∈R.（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由..已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率,右準(zhǔn)線方程為.⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵過點的直線與該橢圓交于、兩點,且,求直線的方程..已知雙曲線的左、右頂點分別為、,點,是雙曲線上不同的兩個動點.⑴求直線與交點的軌跡的方程；⑵若過點的兩條直線和與軌跡都只有一個公共點,且,求的值.第二節(jié)圓錐曲線圓錐曲線是高考命題的熱點,也是難點.縱觀近幾年的高考試題,對圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時,多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間.考試要求⑴了解圓錐曲線的實際背景；⑵掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑶掌握雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑷掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；⑸了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；⑹掌握數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的思想方法.題型一圓錐曲線的定義及應(yīng)用例⑴已知點為橢圓的左焦點,是此橢圓上的動點,是一定點,則的最大值和最小值分別為.⑵已知雙曲線的虛軸長為,離心率為,、分別是它的左、右焦點,若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,且是與的等差中項,則.點撥：題⑴可利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題⑵是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì)的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實軸長的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項的知識求的值.解：⑴設(shè)橢圓右焦點為,則,∴.又(當(dāng)、、共線時等號成立).又,∴,.故的最大值為,最小值為.⑵依題意有,解得.∵、在雙曲線的左支上,∴,,∴.又,.∴,即.∴.易錯點：在本例的兩個小題中,⑴正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要,否則求解思路受阻；⑵忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出現(xiàn)解題錯誤；⑶由、、三點共線求出的最值也是值得注意的問題.變式與引申1.已知為拋物線上任一動點,記點到軸的距離為,對于給定的點,的最小值為().A.B.C.D.2.已知、為橢圓的兩個焦點,過的直線交橢圓于、兩點,若,則.題型二圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知圓心在軸上，半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線相切，則圓的方程是.點撥：設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到切線的距離等于半徑求出圓心坐標(biāo).解析設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.因圓于直線相切，，解得，又圓位于軸左側(cè)，.故填.易錯點：解得時，不能根據(jù)題意舍去，誤認(rèn)為圓的方程有兩個.圖例3設(shè)橢圓：,拋物線：.圖⑴若經(jīng)過的兩個焦點,求的離心率；⑵設(shè),,又,為與不在軸上的兩個交點,若的垂心為,且的重心在拋物線上,求橢圓和拋物線的方程.點撥：問題⑴：將的焦點坐標(biāo)代入的方程,得出的關(guān)系式,進而求出的離心率；問題⑵：利用、在拋物線上的對稱性及的垂心、的重心求,進而得坐標(biāo),再利用點在橢圓上求,問題獲解.解：⑴由已知拋物線經(jīng)過橢圓的兩個焦點,∴,即,∴,即橢圓的離心率.⑵由題設(shè)可知、關(guān)于軸對稱,設(shè),,由的垂心為,有,即.又點在拋物線上,∴,解得或(舍去),∴,∴,,故得重心坐標(biāo).又的重心在拋物線上,∴,得,∴.又點在橢圓上,代入橢圓的方程,得,故橢圓方程為,拋物線方程為.易錯點：不會利用對稱性表示、的坐標(biāo)；記錯重心坐標(biāo)公式；用向量關(guān)系表示垂直條件值得關(guān)注.變式與引申3.求經(jīng)過兩點和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.已知橢圓與直線相交于、兩點,是的中點,若,的斜率為,求橢圓的方程.題型三圓錐曲線的幾何性質(zhì)圖例如圖，已知為橢圓的左焦點,過點作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點、兩點.圖⑴若直線的傾斜角為,求證：(為橢圓的離心率)；⑵若,且,求橢圓的離心率的取值范圍.點撥：這是一道過橢圓焦點的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問題,依據(jù)題給條件,運用三角公式、斜率與傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識可使問題⑴獲證；對于問題⑵則運用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進而求出的取值范圍.⑴解法：∵,∴,即,又,∴,故.解法：依題意直線的分別為,∴點的坐標(biāo)為,故.⑵解法：∵,∴.將直線代入橢圓,整理得,∴,.∵,∴,解不等式,得,∴,故橢圓的離心率的取值范圍為.解法：運用焦半徑(其中)可得,,∴,解不等式,得,∴,故橢圓的離心率的取值范圍為.易錯點：問題⑴中忽視斜率的正負(fù),會導(dǎo)致的符號出錯；問題⑵中不適時聯(lián)想平幾性質(zhì)或運用焦半徑另一形式(其中),解題思路將受阻.變式與引申5.已知雙曲線：,、為其漸近線,為右焦點,過點作直線且交雙曲線于點,,又過點作軸的垂線與交于第一象限內(nèi)的點.(Ⅰ)用,表示；圖(Ⅱ)求證：為定值；圖(Ⅲ)若,且,試求雙曲線的離心率的取值范圍.6.給定拋物線：,過點斜率為的直線與交于,兩點.(Ⅰ)設(shè)線段的中點在直線上,求的值；(Ⅱ)設(shè),,求的取值范圍.題型四以圓錐曲線為載體的探索性問題例已知橢圓：的離心率為,過右焦點的直線與相交于、兩點.當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,坐標(biāo)原點到的距離為.⑴求、的值；⑵上是否存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的點的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說明理由.點撥：問題⑴可先寫出的方程,再利用點到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問題⑵是存在性探索問題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標(biāo)化,再綜合運用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存在.但需考慮轉(zhuǎn)動時斜率不存在情形.解：⑴設(shè),當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,其方程為,點到的距離為,∴.由,得,.⑵上存在點,使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立.由⑴知的方程為.設(shè),.①當(dāng)不垂直軸時,設(shè)的方程為.上的點使成立的充要條件是的坐標(biāo)為,且,即.又、在上,∴,,∴①將代入,整理得,于是,,.代入①解得,,此時,于是,即.因此,當(dāng)時,,的方程為；當(dāng)時,,的方程為.②當(dāng)垂直于軸時,由知,上不存在點,使成立.綜上,上存在點使成立,此時的方程為.易錯點：本題涉及字母較多,思路不清晰,運算能力不強易導(dǎo)致錯解發(fā)生；直線垂直于軸情形易遺漏,需值得注意.圖變式與引申圖7.如圖,過點和的動直線與拋物線：交于、兩點(點在、之間),為坐標(biāo)原點.⑴若,,求的面積；⑵對于任意的動直線,是否存在常數(shù),總有？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.本節(jié)主要考查：⑴知識點有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)(焦點、離心率、焦點三角形，焦半徑等)以及這些知識的綜合應(yīng)用；⑵以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、定值問題等相關(guān)的綜合問題；⑶圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、點差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問題代數(shù)化”等解析幾何的基本方法；⑷數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力.點評：⑴圓錐曲線是解析幾何的重點,也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,同時又是高考的熱點和壓軸點之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(zhì)(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓錐曲線為載體的探索性問題(如例)等.⑵圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何特征與焦點、離心率相關(guān)的問題,恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題,可避免繁瑣的推理與運算.⑶求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①定型——確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；②定位——判斷焦點的位置；③定量——建立基本量、、的關(guān)系式,并求其值；④定式——據(jù)、、的值寫出圓錐曲線方程.⑷圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考的重點熱點.此類問題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,是高考試題的題源之一,應(yīng)引起重視,注意掌握好這一類問題的求解方法與策略.如對于求離心率的大小或范圍問題,只需列出關(guān)于基本量、、的一個方程(求大小)或找到關(guān)于基本量、、間的不等關(guān)系(求范圍)即可.⑸求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見問題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進而求之.其列不等式的思路有：①運用判別式或；②點在圓錐曲線內(nèi)部(一側(cè))或外部(另一側(cè))；③利用圓錐曲線的幾何意義(如橢圓中等)；④根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點共線的情況).⑹解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問題時,通性通法是向量坐標(biāo)化,將一幾何問題變成純代數(shù)問題.⑺探索性問題是將數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,它要求學(xué)生具有觀察分析問題的能力、具有創(chuàng)造性地運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意,即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā),然后通過歸納,逐步探索待求結(jié)論.習(xí)題6-2.已知橢圓中心在原點,左、右焦點、在軸上,、是橢圓的長、短軸端點,是橢圓上一點,且軸,,則此橢圓的離心率是（）A.B.C.D..已知點是雙曲線的右支上一點,、分別是圓和上的點,則的最大值為..已知定點,,定直線：,不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍.設(shè)點的軌跡為,過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、.⑴求的方程；⑵試判斷以線段為直徑的圓是否過點,并說明理由.4.（2022年高考全國新課標(biāo)卷·理）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，-1），B點在直線上，M點滿足，，M點的軌跡為曲線C．（I）求C的方程；（II）P為C上動點，為C在點P處的切線，求O點到距離的最小值．.若橢圓：和橢圓：滿足稱這兩個橢圓相似,稱為相似比.⑴求經(jīng)過點,且與橢圓相似的橢圓方程.⑵設(shè)過原點的一條射線分別與⑴中的兩個橢圓交于、兩點.(其中點在線段上),求的最大值與最小值.⑶對于真命題：“過原點的一條射線分別與相似比為的兩個橢圓：和：交于、兩點,為線段上的一點,若、、成等比數(shù)列,則點的軌跡方程為.”請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題,并證明.第三節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的關(guān)系是高考命題的熱點，也是難點.縱觀近幾年的高考試題,一般出現(xiàn)一?。ㄟx擇題或填空題）一大（解答題）兩道，小題通常屬于中低檔題，難度值為～左右;大題通常是高考的壓軸題，難度值為～左右.考試要求(1)掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,能從代數(shù)與幾何兩個角度深刻理解.(2)理解弦長公式,并能熟練應(yīng)用.(3)熟練應(yīng)用韋達定理及中點坐標(biāo)公式解答中點弦問題和弦的中點軌跡問題.(4)掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“存在性”問題,采用“假設(shè)—反證法”或“假設(shè)—驗證法”.（5）.掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.題型一直線與圓錐曲線的交點問題例1直線：y=kx+1,拋物線C:，當(dāng)k為何值時與C有：（1）一個公共點；（2）兩個公共點；（3）沒有公共點.點撥：由直線與拋物線C的方程聯(lián)立得方程組，通過方程的解的個數(shù)來判斷直線與拋物線的公共點的個數(shù).解：將和C的方程聯(lián)立，消去y得①當(dāng)k=0時，方程①只有一個解.此時.∴直線與C只有一個公共點（），此時直線平行于拋物線的對稱軸.當(dāng)k≠0時，方程①是一個一元二次方程，=.當(dāng)時，即k﹤1且k≠0時，與C有兩個公共點，此時稱直線與C相交;當(dāng)時,即k=1時，與C有一個公共點，此時稱直線與C相切；當(dāng)時，即k＞1時，與C沒有公共點，此時稱直線與C相離.綜上所述，當(dāng)k=1或k=0時，直線與與C有一個公共點；當(dāng)k﹤1且k≠0時，直線與C有兩個公共點；當(dāng)k＞1時，直線與C沒有公共點.易錯點：（1）忽視對k的討論（）是本題容易出顯的解題錯誤；（2）只有當(dāng)所得關(guān)于x的方程確實為一元二次方程時，才能用判別式判定解的個數(shù)，若所得關(guān)于x的方程的二次項系數(shù)帶有字母時，應(yīng)該進行討論.變式與引申1.已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率是()A.(1,2B.C.[2，+∞D(zhuǎn).2.已知圓C的方程是，直線的方程為，求：為何值時（Ⅰ）直線平分圓；（Ⅱ）直線與圓相切；（Ⅲ）直線與圓有兩個公共點.題型二直線與圓錐曲線的弦長問題例2直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為S.（1）求在，的條件下，面積S的最大值；（2）當(dāng)時，求直線AB的方程.點撥:(1)聯(lián)立方程組解出A、B兩點的坐標(biāo),求出的面積,再利用均值不等式求解.(2)根據(jù)已知布列兩個方程組,求出k,b.解:（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由，解得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值．（2）：由得，，①．②設(shè)點到直線的距離為，則，又因為，所以，代入②式并整理，得，解得，，代入①式檢驗，，故直線的方程是或或，或易錯點：（1）忘記均值不等式的應(yīng)用導(dǎo)致寸步難行.（2）忘記弦長公式與點到直線的距離公式導(dǎo)致出錯.變式與引申3.設(shè)橢圓與直線相交于兩點，點是的中點，若的斜率為求橢圓的方程.題型三直線與圓錐曲線的中點弦的問題例3已知雙曲線的方程為(1)求以A（2，1）為中點的弦所在直線的方程；(2)以點B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在直線的方程；若不存在，請說明理由.點撥:（1）利用設(shè)而不求法和點差法構(gòu)建方程，結(jié)合直線的斜率公式與中點坐標(biāo)公式求出斜率.也可設(shè)點斜式方程,與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理與中點坐標(biāo)公式求出斜率k.(2)仿照（1）求出方程，但要驗證直線與雙曲線是否有交點.解法1:（1）設(shè)是弦的兩個端點，則有兩式相減得①∵A（2，1）為弦的中點，∴，代入①得∴.故直線的方程為.（2）假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得由得∵=∴所求直線與雙曲線無交點.∴以B(1,1)為中點的弦不存在.解法2(1)設(shè)所求的直線方程為,易知斜率顯然存在.聯(lián)立方程組得整理得①設(shè)是弦的兩個端點，則又是的中點,,,解得.故直線的方程為.(2)假設(shè)這樣的直線存在，同（1）可求得直線的方程為由得∵=∴所求直線與雙曲線無交點.∴以B(1,1)為中點的弦不存在.易錯點：存在性問題的結(jié)果通常是難以預(yù)料的，解答時先假設(shè)滿足條件的直線存在,然后依題意求得結(jié)果，但要注意這不是充要條件，因此最后要進行檢驗,否則就會出錯.O圖6-3-1我們有這樣的結(jié)論，已知雙曲線，O圖6-3-1是平面直角坐標(biāo)系上的一點，則當(dāng)點不在如圖6-3-1所示的陰影區(qū)域（包括邊界）時，可以作為弦的中點，而且可以推導(dǎo)出弦所在直線的斜率.變式與引申4.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F，直線與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（）A.B.C.D.題型四：存在性的問題.例4.若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的取值范圍.點撥：設(shè)出對稱點所在直線的方程，根據(jù)該直線與曲線有兩個交點，利用求解.同時要利用中點坐標(biāo)公式找出所設(shè)變量與的關(guān)系.解：設(shè)拋物線上關(guān)于對稱的兩點為，B(），AB的方程可設(shè)為：.由∴①又，則AB中點橫坐標(biāo)為，又由得AB中點橫坐標(biāo)為，則有，代入①中得.易錯點:不曉得設(shè)對稱點所在直線的方程,導(dǎo)致解答本題寸步難行.找不出所設(shè)變量與的關(guān)系也是導(dǎo)致錯誤的根源.變式與引申5.在平面直角坐標(biāo)系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點.(1)若點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；(2)是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.本節(jié)主要考查:(1)知識點有直線與圓錐曲線相交,相切,相離三種位置關(guān)系,弦長公式,焦半徑公式,中點坐標(biāo)公式,弦的中點軌跡,中點弦的性質(zhì)等以及這些知識的綜合應(yīng)用.(2)以平面向量,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,應(yīng)用韋達定理,中點坐標(biāo)公式,以及點差法,相關(guān)點法,設(shè)而不求的整體思想等解析幾何的基本方法解決最值問題,定值問題,參數(shù)范圍問題等相關(guān)的問題.(3).數(shù)形結(jié)合思想,等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及邏輯推理能力,運算能力等基本的數(shù)學(xué)能力.點評:(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重中之重,也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,同時也是高考的熱點之一,主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(如例題1),直線被圓錐曲線截得的弦長(如例題2),及中點的軌跡方程(如例題3),以及探究是否存在性問題(如例題4)等.(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從代數(shù)角度可轉(zhuǎn)化為一個方程的實根個數(shù)來考慮；也可從幾何角度借助圖形的幾何性質(zhì)來研究，這種思維通常較簡便.(3)求弦長時,若過圓錐曲線的焦點可利用焦半徑公式(僅限于理科);若未過焦點可利用弦長公式,并結(jié)合韋達定理求解.(4.)有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“對稱性”問題,一般采用“假設(shè)—反證法”或“假設(shè)—驗證法”，特別要重視直線與圓錐曲線的交點是否存在，即要驗證判別式是否成立.(5)弦的中點軌跡問題.通常有兩種解題思路:利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式求解；利用弦的端點在曲線上,坐標(biāo)滿足圓錐曲線方程,然后把兩個等式對應(yīng)作差,構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,最后求出軌跡.（6）若只有一個交點，并不能說明直線與圓錐曲線相切.對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但不相切.有一個公共點是直線與拋物線，雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件.習(xí)題6-31.設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為().A.B.5C.D.2.設(shè)橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線的傾斜角為60o,.（Ⅰ）橢圓C的離心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求橢圓C的方程；3.已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程;（2）若曲線與有公共點，試求的最小值．4.（2022年高考北京卷·理）已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點. （I）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率； （II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.圖6-5-45.如圖6-5-4，已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足圖6-5-4（Ⅰ）求點T的軌跡C的方程；（Ⅱ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.第四節(jié)坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考中是選考內(nèi)容，與不等式選講二個選修模塊進行二選一解答，知識相對比較獨立，與其他章節(jié)聯(lián)系不大，容易拿分.根據(jù)不同的幾何問題可以建立不同的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系選取的恰當(dāng)與否關(guān)系著解決平面內(nèi)的點的坐標(biāo)和線的方程的難易以及它們位置關(guān)系的數(shù)據(jù)確立.有些問題用極坐標(biāo)系解答比較簡單，而有些問題如果我們引入一個參數(shù)就可以使問題容易入手解答，計算簡便.高考出現(xiàn)的題目往往是求曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程間的相互轉(zhuǎn)化，并用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程研究有關(guān)的距離問題，交點問題和位置關(guān)系的判定.難度值控制在左右.考試要求1．理解坐標(biāo)系的作用．2．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．3．了解參數(shù)方程．4．能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，并會簡單的應(yīng)用．題型一參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化例1(1)判斷點是否在曲線上．(2)點P的直角坐標(biāo)為，則點P的極坐標(biāo)為______．(限定0＜θ≤2)(3)點P的極坐標(biāo)為，則點P的直角坐標(biāo)為______．(4)曲線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)，t≠0)，它的普通方程是________．點撥：運用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的方法解決有關(guān)極坐標(biāo)的問題和參數(shù)方程與普通方程的互化解決參數(shù)問題.解：(1)因為，所以點是在曲線上．(2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，，得ρ＝2，，又點P在第四象限，，所以，所以點P的極坐標(biāo)為(3)根據(jù)，得，所以點P的直角坐標(biāo)為(4)由得，代入y＝1－t2，得注意到，所以已知參數(shù)的普通方程為另一解法:方程可化為消去t得（）由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)時要注意點位于哪一個象限，以確定θ的大小，如例1(2)，否則，極坐標(biāo)不唯一；參數(shù)的范圍與極角的范圍容易出錯.變式與引申1.設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系的另一直線的方程為，若直線與間的距離為，則實數(shù)的值為．題型二直線與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程例2(1)圓＝2(cosθ＋sinθ)的半徑為______．(2)直線與圓＝2sinθ交與A，B兩點，則|AB|＝______．點撥：只要知道一些直線與圓的極坐標(biāo)方程的知識．如：①過極點，傾斜角為的直線：或?qū)懗杉埃谶^垂直于極軸的直線：．③以極點O為圓心，為半徑的圓()：．④若O(0，0)，A(2a，0)，以O(shè)A為直徑的圓：．⑤若O(0，0)，A(2a，)，以O(shè)A為直徑的圓：．對于例2(2)，可以利用結(jié)論①⑤，作出直線與圓，通過解三角形的方法求|AB｜，當(dāng)然也可以用極坐標(biāo)方程直接解，根據(jù)的幾何意義求｜AB｜．解：(1)由，得，所以，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圓的半徑為．(2)將直線與圓化為直角坐標(biāo)方程.由得，即，由，變形為，得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，因為圓的半徑為1，圓心（0,1）到直線的距離為，所以另一解法：由得或A(0,0)B(,)=變式與引申2.設(shè)過原點的直線與圓的一個交點為，點為線段的中點，當(dāng)點在圓上移動一周時，求點軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線.題型三直線與圓錐曲線的參數(shù)方程ODCBAxy例3過P(5，－3)，傾斜角為，且的直線交圓x2＋y2＝25于PODCBAxy(1)求|PP1|·|PP2｜的值；(2)求弦P1P2的中點M的坐標(biāo)．點撥：直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：①直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2｜；②定點M0是弦M1M2的中點t1＋t2＝0；③設(shè)弦M1M2的中點為M，則點M對應(yīng)的參數(shù)值，(由此可求得|M2M|及中點坐標(biāo))．本題直接用直線的參數(shù)方程代入圓的方程中，然后用韋達定理及中點公式解即可.解：(1)由已知得所以直線的參數(shù)方程為…①(t為參數(shù))代入圓的方程化簡，得…②②的兩個解t1、t2就是P1、P2對應(yīng)的參數(shù)，由參數(shù)的幾何意義及韋達定理知｜PP1|·｜PP2|＝|t1|·|t2|＝9．(2)設(shè)M(x，y)為P1P2的中點，則點M對應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)?shù)方程，得所以變式與引申3.已知直線C1：（t為參數(shù)），圓C2：（為參數(shù)），（1）當(dāng)=時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；（2）過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.本專題涉及極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識，參數(shù)方程的概念以及直線、圓、橢圓的參數(shù)方程．這部分內(nèi)容既是解析幾何的延續(xù)，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．本節(jié)主要考查:(1).本節(jié)中的重要內(nèi)容是極坐標(biāo)和參數(shù)方程,特別是直線、圓、橢圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程是考查的重點.(2)參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標(biāo)方程.是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式樣;對于某些曲線用參數(shù)方程比用普通方程表示更方便、更直觀，是研究曲線的有力工具.(3)解決極坐標(biāo)或參數(shù)方程的問題.主要方法是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程或普方程.點評（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的條件是：極點與原點重合，仍軸與x軸正半軸重合，長度單位一致.在求得極坐標(biāo)方程要注意極角的取值范圍.(2)對于三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用,要弄清對不同的圓錐曲線的定點與定直線的位置,以及p,pe,e的幾何意義.運用三種圓錐曲線的統(tǒng)一要的極坐標(biāo)方程解題時,要注意雙曲線的極坐標(biāo)方程中存在著＜0的情況.(3)求圓錐曲線的軌跡方程,同直角坐標(biāo)系一樣,求曲線的極坐標(biāo)方程也有直接法、代入法、參數(shù)法等.(4)在參數(shù)方程與直角坐標(biāo)互化過程中要注意互化的前后曲線的范圍不發(fā)生變化,解題時參數(shù)有多種選法,適當(dāng)選擇參數(shù)有利于解題.(5)應(yīng)用參數(shù)方程解題可運用代入法、代數(shù)變換法、三用消去法消參等，但要注意方程之間的等價性，求動點的軌跡方程其結(jié)果要化成普通方程.習(xí)題6--41.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（）A．一條射線和一個圓B．兩條直線C．一條直線和一個圓D．一個圓2.設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點的個數(shù)為（）A、1 B、2C、3 D、43.直線為參數(shù)被圓截得的弦長為______________.4.已知圓C的圓心是直線與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為5．已知點M(2，1)和雙曲線，求以M為中點的雙曲線右支的弦AB所在直線的方程．6．已知P為半圓C：（為參數(shù)，）上的點，點A的坐標(biāo)為（1,0），O為坐標(biāo)原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為（=1\*ROMANI）以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點M的極坐標(biāo)；（=2\*ROMANII）求直線AM的參數(shù)方程.7.（2022年高考全國新課標(biāo)卷·理）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），M為上的動點，P點滿足，點P的軌跡為曲線．（I）求的方程；（II）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點的交點為A，與的異于極點的交點為B，求|AB|.第五節(jié)解析幾何的綜合應(yīng)用高考試題中，解析幾何試題的分值一般占20％左右，選擇、填空、解答三種題型均有．選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的運用；解答題多以壓軸題的形式出現(xiàn).難度值跨度比較大，在～之間.以圓錐曲線為載體的解答題的題型設(shè)計主要有三類：（1）圓錐曲線的有關(guān)元素計算、關(guān)系證明或范圍的確定；（2）涉及與圓錐曲線平移與對稱變換、最值或位置關(guān)系的問題；（3）求平面曲線（整體或部分）的方程或軌跡．考試要求（1）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題；了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法．（2）了解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線的簡單性質(zhì)，會用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題．（4）了解極坐標(biāo)系，了解曲線的極坐標(biāo)方程的求法；了解簡單圖形的極坐標(biāo)方程．會進行曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．題型一：圓錐曲線的定義及應(yīng)用M圖6-5-1例1如圖6-5-1，和分別是雙曲線的兩M圖6-5-1個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）（A）（B）（C）（D）點撥：利用雙曲線的定義及直角三角形面積的兩種表示形式，建立方程組再求解.解連AF1，則△AF1F2為直角三角形，且斜邊F1F2之長為2c.令由雙曲線的定義及直角三角形性質(zhì)知：.∵.∵e﹥1，∴取.選D.本題若先求出點A的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程也可求出.易錯點：（1）正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要，否則解題思路受阻.（2）由直角三角形面積的兩種表示形式得出關(guān)系式是值得注意的問題.變式與引申1.雙曲線=1(b∈)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________.題型二：圓錐曲線方程的應(yīng)用例2設(shè)拋物線過定點，且以直線為準(zhǔn)線．（1）求拋物線頂點的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍．xyBB＇ＭＮＰxyBB＇ＭＮＰ圖6-5-2O解：（1）設(shè)拋物線的頂點為，則其焦點為．由拋物線的定義可知：． 所以，．所以，拋物線頂點的軌跡的方程為：． （2）設(shè)弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：．兩式相減得：又由于，代入上式得：．又點在弦MN的垂直平分線上，所以，．所以，．由點在線段BB’上（B’、B為直線與橢圓的交點，如圖6-5-2），所以，．也即：．所以，本題還可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系先求出K的取值范圍，再求的取值范圍易錯點：：（1）求出拋物線頂點的軌跡方程而忽視限制條件是易錯點之一（2）涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法．變式與引申2．已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km≠0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍.題型三：圓錐曲線中的最值問題圖6-5-3例3如圖6-5-3所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程和△AMN的最大面積圖6-5-3點撥：設(shè)出的方程y=x+m,與拋物線組成聯(lián)立方程組，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及點到直線的距離公式求出面積.再利用均值不等式.解法一由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4點A到直線l的距離為d=∴=2(5+m),從而∴,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時取等號故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8本題還可以用消去x得關(guān)于的一元二次方程求解，用求導(dǎo)的方法求面積的最大值.易錯點：（1）設(shè)出l的方程為y=x+m時，忽視參數(shù)的取值范圍是易錯點之一.（2）在應(yīng)用均值不等式時，忽視均值不等式的條件“一正、二定、三相等”的相等條件是易錯點之二.變式與引申3．已知O為坐標(biāo)原點，P()()為軸上一動點，過P作直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)S△AOB=，試問：為何值時，t取得最小值，并求出最小值.題型四：圓錐曲線中的探索性問題例4已知拋物線的頂點在原點,焦點在軸的正半軸上,直線與拋物線相交于、兩點,且.⑴求拋物線的方程；⑵在軸上是否存在一點,使為正三角形？若存在,求出點的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.點撥：第⑴問依據(jù),運用弦長公式得到含參數(shù)的關(guān)系式,進而求拋物線的方程；第⑵問從假設(shè)點在軸上出發(fā),利用正三角形性質(zhì)求出點的坐標(biāo),再進行判斷.解：⑴設(shè)所求拋物線的方程為,由,消去,得.設(shè),,則,.∵,∴,即,整理得,解得或(舍去).故所求拋物線的方程為.⑵設(shè)的中點為,由⑴知,∴,,故.假設(shè)在軸上存在一點,使為正三角形,則,∴,即,解得.∴,.又∵,矛盾,故在軸上不存在點,使為正三角形.易錯點：①第⑴問求出值后,不舍去；②第⑵問中求出點坐標(biāo)后,便得出在軸上存在點滿足題設(shè).變式與引申圖6-5-44．設(shè)橢圓的兩個焦點是與，且橢圓上存在點，使.圖6-5-4(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若直線與橢圓存在一個公共點，使得取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；(3)在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為的直線，與橢圓交于不同的兩點，滿足，且使得過點兩點的直線滿足