第45講 古典概型與幾何概型的計算策略（解析版）

微信公眾號：數(shù)學講義試卷囡囡老師微信jiaoyu376word學生+教師雙版下載QQ群：45751253827/27第45講古典概型與幾何概型的計算策略【高考地位】古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R點，對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結合的概率問題仍是命題的熱點；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量——長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.類型一古典概型的計算策略萬能模板內容使用場景求古典概型的概率解題模板第一步判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是有限個；第二步分別計算事件A包含的基本事件的個數(shù)和基本事件的總數(shù)；第三步運用古典概型的計算公式計算即可得出結論.例1.【2021年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（八省聯(lián)考）】在3張卡片上分別寫上3位同學的學號后，再把卡片隨機分給這3位同學，每人1張，則恰有1位學生分到寫有自己學號卡片的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意列出所有可能的結果，然后利用古典概型計算公式即可求得滿足題意的概率值.【詳解】設三位同學分別為，他們的學號分別為，用有序實數(shù)列表示三人拿到的卡片種類，如表示同學拿到號，同學拿到號，同學拿到號.三人可能拿到的卡片結果為：，共6種，其中滿足題意的結果有，共3種，結合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值為：.故選：C.【點睛】方法點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.【變式演練1】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】從10個中任意選取3個，共有，其中三種粽子各取到1個有，故從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是，故選：C．考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【變式演練2】【江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考】為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習慣，讓綠色環(huán)保理念深入人心．某市將垃圾分為四類可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四類由9位同學組成四個宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有3位同學，餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣傳小組各有2位同學．現(xiàn)從這9位同學中選派5人到某小區(qū)進行宣傳活動，則每個宣傳小組至少選派1人的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合計數(shù)原理計算出基本事件的總數(shù)以及事件“從這位同學中選派人到某小區(qū)進行宣傳活動，則每個宣傳小組至少選派人”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】某市將垃圾分為四類：可回收物、餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四類由位同學組成四個宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有位同學，餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣傳小組各有位同學.現(xiàn)從這位同學中選派人到某小區(qū)進行宣傳活動，基本事件總數(shù)，每個宣傳小組至少選派人包含的基本事件個數(shù)為，則每個宣傳小組至少選派人的概率為.故選：D.【變式演練3】【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考數(shù)學（理）】造紙術?印刷術?指南針?火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，這四種發(fā)明對中國古代的政治?經(jīng)濟?文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用；2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了“中國的新四大發(fā)明”：高鐵?掃碼支付?共享單車和網(wǎng)購．若從這8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明，則兩個都是新四大發(fā)明的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】這是一個古典概型，先求得從8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明的基本事件數(shù)，再求得兩個都是新四大發(fā)明基本事件數(shù)，代入公式求解.【詳解】從8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明共有種，兩個都是新四大發(fā)明的有種，∴所求概率為，故選：C類型二幾何概型的計算策略萬能模板內容使用場景求幾何概型的概率解題模板第一步判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是無限個；第二步分別計算事件A和基本事件所包含的區(qū)域長度、面積或體積等；第三步運用幾何概型的計算公式計算即可得出結論.例2在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為．【答案】【解析】試題分析：，所求概率測度為長度，即考點：幾何概型概率，絕對值不等式【方法點睛】(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域．（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．例3.（2021·貴州省思南中學高三月考（理））在區(qū)間內隨機取兩個數(shù)分別記為，，則使得函數(shù)有極值點的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】對于函數(shù)求導得，根據(jù)給定條件可得有兩個不等實根，進而得出a，b的關系，再利用幾何意義并借助幾何概型求解即得.【詳解】由求導得：，因函數(shù)有極值點，于是得方程有兩個不等實根，即，滿足的點表示以原點為圓心，為半徑的圓外，而，則點表示以原點為中心，各邊垂直于坐標軸，邊長為的正方形及內部，如圖，，為區(qū)間內任意兩個數(shù)的試驗的所有結果構成區(qū)域是邊長為的正方形，面積為，函數(shù)有極值點的事件為A，事件A所對區(qū)域是圖中陰影區(qū)域，其面積為，于是得，所以函數(shù)有極值點的概率為.故選：B【變式演練4】把長為的鐵絲隨機截成三段，則每段鐵絲長度都不小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】.【解析】試題分析：設把長為的鐵絲隨機截成三段的長度分別為x,y,80-x-y，則由題意知：，所以包含事件每段鐵絲長度都不小于所表示的面積為，而基本事件所表示的平面區(qū)域的面積為，所以由古典概型的計算公式即可得出每段鐵絲長度都不小于的概率，故應選.考點：幾何概型.【變式演練5】一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（）A．B．C．D．【答案】D考點：幾何概型．【變式演練6】【四川省閬中中學2020-2021學年高三9月月考】小華愛好玩飛鏢，現(xiàn)有如圖所示的由兩個邊長都為的正方形和構成的標靶圖形，如果點正好是正方形的中心，而正方形可以繞點旋轉，則小華隨機向標靶投飛鏢射中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先連OA,OB，設OR交BC于M,OP交AB于N，由四邊形是正方形，得到，再由四邊形為正方形，可證，從而可求出結果.【詳解】先連OA,OB，設OR交BC于M,OP交AB于N,如圖所示：因為四邊形是正方形，所以，又四邊形為正方形，所以，所以，所以，即它們重疊部分的面積為1，總面積是7，故小華隨機向標靶投飛鏢射中陰影部分的概率是.【高考再現(xiàn)】1．（2021·全國高考真題（理））在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結果構成區(qū)域為，設事件表示兩數(shù)之和大于，則構成的區(qū)域為，分別求出對應的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結果構成區(qū)域為，其面積為．設事件表示兩數(shù)之和大于，則構成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關鍵是準確求出事件對應的區(qū)域面積，即可順利解出．2．（2021·全國高考真題（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.3．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)4】設為正方形的中心，在中任取點，則取到的點共線的概率為 （）A．B．C．D．【答案】A【思路導引】列出從個點中任取個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算即可．【解析】如圖，從個點中任取個有，，共種不同取法，點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到點共線的概率為，故選A．【專家解讀】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題．4．【2020年高考全國Ⅱ卷文理數(shù)4】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過份的概率為，志愿者每人每天能完成份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于，則至少需要志愿者 （）A．名 B．名 C．名 D．名【答案】B【思路導引】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可．【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，故需要志愿者名，故選B．【專家解讀】本題的特點是注重基礎，本題考查了本題主要考查函數(shù)模型的簡單應用，考查概率的意義，考查數(shù)學運算學科素養(yǎng)．5.【2020年高考山東卷5】某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是 （）A．B．C． D．【答案】C【思路導引】記“該中學學生喜歡足球”為事件，“該中學學生喜歡游泳”為事件，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，然后根據(jù)積事件的概率公式可得結果．【解析】記“該中學學生喜歡足球”為事件，“該中學學生喜歡游泳”為事件，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以，所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為，故選：C．【專家解讀】本題考查了積事件的概率公式．6．【2020年高考江蘇卷4】將一顆質地均勻的正方體骰子先后擲次，觀向上的點數(shù)，則點數(shù)和為的概率是．【答案】【思路導引】先求事件的總數(shù)，再求點數(shù)和為的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案．【解析】總事件數(shù)為，點數(shù)和為含共個基本事件，故所求的概率為．【專家解讀】計數(shù)原理是高考考查的重點內容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，∴計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán)．在處理問題的過程中，應注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”．7.【2016高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)【答案】B【解析】試題分析：如圖所示,畫出時間軸：小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中,而當他的到達時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型,所求概率．故選B．考點：幾何概型【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”,常見的測度由：長度、面積、體積等.8.【2016高考新課標2理數(shù)】從區(qū)間隨機抽取個數(shù),，…，，，，…，，構成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C.考點：幾何概型.【名師點睛】求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．9.【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C考點：概率統(tǒng)計分析.【名師點睛】本題將小球與概率知識結合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應用.10.【2016高考山東理數(shù)】在上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為.【答案】【解析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.考點：1.直線與圓的位置關系；2.幾何概型.【名師點睛】本題是高考?？贾R內容.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，幾何概型概率的計算問題，涉及圓心距的計算，與弦長相關的問題，往往要關注“圓的特征直角三角形”，本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力等.11.【2016高考新課標1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】考點：古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答常見錯誤是在用列舉法計數(shù)時出現(xiàn)重復或遺漏,避免此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標準進行列舉.12.【2017課標=2\*ROMANII，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A.B.C.D.【答案】D【解析】如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數(shù)，縱坐標表示第二次取到的數(shù)總計有25種情況，滿足條件的有10種所以所求概率為【考點】古典概型概率【名師點睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.【反饋練習】1．【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考】給出一組樣本數(shù)據(jù)：1，4，，3，它們出現(xiàn)的頻率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，且樣本數(shù)據(jù)的平均值為2.5，從1，4，，3中任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為5的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)公式解出，得到這組樣本數(shù)據(jù)為1，4，2，3，從中任取兩個且和為5，共有兩種情況，即可得到概率.【詳解】由題意得，樣本平均值為，解得，即這組樣本數(shù)據(jù)為1，4，2，3，從中任取兩個有，，，，，共6種情況，其中和為5的有，兩種情況，∴所求概率為，故選：C.2．【廣東省高州市2021屆高三上學期第一次模擬】已知正六邊形的邊長為，在這個頂點中任意取個不同的頂點，得到線段，則的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)六邊形邊長及對角線長度即可判斷，并求出概率.【詳解】由已知得，，，在這個頂點中任意取個不同的頂點，，得到以下條線段：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足`的有以下條線段：，，，，，，根據(jù)古典概型的計算公式得，的概率為，故選：C．3．【陜西省漢中市2020-2021學年高三上學期第一次模擬文科】五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮?商?角?徵?羽.如果從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對立事件的概率關系進行求解.【詳解】設從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，這個音序中宮和羽至少有一個為事件A，則表示這個音序中不含宮和羽這兩個音序，.故選：B4．【廣西普通高中2021屆高三高考精準備考原創(chuàng)模擬卷（一）】某小區(qū)從熱愛跳廣場舞的3對夫妻中隨機抽取2人去參加社區(qū)組織的廣場舞比賽，則抽取的2人恰好為1對夫妻的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用列舉法列出所有的基本事件，再運用古典概率公式可得選項.【詳解】設第1，2，3對夫妻分別為，，，從中隨機抽取2人，所有等可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，共有15種，其中抽取的2人恰好為1對夫妻的情況有，，，共3種，所以抽取的2人恰好為1對夫妻的概率為．故選：A.5．【江西省臨川二中、臨川二中實驗學校2020屆高三第二次模擬考試】如果從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和能被3整除的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】從5個數(shù)中任取兩個不同數(shù)，取法為，列舉和能被3整除的情況有4種，利用古典概型得解【詳解】從中任取兩個數(shù)，取法總數(shù)為這2個數(shù)的和能被3整除的情況有：∴這2個數(shù)的和能被3整除的概率為：故選：A6．【江西省南昌二中2020屆高三（6月份）高考數(shù)學（理科）】如圖，點在以為直徑的圓上，且滿足，圓內的弧線是以為圓心，為半徑的圓的一部分.記三邊所圍成的區(qū)域（灰色部分）為Ⅰ，右側月牙形區(qū)域（黑色部分）為Ⅱ.在整個圖形中隨機取一點，記此點取自Ⅰ，Ⅱ的概率分別為，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題首先可以設出圓的半徑，然后計算出區(qū)域Ⅰ的面積以及區(qū)域Ⅱ的面積，再然后計算出圓的面積并通過幾何概型的概率計算公式即可得出結果．【詳解】設圓的半徑為，則區(qū)域Ⅰ的面積為；區(qū)域Ⅱ的面積1．圓的面積為π×12＝π．所以．故選A．7．【吉林省通化市梅河口五中2020屆高三數(shù)學（文科）五?！繛榱饲蟮脵E圓的面積，把該橢圓放入一個矩形當中，恰好與矩形相切，向矩形內隨機投入共n個不同的點，其中在橢圓內的點恰好有個.若矩形的面積是2，則可以估計橢圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意，根據(jù)幾何概型的概率公式，所以橢圓的面積為故選：B8．【貴州省貴陽市四校2021屆高三上學期聯(lián)合考試】在區(qū)間[-2，2]隨機取一個數(shù)，則事件“，且”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，求事件“，且”發(fā)生時的取值范圍，代入幾何概型計算公式，即可求出答案．【詳解】事件“，且”由題可知，該分段函數(shù)是一個增函數(shù)，，此時，，所以該事件發(fā)生的概率．故選：D．9．【安徽省名校學術聯(lián)盟2020屆高三下學期押題卷文科】如圖，在邊長為2的正方形內有一個邊長為1的正三角形，則向正方形中隨機投入一個點，其落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用幾何概型概率公式即可求解.【詳解】向正方形中隨機投入一個點，其落在陰影部分正三角形內的概率為.故選:A.10．【2020屆重慶市高三三診數(shù)學（文）】在平面直角坐標系中，設，F(xiàn)表示正切函數(shù)與單位圓圍成的一個封閉區(qū)域（如圖中陰影部分），那么向E中隨機投一點，則所投點落在F中的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出對應區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結論.【詳解】由題可得：E對應的區(qū)域為邊長為4的正方形，其對應的面積為；因為圓和正切函數(shù)都關于原點對稱；∴F對應的區(qū)域為半徑為1的圓的一半，其面積為：；故向E中隨機投一點，則所投點落在F中的概率為.故選：C.11．（2021·河北高三月考）8個人排成兩排，每排4人，則甲、乙不同排的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排列組合知識及概率公式即得.【詳解】因為8個人排成兩排，每排4人，共種結果，其中甲、乙不同排共種結果，所以甲、乙不同排的概率為.故選：B.12．（2021·云南昆明市·（文））一個學習小組有5名同學，其中2名男生，3名女生．從這個小組中任意選出2名同學，則選出的同學中既有男生又有女生的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出5人取2人的所有事件，找出一男同學一女同學的取法，利用古典概型求解.【詳解】5人小組中，設2男生分別為a,b，3名女生分別為A,B,C，則任意選出2名同學，共有:10個基本事件，其中選出的同學中既有男生又有女生共有6個基本事件，所以,故選：C13．（2021·河北高三月考）十進制的算籌計數(shù)法是中國數(shù)學史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個三位數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意用根算籌組成的無重復數(shù)字三個數(shù)字組合為；；；，再由排列數(shù)計算總的基本事件的個數(shù)以及能被整除的基本事件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】用根算籌組成滿足題意的無重復三個數(shù)字組合為；；；，三位數(shù)有；；；這四種情況每一種情況三個數(shù)的全排列，有種，能被整除的基本事件的個數(shù)為的全排列，有種，所以這個三位數(shù)能被3整除的概率為，故選：A.14．（2021·嘉峪關市第一中學高三（理））為了援助湖北抗擊疫情，全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線，他們分別乘坐6架我國自主生產(chǎn)的“運20”大型運輸機，編號分別為1，2，3，4，5，6，同時到達武漢天河飛機場，每五分鐘降落一架，其中1號與6號相鄰降落的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】總共的降落方法為6架飛機的全排列，然后相鄰問題用“捆綁法”，再利用古典概型的求法，即可求解【詳解】解：總共的降落方法有(種)，1號與6號相鄰降落的方法有：(種)1號與6號相鄰降落的概率為：，故選:D15．（2021·武功縣普集高級中學高三開學考試（理））已知直線將圓分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內任取一點，則該點落在部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線與圓相交（由幾何法求得弦長，得小弧所對圓心角），求得中較小部分的面積，然后由概率公式計算．【詳解】解析：設直線與圓交于，兩點，由圓可知，圓心的坐標為，半徑為.圓面積為．因為圓心到直線的距離為，所以，又，所以，從而扇形的面積為，所以部分的面積為，故在圓內任取一點，則該點落在部分的概率.故選：B．16．（2021·甘肅高三開學考試（理））從區(qū)間和內分別選取一個實數(shù)，，得到一個實數(shù)對，稱為完成一次試驗．若獨立重復做次試驗，則的次數(shù)的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)幾何概型求出一次試驗中發(fā)生的概率，再由二項分布的期望公式即可求數(shù)學期望.【詳解】從區(qū)間和內分別選取一個實數(shù)，，則表示的可行域為矩形區(qū)域（不含邊界），如圖所示，表示的可行域為圖中的陰影部分（不含邊界）．因為的面積為，矩形的面積為，所以由幾何概型可知，每次試驗發(fā)生的概率．依題意可得，則，故選：D.17．（2021·云南民族中學高三月考（文））七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形?一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.（清）陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分以外的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設大正方形的邊長為4，則陰影部分可看做一個等腰直角三角形，邊長為，另外一部分為梯形，上底為，下底為，高，然后分別求出面積，即可求出陰影部分以外的面積，根據(jù)與面積有關的幾何概率公式可求．【詳解】解：設大正方形的邊長為4，則面積，陰影部分可看做一個等腰直角三角形，邊長為，面積，另外一部分為梯形，上底為，下底為，高，面積，故陰影部分以外的面積為16-4-3=9，所以此點取自陰影部分以外的概率為．故選：C．18．（多選）（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學高三月考）已知甲袋中有5個大小相同的球，4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小相同的球，4個紅球，2個黑球，則（）A．從甲袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為B．從乙袋中隨機摸出一個球是黑球的概率為C．從甲袋中隨機摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為D．從甲、乙袋中各隨機模出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率為【答案】ACD【分析】A.根據(jù)紅球數(shù)與甲袋中總球數(shù)的比求得結果；B.根據(jù)黑球數(shù)與乙袋中總球數(shù)的比求得結果；C.先利用組合數(shù)計算出摸出個球的總的取法數(shù)，再分析摸出個球都是紅球的取法數(shù)，根古典概型的概率計算公式求得結果；D.利用概率的乘法公式求得結果即可.【詳解】對選項A，從甲袋中隨機摸一個球是紅球的概率為，故A對；對選項B，從乙袋中隨機摸一個球是黑球的概率為，故B錯；對選項C，從甲袋中隨機摸2個球，則2個球都是紅球的概率，故C對；對選項D，從甲、乙袋中各隨機摸出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率；故選：ACD.19．（多選）（2021·湖南高三）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結論正確的是（）A．為“男”的諸侯分到