安徽省淮北市濉溪縣古饒中學高二數學文上學期摸底試題含解析

安徽省淮北市濉溪縣古饒中學高二數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若a1+a7+a13的值是一確定的常數，則下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8﹣S5．其結果為確定常數的是（）A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤參考答案：A【分析】直接利用等差數列的性質以及已知條件求出a7是常數，即可判斷選項②③⑤正確．【解答】解：等差數列{an}中，a1+a7+a13的值是一確定的常數，可得3a7是常數，故②正確；S13=13a7，所以S13是常數，故③正確；S8﹣S5=a6+a7+a8=3a7是常數，故⑤正確．故選：A．【點評】本題考查等差數列的基本性質的應用，考查計算能力．2.用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是

（）A．1

B． C．

D．

參考答案：D

略3.在中，所對的邊長分別為滿足成等比數列，成等差數列，則

（）A． B． C． D．參考答案：A略4.函數存在與直線平行的切線，則實數的取值范圍是（

）

A.

B．

C.

D．參考答案：B5.在等差數列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：A【考點】等差數列的性質．【分析】法一：設首項為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．法二：因為a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．【解答】解：法一：∵{an}為等差數列，設首項為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故選A．法二在等差數列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故選A．【點評】本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．6. 拋擲一個骰子，落地時向上的點數是的倍數的概率是A、

B、

C、

D、參考答案：B略7.已知直線y=kx是y=lnx的切線，則k的值是（）A．e B．﹣e C． D．﹣參考答案：C【考點】62：導數的幾何意義．【分析】欲求k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導數求出在切處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，設切點為（m，lnm），得切線的斜率為，所以曲線在點（m，lnm）處的切線方程為：y﹣lnm=×（x﹣m）．它過原點，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故選C．8.下列四個命題：①經過定點P0（x0，y0）的直線都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示；②經過定點A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示；③不經過原點的直線都可以用方程+=1表示；④經過任意兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示；其中真命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由直線方程的四種特殊形式的適用范圍逐一核對四個命題得答案．【解答】解：①，過點P0（x0，y0）且垂直于x軸的直線不能用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示，故①錯誤；②，經過定點A（0，b）且垂直于x軸的直線不能用不能用方程y=kx+b表示，故②錯誤；③，垂直于兩坐標軸的直線不能用方程+=1表示，故③錯誤；④，當兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的連線不垂直于坐標軸時，直線方程為，化為（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）后包含兩點連線垂直于坐標軸，∴經過任意兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示，故④正確．∴正確命題的個數是1個．故選：B．9.若，則x的值為（

）A.4 B.4或5 C.6 D.4或6參考答案：D因為，所以或，所以或，選D.10.某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數據的分組依次為,,若低于60分的人數是15人,則該班的學生人數是（

）A． B． C． D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從中隨機抽取一個數記為，從中隨機抽取一個數記為，則函數的圖象經過第三象限的概率是____．參考答案：考點：古典概型試題解析：（a,b）共有種情況，其中要使函數的圖象經過第三象限，則，有種情況；或有種情況，所以故答案為：12.已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如右圖所示，則該幾何體的體

積是

。參考答案：13.已知數列1，2，3，4，5，6，……，按如下規(guī)則構造新數列：1，（2+3），（4+5+6），（7+8+9+10），……，

則新數列的第n項為_________________．參考答案：14.容器中有A，B，C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子.現有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結論：①最后一顆粒子可能是A粒子②最后一顆粒子一定是C粒子③最后一顆粒子一定不是B粒子

④以上都不正確其中正確結論的序號是________.（寫出所有正確結論的序號）參考答案：①③【分析】分析每一次碰撞粒子數量的變化規(guī)律，根據規(guī)律求解.【詳解】1、最后剩下的可能是A粒子10顆A粒子兩兩碰撞，形成5顆B粒子；9顆C粒子中的8個兩兩碰撞，形成4顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，剩下一顆B粒子；這個B粒子與剩下的一顆C粒子碰撞形成A粒子。2、最后剩下的可能是C粒子10顆A粒子中的9顆與9顆C粒子兩兩碰撞，形成9顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，最后剩一顆B粒子；這個B粒子與剩下的一顆A粒子碰撞形成C粒子。3、最后剩下的不可能是B粒子A、B、C三種粒子每一次碰撞有以下6種可能的情況：A與A碰撞，會產生一顆B粒子，減少兩顆A粒子；（B多1個，AC共減少兩個）B與B碰撞，會產生一顆B粒子，減少兩顆B粒子；（B少1個，AC總數不變）C與C碰撞，會產生一顆B粒子，減少兩顆C粒子；（B多1個，AC共減少兩個）A與B碰撞，會產生一顆C粒子，減少A、B各一顆粒子。（B少1個，AC總數不變）A與C碰撞，會產生一顆B粒子，減少A、C各一顆粒子。（B多1個，AC共減少兩個）B與C碰撞，會產生一顆A粒子，減少B、C各一顆粒子。（B少1個，AC總數不變）可以發(fā)現如下規(guī)律：（1）從B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的數量增多一個或減少一個。題目中共有27顆粒子，經過26次碰撞剩一顆粒子，整個過程變化了偶數次，由于開始B粒子共有8顆，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子個數必為偶數，不可能是1個。所以，最后剩下的不可能是B粒子。（2）從A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子總數或者不變、或者減少兩個。題目中A、C粒子之和為19個，無論碰撞多少次，A、C粒子都沒了是不可能的。所以，剩下的最后一顆粒子一定是A或C.【點睛】本題考查邏輯推理，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.15.已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，λ，3），若向量，，共面，則λ的值為

．參考答案：6【考點】共線向量與共面向量．【專題】方程思想；轉化思想；空間向量及應用．【分析】向量，，共面，存在實數m，n使得=，即可得出．【解答】解：∵向量，，共面，∴存在實數m，n使得=，∴，解得λ=6．故答案為：6．【點評】本題考查了向量坐標運算性質、向量共面定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．16.與直線x–3y=0和3x–y=0相切，且過點A(11，–7)的圓的方程是

。參考答案：(x–5)2+(y+5)2=40或(x–85)2+(y+85)2=1156017.命題：“△ABC中，若∠C=90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題是

.

參考答案：△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角根據否命題的寫法，既否條件又否結論，故得到否命題是△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，中心在原點的橢圓的焦點在x軸上，長軸長為4，焦距為2，O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是否存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，橢圓的方程為：…（4分）（Ⅱ）法一：假設存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，依題意可知OA⊥OB．①當直線l的斜率不存在時，A、B分別為橢圓短軸的端點，不符合題意

…（5分）②當直線l的斜率存在時，設為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）設A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假設存在過M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，依題意可知OA⊥OB，設直線l的方程為：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7分）設A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又=…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴，∴…（11分）∴所求直線的方程為：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0所以，存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個不同點，使以AB為直徑的圓過原點，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…（12分）【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合題，屬于難度較大的題目，計算量大，在高考中經常在壓軸題中出現．19.（本小題滿分13分）設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。(Ⅰ)求進入商場的位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(Ⅱ)求進入商場的位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（Ⅲ）記表示進入商場的位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求的分布列及期望。參考答案：（本小題滿分13分）解：記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，

記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，(Ⅰ)

……3分(Ⅱ)

，

………6分（Ⅲ），故的分布列，，所以

…………………12分略20.從4名男生和5名女生中任選5人參加數學課外小組．（1）若選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，求共有多少種不同的選法；（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，求A發(fā)生的概率．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）利用排列組合和乘法原理能求出選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，共有多少種不同的選法．（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，則表示“男生甲和女生乙同時入選”，利用對立事件概率計算公式能求出事件A發(fā)生的概率．【解答】解：（1）從9人中任選5人，基本事件總數n==126，選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選包含的基本事件總數m==36，∴選2名男生和3名女生，且女生甲必須入選，共有36種不同的選法．（2）記“男生甲和女生乙不同時入選”為事件A，則表示“男生甲和女生乙同時入選”，∴P（）==，∴A發(fā)生的概率P（A）=1﹣P（）=1﹣．【點評】本題考查排列組合的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題