中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)7綜合探究問題

PAGEPAGE6綜合探究問題探索是一種重要的研究問題的方法，也是人們發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)新能力.探索問題包括從實(shí)踐中探索、從特殊到一般的探索、存在性探索、動(dòng)態(tài)探索等等.一般在各地中考都以壓軸題形式出現(xiàn).題型之一實(shí)踐操作型綜合探究問題例1(2013·日照)問題背景:如圖a,點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.(1)實(shí)踐運(yùn)用：如圖b，已知⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為.(2)知識(shí)拓展：如圖c，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【思路點(diǎn)撥】首先要深刻理解圖a中的方法、過程、結(jié)論；由此在圖b，c中分別找到點(diǎn)B關(guān)于CD，AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，在圖b中，AB′與CD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置，所不同的是要靈活運(yùn)用圓周角與圓心角關(guān)系及圓的對(duì)稱性來(lái)找到相關(guān)角的度數(shù)，這樣易得到其最小值；在圖c中，由于點(diǎn)F是動(dòng)態(tài)的，因此要根據(jù)“垂線段最短”這一公理來(lái)解決問題.【解答】(1)2.(2)如圖c，在斜邊AC上截取AB′=AB,連接BB′.∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱.過點(diǎn)B′作B′F⊥AB,垂足為F,交AD于E,則線段B′F的長(zhǎng)即為所求.在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°,AB′=AB=10，∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin45°=10×=5.即BE+EF的最小值為5.方法歸納：本例是將某一問題的解決方法，運(yùn)用到解決不同情景下的類似問題，這類題充分體現(xiàn)了實(shí)踐性、探究性，其解答思路的突破點(diǎn)是緊扣題中交代的思想方法，結(jié)合不同情景中對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)解決問題.1.(2013·鹽城)實(shí)踐操作如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母.(保留作圖痕跡，不寫作法)(1)作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)O；(2)以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓.綜合運(yùn)用在你所作的圖中，(1)AB與⊙O的位置關(guān)系是；(直接寫出答案)(2)若AC=5，BC=12，求⊙O的半徑.2.(2014·江西)如圖1，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)F在BC邊上(不與點(diǎn)B，C重合).第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去…(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為，求此時(shí)線段EF的長(zhǎng)；(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為，此時(shí)此刻AE與BF的數(shù)量關(guān)系是；②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長(zhǎng)為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.3.(2014·濰坊)如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G.(1)求證：AE⊥BF；(2)將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF(如圖2)，延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；(3)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM(如圖3)，若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積.題型之二從特殊到一般的探究性問題例2(2014·內(nèi)江)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，連接AD.問題引入：(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD∶S△ABC＝；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD∶S△ABC＝(用圖中已有線段表示).探索研究：(2)如圖2，在△ABC中，O是線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合)，連接BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由.拓展應(yīng)用：(3)如圖3，O是線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合)，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.試猜想++的值，并說明理由.設(shè)AB的解析式為y＝kx+b，把A(-3，0)、B(5，4)代入，得解得∴直線AB的解析式為y＝x+.可設(shè)P(x，x+)，Q(x，-x2+x+4)，則PQ＝-x2+x+4-(x+)＝-(x-1)2+.當(dāng)x=1時(shí)，PQ最大，且最大值為.(3)存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形.如圖，易知，拋物線對(duì)稱軸為x=2.5.設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AM1⊥AB，交對(duì)稱軸于點(diǎn)M1，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H.∵∠BAH+∠DAM1=90°,∠M1+∠DAM1=90°,∴∠M1=∠BAH.∴△ADM1∽△BHA,∴=.∴=,解得DM1=11,∴M1（2.5,-11）.再過點(diǎn)B作BM2⊥AB，交對(duì)稱軸于點(diǎn)M2.同理可得，∠M2=∠CBA.又∵∠CBA=∠BAO,∴∠M2=∠BAO.∴△M2EB∽△AHB，即=.∴=，解得EM2=5，∴DM2=5+4=9.∴M2（2.5,9）.∴存在點(diǎn)M1（2.5,-11）、M2（2.5，9）使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形.方法歸納：對(duì)于單個(gè)圖形形狀的存在性判斷，先假設(shè)圖形形狀存在，然后根據(jù)圖形的特殊性來(lái)求出存在的條件(即要求的點(diǎn)的坐標(biāo)).當(dāng)圖形的形狀無(wú)法確定唯一時(shí)，還要注意分類，如等腰三角形的腰與底，直角三角形中直角頂點(diǎn)的位置等.1.(2014·湖州)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c(c>0)的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C,過點(diǎn)C作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)A,在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B,使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD.(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-4，4).①求b,c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；(2)是否存在這樣的點(diǎn)A,使得四邊形AOBD是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.(2014·濟(jì)寧)如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點(diǎn)C.（1）求該拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說明理由；（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3.(2014·德州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).4.(2014·蘭州)如圖，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A(-1，0)，C(0，2).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).第2課時(shí)探究?jī)蓚€(gè)圖形的關(guān)系例4(2013·涼山)如圖，拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng).(3)在(2)的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式；(2)先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式，再求出點(diǎn)P、點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，問題即可解決；(3)需分情況討論，①若△PFC∽△AEM，此時(shí)△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°；②若△PFC∽△MEA，此時(shí)△PCM是等腰三角形，且PC=CM，在這兩種情況下分別求出m的值.【解答】(1)∵C(0，4)，A(3，0)在拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)上，∴解得∴所求拋物線的解析式為y=-x2+x+4.(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，∵A(3，0)，C(0，4)在直線AC上，∴解得∴直線AC的解析式為y=-x+4.∴M(m，-m+4)，P(m，-m2+m+4).∵點(diǎn)P在M的上方，∴PM=-m2+m+4-(-m+4)，即PM=-m2+4m（0<m<3）.(3)①若△PFC∽△AEM，此時(shí)△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，則=，即=.又∵△AEM∽△AOC，∴=，即=，∴==.∵PF=PE-EF=-m2+m+4-4=-m2+m，CF=OE=m，∴=，即m=；②若△PFC∽△MEA，此時(shí)△PCM是等腰三角形，且PC=CM，則=，即=.由①得==，∴=.∴==.同理，PF=-m2+m，CF=OE=m，∴=,即m=1.綜上可得，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.當(dāng)m=時(shí)，△PCM為直角三角形；當(dāng)m=1時(shí)，△PCM為等腰三角形.方法歸納：對(duì)于兩個(gè)圖形的關(guān)系(全等或相似)的存在性探究，先假設(shè)全等或相似關(guān)系存在，然后利用全等或相似的性質(zhì)求出存在的條件(要求的點(diǎn)的坐標(biāo)).當(dāng)全等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系未確定時(shí)，還要從對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度去分類討論.1.(2014·威海)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三點(diǎn).(1)求這條拋物線的解析式；(2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若將直線BC平移，使其經(jīng)過點(diǎn)A，且與拋物線相交于點(diǎn)D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù).2.(2014·麗水)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，4)，直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng).（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型之四動(dòng)態(tài)探究問題第1課時(shí)動(dòng)點(diǎn)問題例5(2013·呼和浩特)如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(6，0)、B(-2，0)和點(diǎn)C(0，-8).(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，若點(diǎn)K為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△KCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為；(3)連接AC，有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OPQ的面積為S.①請(qǐng)問P、Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在PQ∥OC，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；②請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；③設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-6)，將點(diǎn)C(0，-8)代入求出a即可；(2)作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′M與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K.用待定系數(shù)法求得直線C′M的解析式，令y=0即可得K的坐標(biāo)；(3)①先假設(shè)存在，根據(jù)PQ∥OC求出t的值，然后在t的取值范圍內(nèi)檢驗(yàn);②分0≤t≤1、1<t≤2、2<t≤三種情況分別求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；③分別求出②問中每個(gè)解析式的最大值，再作比較.【解答】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-6)，∵圖象過點(diǎn)C(0，-8)，∴a·2·(-6)=-8，解得a=.∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-8.(2)作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′M與x軸的交點(diǎn)即為所求的K點(diǎn).設(shè)yC′M=kx+b,將C′(0,8)與M(2,-),代入求得直線C′M的解析式為y=-x+8.∴K(,0).(3)①不存在PQ∥OC.理由：若PQ∥OC，則點(diǎn)P、Q分別在線段OA、CA上.此時(shí)1<t<2.∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC，∴=.∵AP=6-3t，AQ=18-8t，∴=，解得t=.又∵t=>2，不滿足1<t<2，∴不存在PQ∥OC.②分情況討論如下：情況1：當(dāng)P、Q分別在線段OA、OC上時(shí)，0≤t≤1，則S=OP·OQ=×3t·8t，即S=12t2；情況2：當(dāng)P、Q分別在OA、CA上時(shí)，1<t≤2.作QE⊥OA，垂足為E.則S=OP·EQ=×3t×，即S=-t2+t；情況3：當(dāng)P、Q都在AC上時(shí)，2<t≤.作OF⊥AC，垂足為F，則OF=.此時(shí)S=QP·OF=×(24-11t)×，即S=-t+.綜上所述，S=③S0=.（提示：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，t=1時(shí)，S最大=12；當(dāng)1<t≤2時(shí)，t=時(shí)，S最大=；當(dāng)2<t≤時(shí)，S的最大值不超過.∴S0=.）方法歸納：對(duì)確定了速度的動(dòng)點(diǎn)問題，無(wú)論是單動(dòng)點(diǎn)題型還是多動(dòng)點(diǎn)題型，重點(diǎn)是抓住決定整道題的關(guān)鍵動(dòng)點(diǎn)，將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題或函數(shù)問題來(lái)解決，解決動(dòng)點(diǎn)問題需要注意分段和線段長(zhǎng)度的表達(dá).1.(2014·宿遷)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC-CD-DA以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，△PAB的面積為S(cm2).(1)當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)S=12時(shí)，求t的值.2.(2014·煙臺(tái))在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng).(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF，交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，(1)的結(jié)論還成立嗎？(請(qǐng)直接回答“是”或“否”，不需證明)(3)如圖3，當(dāng)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF，(1)的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；(4)如圖4，當(dāng)E、F分別在DC、CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)EF的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的草圖，若AD＝2，試求出線段CP的最小值.3.(2014·福州)如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=，S△ABP=；(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；(3)如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3.4.(2014·武漢)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ.(1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值；(2)如圖2，連接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)試證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上.第2課時(shí)動(dòng)線問題例6如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn).平行于直線l的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方形以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，它與x軸，y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤4).(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式表示△MON的面積S1；(3)以MN為對(duì)角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S2.①當(dāng)2<t≤4時(shí)，試探究S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②在直線m的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S2為△OAB面積的？【思路點(diǎn)撥】要解答本題必須注意如下幾點(diǎn)：①ON=OM，OA=OB，ON，OM要用含t的代數(shù)式表示，易得S1與t的關(guān)系式；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在△OAB的外面，PF，PE要用含t的代數(shù)式表示；③當(dāng)S2等于△OAB面積的時(shí)，要弄清點(diǎn)M落在OA的中點(diǎn)的左邊還是右邊.【解答】(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=4.∴A(4，0)，B(0，4).(2)∵M(jìn)N∥AB，∴==1.∴OM=ON=t.∴S1=OM·ON=t2.(3)如圖，①當(dāng)2<t≤4時(shí)，易知點(diǎn)P在△OAB的外面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t),F(t，4-t)，E(4-t，t)，則PF=PE=|t-(4-t)|=2t-4.∴S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF=t2-PE·PF=t2-(2t-4)(2t-4)=-t2+8t-8.②當(dāng)0<t≤2時(shí)，S2=t2，由S2=S△OAB，得t2=××4×4=.解得t1=-<0，t2=>2，兩個(gè)都不合題意，舍去；當(dāng)2<t≤4時(shí)，由題意，得S2=-t2+8t-8=.解得t3=3，t4=.綜上得，當(dāng)t=或3時(shí)，S2為△OAB面積的.方法歸納：解答此類題先要畫出各個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻的圖形，再由“動(dòng)”變“靜”設(shè)法分別求解.用分類思想畫圖的方法在解動(dòng)態(tài)幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，突破難點(diǎn).1.(2014·蘭州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平行于對(duì)角線BD的直線l從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到直線l與正方形沒有交點(diǎn)為止.設(shè)直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()2.(改編)如圖，已知點(diǎn)A(6,0),B(0,6)，經(jīng)過A，B的直線l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)過O作OC⊥AB于C，問：t為何值時(shí)，以P為圓心，1為半徑的圓與直線OC相切？3.(2014·衡陽(yáng))如圖，直線AB與x軸相交于點(diǎn)A(-4，0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線AB向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，將直線y=x以每秒0.6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平移，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<5)秒.(1)證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；(2)當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形ACDP為菱形？請(qǐng)指出此時(shí)以點(diǎn)D為圓心、OD長(zhǎng)為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由.第3課時(shí)動(dòng)形問題例7(2014·重慶A卷)已知，如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD=，AE⊥BD，垂足是E.點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF、BF.(1)求AE和BE的長(zhǎng)；(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長(zhǎng)度)，當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值；(3)如圖2，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°<α<180°)，記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用勾股定理和三角形的面積求出AE、BE的長(zhǎng)；(2)過F點(diǎn)作BD的平行線，交AB于G點(diǎn)，交AD于H點(diǎn),FG的長(zhǎng)度是F點(diǎn)平移到AB的距離，F(xiàn)H的長(zhǎng)度是F點(diǎn)平移到AD的距離.(3)△ABF在繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，A′F′與BD所在直線的交點(diǎn)有可能在BD上，也有可能在BD的延長(zhǎng)線上.畫出不同時(shí)刻的圖形，結(jié)合△DPQ為等腰三角形，即可求出DQ的長(zhǎng).【解答】(1)∵AB=5,AD=,∴BD==.∵S△ABD=AB·AD=BD·AE.∴×5×=×AE，即AE=4.∴BE===3.(2)過F點(diǎn)作BD的平行線，交AB于G點(diǎn)，交AD于H點(diǎn).∵FG=FB=BE,∴當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，m=3；圖1中，過點(diǎn)F作FM⊥DA，交其延長(zhǎng)線于M，作FI⊥AB交AB于I.由面積關(guān)系及勾股定理可求FI=MA=,MF=,GI=,AG=MF-GI=.由=,可知MH=AH+AM=.∴FH==.即點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，m=.(3)存在.理由如下：①若點(diǎn)Q在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，則∠Q=∠1，則有∠2=∠1+∠Q=2∠Q，∠3=∠4+∠Q,∠3=∠2,∠4+∠Q=2∠Q,∴∠4=∠Q,∴A′Q=A′B=5,F′Q=A′F′+A′Q=9.在Rt△BF′Q中，F(xiàn)′Q2+F′B2=BQ2，∴92+32=(+DQ)2,解得DQ=3-或DQ=-3-(舍)；②若點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，如圖4.∠1=∠2=∠