函數零點問題講義（主要是含參函數）-高三數學二輪專題復習

函數的零點問題（主要是含參函數）--2022-2023高三數學二輪復習-------------------------------------------------知識點與方法總結-----------------------------------------------------一、函數的零點1、函數零點的概念對于函數，我們把使成立的實數x叫做函數的零點．2、函數的零點與方程的根之間的聯(lián)系1）函數的零點就是方程的實數根，也就是函數的圖象與x軸的交點的橫坐標即方程有實數根?函數的圖象與x軸有交點?函數有零點．2）函數有零點方程有實數根函數與的圖象有交點；3）函數有零點方程F（x）=0有實數根函數與的圖象有交點，其中為常數.3、二次函數的零點二次函數的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數210二、零點存在性定理如果函數在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點，即存在c∈(a，b)，使得，這個也就是方程的根.【注】上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.（1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點.要分析的性質與圖象，如果單調，則“一定”只有一個零點（2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調，那么“一定”沒有零點（3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數性質與圖象影響。如果單調，則一定小于0.三、二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2、用二分法求函數零點近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數零點近似值的步驟如下：①確定區(qū)間[a，b]，驗證，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點c；③計算f(c)；a．若f(c)=0，則c就是函數的零點；b．若f(a)·f(c)<0，則令b=c(此時零點x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，則令a=c(此時零點x0∈(c，b))．④判斷是否達到精確度ε：即若|a?b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復②③④.【速記口訣】定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看，同號丟，異號算，零點落在異號間．重復做，何時止，精確度來把關口．四、函數零點的判定方法1、定義法（定理法）：使用零點存在性定理，函數必須在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，當時，函數在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點．2、方程法：判斷方程是否有實數解．3、圖象法：若一個函數(或方程)由兩個初等函數的和(或差)構成，則可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點的橫坐標即為函數f(x)的零點.五、判斷函數零點個數的方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．2、零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質．3、數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，先畫出兩個函數的圖象，看其交點個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.六、函數零點的應用問題1、已知函數零點所在區(qū)間求參數或參數的取值范圍根據函數零點或方程的根求解參數的關鍵是結合條件給出參數的限制條件，此時應分三步：①判斷函數的單調性；②利用零點存在性定理，得到參數所滿足的不等式；③解不等式，即得參數的取值范圍．在求解時，注意函數圖象的應用．2、已知函數零點的個數求參數或參數的取值范圍一般情況下，常利用數形結合法，把此問題轉化為求兩函數圖象的交點問題．3、借助函數零點比較大小或直接比較函數零點的大小關系要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。糁苯颖容^函數零點的大小，方法如下：①求出零點，直接比較大??；②確定零點所在區(qū)間；③同一坐標系內畫出函數圖象，由零點位置關系確定大小.七、二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關的零點分布設方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)的不等兩根為且，相應的二次函數為，方程的根即為二次函數圖象與軸的交點橫坐標，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）根的分布(m＜n＜p為常數)圖象滿足條件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2m＜x1＜x2＜nn＜x2＜p只有一根在(m，n)之間八、一元三次方程根與系數的關系設方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三個根分別為x1、x2、x3．原方程化為．∵x1、x2、x3是方程的三個根，∴．整理，得：，比較左右同類項的系數，得一元三次方程根與系數的關系是：．---------------------------------------------------------題型歸納------------------------------------------------------【題模1】：定義法解決函數零點問題【題模2】：數形結合法解決函數零點問題【題模3】：導數法解決函數零點問題題型一、零點個數即函數f(x)與g(x)（或與x軸）的交點個數，即方程根的個數問題題型二、切線的條數問題，即以切點為未知數的方程的根的個數題型三、已知在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數【題模4】：二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關的零點分布【題模5】：函數零點的應用問題【題模6】：一元三次方程根與系數的關系--------------------------------------------------------專題訓練----------------------------------------------------------【題模1】：定義法解決函數零點問題【講透例題】1、已知函數的圖象是不間斷的，并有如下的對應值表：123456787–35–5–4–8那么函數在區(qū)間（1，6）上的零點至少有（）個A．5B．4C．3D．22、設函數，求函數的零點3、函數f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是________．4、已知函數（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2【相似題練習】1、函數的零點個數是A．0B．1C．2D．3x－10123ex1x＋2123452、根據表格中的數據，可以判定方程ex－x－2＝0的一個零點所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N)，則k的值為________.3、若a<b<c,則函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間（）A.(a,b)和(b,c)內B.（-∞，a）和(a,b)內C.(b,c)和（c,+∞）內D.（-∞，a）和（c,+∞）內4、若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下表：那么方程的一個近似根（精確到0．1）為（）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．55、已知是實數，函數，如果函數在區(qū)間[-1,1]上有零點，求的取值范圍。6、已知二次函數的導函數圖像與直線平行，且在處取得極小值，設；（1）若曲線y=f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求的值；（2）k如何取值時函數存在零點，并求出零點。【題模2】：數形結合法解決函數零點問題【講透例題】1、下列方程在區(qū)間內一定沒有實根的是（）A、B、C、D、2、方程實根的個數是（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）無數多個3、若直線與函數的圖象有兩個公共點，則的取值范圍是_____.4、已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x＜2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是________．5、已知函數f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0).(1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根.【相似題練習】1、已知是偶函數，且其圖像與x軸有7個交點，則方程的所有實根之和為（）A、4B、2C、1D、02、已知e是自然對數的底數，函數f(x)＝ex＋x－2的零點為a，函數g(x)＝lnx＋x－2的零點為b，則g(a)，f(1)，f(b)的大小關系為________．3、若定義在R上的偶函數，且當則函數的零點個數是() A．多于4個 B．4個 C．3個 D．2個【題模3】：導數法解決零點個數問題題型一、零點個數即函數f(x)與x軸（或與g(x)）的交點個數，即方程根的個數問題【講透例題】1、方程exaxa0有唯一的實數解，實數a的取值范圍為.（用三種方法解）2、已知函數，，且在區(qū)間上為增函數．⑴求實數的取值范圍；⑵若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍．3、已知函數，（其中）（1）若，討論函數的單調性；（2）若，求證：函數有唯一的零點.【相似題練習】1、設函數（其中為自然對數的底數，，），曲線在點處的切線方程為．（1）求；（2）若對任意，有且只有兩個零點，求的取值范圍．2、已知函數f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1時，討論f（x）的單調性；（Ⅱ）證明：f（x）至多一個零點．題型二、切線的條數問題，即以切點為未知數的方程的根的個數【講透例題】1、已知函數在點處取得極小值－4，使其導數的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．【相似題練習】1、已知.（1）求的單調區(qū)間；（2）過可作的三條切線，求的取值范圍.題型三、已知在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數【講透例題】定義在R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的單調增區(qū)間為（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6個不同的實根，則實數a的取值范圍是.2、已知函數，（1）求的單調區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．【相似題練習】1．若函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2、若函數既有極大值又有極小值，則實數的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或3、函數在內不存在極值點，則的取值范圍是___________．【題模4】：二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有關的零點分布【講透例題】1、求實數的范圍，使關于的方程的兩根情況如下：(1)兩個負根；(2)兩根都小于1；(3)兩根都大于1；(4)一個根大于1，一個根小于1是否存在這樣的實數a，使函數f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.【相似題練習】：1、若方程的兩個根的兩根情況如下，求的取值范圍。(1)兩根都小于-1；(3)兩根都大于-1；(3)一個根大于-1，一個根小于-1【題模5】函數零點的應用問題【講透例題】1、對任意實數a，b定義運算“?”：,設，若函數恰有三個零點，則實數k的取值范圍是A．(?2,1)B．[0,1]C．[?2,0)D．[?2,1)2、已知函數，則方程恰有兩個不同的實根時，實數的取值范圍是A．B．C． D．3、已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【相似題練習】1、已知函數有唯一零點，則a=A． B．C． D．12、已知函數，函數，則函數的零點個數為A．2 B．3C．4 D．53、函數的零點個數為_________.4、設是定義在上且周期為1的函數，在區(qū)間上，其中集合，，則方程的解的個數是．5、已知函數，其中．若存在實數b，使得關于x的方程有三個不同的根，則m的取值范圍是_________.6、