第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法

第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程的解法第1頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)回顧一階齊次線性方程1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解；第2頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)1、方程(2)的任意兩個(gè)解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(稱線性無(wú)關(guān)),則上式為(2)的通解.定理1(2)第3頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法代數(shù)方程(3)稱為微分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).

(3)(2)第4頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4故它們線性無(wú)關(guān),

因此(2)的通解為

(3)情形1

第5頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5情形2

需要求另一個(gè)特解第6頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6情形3

可以證明,是(2)的解，且線性無(wú)關(guān)，所以方程(2)的通解為

第7頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7小結(jié)特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根第8頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為特征根為第9頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9解特征方程為故通解為例3特征根為第10頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10對(duì)應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一個(gè)解加上方程(2)的任意一個(gè)解是(1)的解；2、方程(1)的任意兩個(gè)解之差是(2)的解

.定理2那么方程(1)的通解為第11頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11問(wèn)題歸結(jié)為求方程(1)的一個(gè)特解.只討論

f

(x)的兩種類型.用待定系數(shù)法求解.對(duì)應(yīng)齊次方程三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解為定理2第12頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12則第13頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13情形1

若

r

不是特征根,

即情形2

若

r

是特征方程的單根,即第14頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月14情形3

若

r

是特征方程的二重根,即第15頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月15綜上討論設(shè)特解為其中第16頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月16解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得

第17頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月17解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解為例5得第18頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月18解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得第19頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月19解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例6注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。第20頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月20解例7對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根第21頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月21此時(shí)原方程的通解為

第22頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月22可以證明,方程(1)具有如下形式的特解:第23頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月23解例8所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第24頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月24解例9所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

第25頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月25定理3(非齊次線性方程的疊加原理)

和的特解,的一個(gè)特解,第26頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月26例10解代入得第27頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月27解代入得原方程通解為例10第28頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月28解例11是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,但沒(méi)有原方程的特解,

故(B)也不對(duì)；

二階非齊次線性微分方程

第29頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月29第30頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月30解例12求導(dǎo)，原方程改寫為再求導(dǎo)，第31