第三章矩陣代數(shù)

第三章矩陣代數(shù)第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章

矩陣代數(shù)3.1預備知識：線性代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令3.3計算實驗：線性方程組求解3.4建模實驗：投入產(chǎn)出分析和基因遺傳第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1預備知識：線性代數(shù)線性方程組記為Ax=b第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1預備知識：線性代數(shù)線性方程組第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1預備知識：線性代數(shù)線性方程組若秩(A)

秩(A,b)，則無解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系與Ax=b的一個特解之和。第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1預備知識：線性代數(shù)逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:

A

0A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣（AE）行變換（EA-1）第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1預備知識：線性代數(shù)特征值與特征向量對于方陣A，若存在數(shù)

和非零向量x使Ax=

x，則稱

為A的一個特征值，x為A的一個對應于特征值

的特征向量。特征值計算歸結為特征多項式的求根。特征向量計算：齊次線性方程組 (A-

E)x=0的所有一組線性無關解。第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令運算符A’(共軛)轉置,A.’轉置A+B與A-B加與減k+A與k-A數(shù)與矩陣加減k*A或A*k數(shù)乘矩陣 A*B矩陣乘法A^k矩陣乘方左除A\B為AX=B的解右除B/A為XA=B的解 第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣運算與數(shù)組運算的區(qū)別數(shù)組運算按元素定義，矩陣運算按線性代數(shù)定義矩陣的加、減、數(shù)乘等運算與數(shù)組運算是一致的

矩陣的乘法、乘方和除法與數(shù)組乘法、乘方和除法不同數(shù)與矩陣加減、矩陣除法在數(shù)學上是沒有意義的。但在MATLAB中有定義。

第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特殊矩陣生成zeros(m,n)m行n列的零矩陣;ones(m,n)m行n列的元素全為1的陣;eye(n)n階單位矩陣;rand(m,n)m行n列[0,1]上均勻分布隨機數(shù)矩陣第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣處理

trace(A)跡(對角線元素的和)diag(A)

A對角線元素構成的向量;diag(x)向量x的元素構成的對角矩陣.tril(A)A的下三角部分triu(A)A的上三角部分flipud(A)矩陣上下翻轉fliplr(A)矩陣左右翻轉reshape(A,m,n)矩陣A的元素重排成m行n列矩陣

第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣分析

rank(A)秩det(A)行列式;inv(A)逆矩陣;null(A)

Ax=0的基礎解系；orth(A)

A列向量正交規(guī)范化norm(x)向量x的范數(shù)norm(A)矩陣A的范數(shù)第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特征值與標準形eig(A)方陣A的特征值[V,D]=eig(A)返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為的特征值構成的對角陣，每個特征值對應的V的列為屬于該特征值的一個特征向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似變換矩陣和約當標準形

第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3計算實驗：線性方程組求解

矩陣除法

(1)當A為方陣，A\B結果與inv(A)*B一致；(2)當A不是方陣,AX=B存在唯一解,A\B將給出這個解；(3)當A不是方陣,AX=B為不定方程組(即無窮多解)，A\B將給出一個具有最多零元素的特解；(4)當A不是方陣,AX=B若為超定方程組（即無解）,A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B的模達到最小。

第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3計算實驗：線性方程組求解例3.1解方程組

第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3計算實驗：線性方程組求解例3.2線性方程組通解用rref化為行最簡形以后求解用除法求出一個特解，再用null求得一個齊次組的基礎解系用符號數(shù)學工具箱中的solve求解(第七章)

第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3計算實驗：線性方程組求解相似對角化及應用

如果n階方陣A有n個線性無關的特征向量，則必存在正交矩陣P,使得P-1AP=

,其中

是A的特征值構成的對角矩陣，P的列向量是對應的n個正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無關特征向量已正交化，所以由此容易進行相似對角化。

第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3計算實驗：線性方程組求解例3.3

用相似變換矩陣P將A相似對角化，并求

第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4建模實驗設有n個經(jīng)濟部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價值。分配平衡方程組消耗平衡方程組

i=1,2,…,n第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月投入產(chǎn)出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’,則

X=CX+D令A=E－C，E為單位矩陣，則

AX=DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月Y=[1,1,…,1]BY表示各部門的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價值向量F=X–Y'B=CB表示各部門間的投入產(chǎn)出關系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月投入產(chǎn)出分析例3.4某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;

生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;

創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解：這是一個投入產(chǎn)出分析問題。設x1為本周內煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問三個企業(yè)間一周內總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業(yè)間相互支付多少金額？三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月直接消耗矩陣C=外界需求向量D=產(chǎn)出向量X=則原方程為(E-C)X=D投入產(chǎn)出矩陣為

B=C*diag(X)總投入向量

Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價值向量

F=X-Y’第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月表3.3投入產(chǎn)出分析表(單位：元)

消耗部門外界需求總產(chǎn)出煤礦電廠鐵路生產(chǎn)部門煤礦0365061558250000102088電廠25522280828332500056163鐵路2552228080028330新創(chuàng)造價值51044140419915

總產(chǎn)出1020885616328330第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月后代是從父母體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制，那么有三種基因型，上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因對的概率?；蜻z傳第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例5設金魚某種遺傳病染色體的正?；驗锳，不正?；驗閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設初始分布為90%正常金魚，10%的隱性患者，無顯性患者?？紤]下列兩種配種方案對后代該遺傳病基因型分布的影響