第三章矩陣代數(shù)

第三章矩陣代數(shù)第1頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章

矩陣代數(shù)3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解3.4建模實(shí)驗(yàn)：投入產(chǎn)出分析和基因遺傳第2頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)線性方程組記為Ax=b第3頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)線性方程組第4頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)線性方程組若秩(A)

秩(A,b)，則無(wú)解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在無(wú)窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個(gè)特解之和。第5頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:

A

0A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣（AE）行變換（EA-1）第6頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)特征值與特征向量對(duì)于方陣A，若存在數(shù)

和非零向量x使Ax=

x，則稱

為A的一個(gè)特征值，x為A的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量。特征值計(jì)算歸結(jié)為特征多項(xiàng)式的求根。特征向量計(jì)算：齊次線性方程組 (A-

E)x=0的所有一組線性無(wú)關(guān)解。第7頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令運(yùn)算符A’(共軛)轉(zhuǎn)置,A.’轉(zhuǎn)置A+B與A-B加與減k+A與k-A數(shù)與矩陣加減k*A或A*k數(shù)乘矩陣 A*B矩陣乘法A^k矩陣乘方左除A\B為AX=B的解右除B/A為XA=B的解 第8頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣運(yùn)算與數(shù)組運(yùn)算的區(qū)別數(shù)組運(yùn)算按元素定義，矩陣運(yùn)算按線性代數(shù)定義矩陣的加、減、數(shù)乘等運(yùn)算與數(shù)組運(yùn)算是一致的

矩陣的乘法、乘方和除法與數(shù)組乘法、乘方和除法不同數(shù)與矩陣加減、矩陣除法在數(shù)學(xué)上是沒(méi)有意義的。但在MATLAB中有定義。

第9頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特殊矩陣生成zeros(m,n)m行n列的零矩陣;ones(m,n)m行n列的元素全為1的陣;eye(n)n階單位矩陣;rand(m,n)m行n列[0,1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣第10頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣處理

trace(A)跡(對(duì)角線元素的和)diag(A)

A對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;diag(x)向量x的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣.tril(A)A的下三角部分triu(A)A的上三角部分flipud(A)矩陣上下翻轉(zhuǎn)fliplr(A)矩陣左右翻轉(zhuǎn)reshape(A,m,n)矩陣A的元素重排成m行n列矩陣

第11頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令矩陣分析

rank(A)秩det(A)行列式;inv(A)逆矩陣;null(A)

Ax=0的基礎(chǔ)解系；orth(A)

A列向量正交規(guī)范化norm(x)向量x的范數(shù)norm(A)矩陣A的范數(shù)第12頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2矩陣代數(shù)的MATLAB指令特征值與標(biāo)準(zhǔn)形eig(A)方陣A的特征值[V,D]=eig(A)返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的V的列為屬于該特征值的一個(gè)特征向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似變換矩陣和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

第13頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解

矩陣除法

(1)當(dāng)A為方陣，A\B結(jié)果與inv(A)*B一致；(2)當(dāng)A不是方陣,AX=B存在唯一解,A\B將給出這個(gè)解；(3)當(dāng)A不是方陣,AX=B為不定方程組(即無(wú)窮多解)，A\B將給出一個(gè)具有最多零元素的特解；(4)當(dāng)A不是方陣,AX=B若為超定方程組（即無(wú)解）,A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B的模達(dá)到最小。

第14頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解例3.1解方程組

第15頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解例3.2線性方程組通解用rref化為行最簡(jiǎn)形以后求解用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系用符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中的solve求解(第七章)

第16頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解相似對(duì)角化及應(yīng)用

如果n階方陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則必存在正交矩陣P,使得P-1AP=

,其中

是A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，P的列向量是對(duì)應(yīng)的n個(gè)正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個(gè)特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量已正交化，所以由此容易進(jìn)行相似對(duì)角化。

第17頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3計(jì)算實(shí)驗(yàn)：線性方程組求解例3.3

用相似變換矩陣P將A相似對(duì)角化，并求

第18頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4建模實(shí)驗(yàn)設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對(duì)部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價(jià)值。分配平衡方程組消耗平衡方程組

i=1,2,…,n第19頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月投入產(chǎn)出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’,則

X=CX+D令A(yù)=E－C，E為單位矩陣，則

AX=DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。第20頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Y=[1,1,…,1]BY表示各部門的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價(jià)值向量F=X–Y'B=CB表示各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。第21頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月投入產(chǎn)出分析例3.4某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開(kāi)采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi);

生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi);

創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求。第22頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問(wèn)題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問(wèn)三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?第23頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月直接消耗矩陣C=外界需求向量D=產(chǎn)出向量X=則原方程為(E-C)X=D投入產(chǎn)出矩陣為

B=C*diag(X)總投入向量

Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價(jià)值向量

F=X-Y’第24頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表3.3投入產(chǎn)出分析表(單位：元)

消耗部門外界需求總產(chǎn)出煤礦電廠鐵路生產(chǎn)部門煤礦0365061558250000102088電廠25522280828332500056163鐵路2552228080028330新創(chuàng)造價(jià)值51044140419915

總產(chǎn)出1020885616328330第25頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么有三種基因型，上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕省；蜻z傳第26頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)金魚(yú)某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚(yú)，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚(yú)，10%的隱性患者，無(wú)顯性患者。考慮下列兩種配種方案對(duì)后代該遺傳病基因型分布的影響