第三章運籌學

第三章運籌學第1頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月礦井是復雜的發(fā)展著的系統(tǒng)，要使系統(tǒng)達到多個且有時是相互矛盾的目標。因此要從各不相同的開采方案中選出最優(yōu)方案，要針對研究課題的性質和范圍，選擇技術和經濟上的一組指標作為方案優(yōu)選性準則體系。通常開采強度、投資等是很重要的指標，而綜合性的指標如成本、折算費用等也能反映更多的技術經濟內容。2.1多目標決策第2頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：濟寧二號井設計方案優(yōu)化，共做了240萬/年，300，400，500，600萬噸/年，共5個方案，每個方案輸出了8項指標參加評定。方案生產能力(萬噸/年)服務年限(年)資源回收率(%)噸煤折算費用(元/噸)初期投資(萬元)初期工程量(m)建井工期(年)占地面積(公頃)1240108.760.554017.91621153369774.821.60230087.010.553816.41724717457445.725.50340065.260.549315.00029462510955.832.00450052.210.550214.72935577683315.837.50560043.500.550914.66741419815235.942.00f0600108.760.554014.66721153369774.821.60f0稱標準值，定義為每項指標中相對較好的數值。第3頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月(一)加權總均方根偏差最小法按照專家集體評定法(即DELPHI法)首先將不同標準的指標無量綱標準化，因為指標中有的以最小為好，有的以最大為好，所以采用相對偏差作為標準化后的指標，重要性系數(權系數)以20分(或10分)為滿分，以加權總均方根偏差最小的方案為最優(yōu)。第4頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月1)決策準備過程:定目標：從5個方案中優(yōu)選出綜合最優(yōu)方案。定指標：從國內53個專家的評定中定出了8項指標。定專家：專家的條件是：在采礦領域內，研究有素，精通業(yè)務；具有淵博的外圍知識，思想敏捷的人才；熟悉本決策的內、外部條件。參加人數>20人。評定方式：背靠背、獨立思考，不能互相討論。第5頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月2)定權系數φi

這些指標是否都一樣重要呢？即權是否一樣呢？分組取均值法：每位專家對8項指標打分,最高打20分，最低0分。專家生產能力服務年限資源回收率折算費用初期投資初期工程量建井工期占地面積118151012201987210127819201883…….…….53平均值

13.929.208.4312.137.7410.6213.407.01均方差σn-16.115.106.705.767.806.535.564.52第6頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月方法特點：1）簡單易行，一加一除得2）問題：均方差σn-1較大，反映出來意見不一致，相差太大，明顯大于正態(tài)分布判斷標準。第7頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月重要性序列法將每位專家對8項指標所得的分數只排出名次分。

指標專家一二三四五六七八165348721245137862┆…………………………………………┆…………………………………………53…………………………………………第8頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月列出“相對”重要性序列.JI12345678∑A10111001152001100114300000011240010001135111101117611110011670000000118000000000第9頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月方法特點：對角線上為0以對角線為軸，1和0存在“反對稱”關系∑A值只表示名次分第10頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月累加相對重要性序列將25位專家的相對重要性序列相加.I

J12345678∑λ1012131314221821113213013151324202512331212012131817191034121013012212023111511121213022161310963174301011397758591501665840622149037∑λ1=113含義：有113人次認為指標1比其它指標重要.∑λ7=65含義:有65人次認為指標7比其它指標重要.第11頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月求“權值”ψi 線性插值法：最高8分,最低1分,ψa列。a）求極差db）求ψi第12頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月還原法：最高20分,最低6分,ψb列。為了遵守專家原意見，讓最高分＝20分，即讓“8分”＝“20分”可用公式：第13頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月3）方案優(yōu)選①以fij代表第j個方案的第i項指標i=1,2,…,8；j=1,2,…,n；以fi0代表各方案中的第i項指標的標準值；則無量綱化指標δij

為：第14頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月②計算平均ψi值③計算“加權總均方根偏差值”Fj④最優(yōu)解：第15頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月實例步驟：

求Fi同理可計算出，F3=0.4281

、F4=0.5225、F5=0.6805。選擇最優(yōu)方案

F3=0.4280為最優(yōu)方案第16頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）TOPSIS法TOPSIS是“逼近理想解的排序方法”（techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）的英文縮略。它借助多目標決策問題的理想解和負理想解給方案集X中各方案排序。第17頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月設一個多目標決策問題的各備選方案構成的方案集為衡量方案優(yōu)劣的屬性或指標向量為這時方案集X中的每個方案的m個屬性值構成的向量是它作為n維空間中的一個點，能唯一地表征方案。TOPSIS法的求解思路：第18頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月理想解

是一個方案集X中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好的值；負理想解

則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最差的值。在m維空間中，將方案集X中的各備選方案與理想解和負理想解的距離進行比較，既靠近理想解又遠離負理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以據此排定方案集X中各備選方案的優(yōu)先序。第19頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月用理想解求解多目標決策問題的概念簡單，只要在屬性空間定義適當的距離測度就能計算備選方案與理想解。TOPSIS法所用的是歐氏距離。至于既用理想解又用負理想解是因為在僅僅使用理想解時有時會出現某兩個備選方案與理想解的距離相同的情況，為了區(qū)分這兩個方案的優(yōu)劣，引入負理想解并計算這兩個方案與負理想解的距離，與理想解的距離相同的方案離負理想解遠者為優(yōu)。第20頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月TOPSIS法的算法步驟：步驟一：用向量規(guī)范化的方法求得規(guī)范決策矩陣。設多目標決策問題的決策矩陣規(guī)范化決策矩陣則：第21頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟二：構成加權規(guī)范陣表示各屬性權重向量。有兩種確定權重的辦法，一是主觀法，一是客觀法。主觀法最大的缺陷是人為因素太多，隨意性大，聘請眾多專家，投入人力、財力較大。而客觀法是從數據本身的內在屬性，特別是數據對綜合績效的貢獻大小出發(fā)來確定權重的，因而克服了主觀法的上述缺點。第22頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟三，確定理想解和負理想解步驟四：計算各方案到理想解與負理想解的距離第23頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟五：計算各方案的綜合評價指數步驟六：按Di*由大到小排列方案的優(yōu)劣次序某市A君準備購房，現有4所房子供A君選購。已知數據如表，請用TOPSIS法為A君將4處房子按購買的優(yōu)先順序排序。第24頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法（AHP）是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂(A.L.Saaty)于上世紀70年代初，為美國國防部研究“根據各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應用網絡系統(tǒng)理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。這種方法的特點是在對復雜的決策問題的本質、影響因素及其內在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。

3.2層次分析法(AHP法)第25頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月是對難于完全定量的復雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法，是一種解決多目標的復雜問題的定性與定量相結合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結合起來，用決策者的經驗判斷各衡量目標能否實現的標準之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標準的權數，利用權數求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應用于那些難以用定量方法解決的課題。第26頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月決策是指在面臨多種方案時需要依據一定的標準選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問題。舉例1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽、冰箱的功能、價格和耗電量。2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點。要考慮景點的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費用。3.在基礎研究、應用研究和數學教育中選擇一個領域申報科研課題。要考慮成果的貢獻（實用價值、科學意義），可行性（難度、周期和經費）和人才培養(yǎng)。第27頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法的步驟和方法運用層次分析法構造系統(tǒng)模型時，大體可以分為以下四個步驟：1.建立層次結構模型2.構造判斷(成對比較)矩陣3.層次單排序及其一致性檢驗4.層次總排序及其一致性檢驗第28頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月1.建立層次結構模型將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結構圖。最高層：決策的目的、要解決的問題。最低層：決策時的備選方案。中間層：考慮的因素、決策的準則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標層，低層為因素層。下面舉例說明。第29頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽等）；⑤工作環(huán)境好（人際關系和諧等）⑥發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。第30頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻收入發(fā)展聲譽工作環(huán)境生活環(huán)境目標層準則層方案層第31頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.第32頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例3科研課題的選擇某研究所現有三個科研課題，限于人力及物力，只能研究一個課題。有三個須考慮的因素：(1)科研成果貢獻大小(包括實用價值和科學意義)；(2)人材的培養(yǎng)；(3)課題的可行性(包括課題的難易程度、研究周期及資金)。在這些因素的影響下，如何選擇課題?第33頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月將決策問題分為3個或多個層次：最高層：目標層。表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標。通常只有一個總目標。中間層：準則層、指標層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實現預定總目標所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準則層、指標層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個方案可選。每層有若干元素，層間元素的關系用相連直線表示。層次分析法的思維過程的歸納層次分析法所要解決的問題是關于最低層對最高層的相對權重問題，按此相對權重可以對最低層中的各種方案、措施進行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。第34頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月2.構造判斷(成對比較)矩陣在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1—9標度方法給出。第35頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷矩陣元素aij的標度方法標度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij第36頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地目標層O(選擇旅游地)準則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5第37頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月成對比較的不一致情況一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍。第38頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月考察完全一致的情況可作為一個排序向量成對比較滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n非零特征根n所對應的特征向量歸一化后可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A，Saaty等人建議用對應于最大特征根

的特征向量作為權向量w，即一致陣性質但允許范圍是多大？如何界定？第39頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月3.層次單排序及其一致性檢驗對應于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。W的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。能否確認層次單排序，需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n階正互反陣A的最大特征根

n,當且僅當

=n時A為一致陣第40頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月由于λ連續(xù)的依賴于aij，則λ比n大的越多，A的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n數值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴重第41頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI。方法為Saaty的結果如下隨機一致性指標RI則可得一致性指標隨機構造500個成對比較矩陣第42頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數值表，對A進行檢驗的過程。一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內，有滿意的一致性，通過一致性檢驗?？捎闷錃w一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣A，對aij

加以調整。時，認為A定義一致性比率：第43頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗第44頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月4.層次總排序及其一致性檢驗

計算某一層次所有因素對于最高層(總目標)相對重要性的權值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。對總目標Z的排序為的層次單排序為第45頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月即B層第i個因素對總目標的權值為：B層的層次總排序為：B層的層次總排序AB第46頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月層次總排序的一致性檢驗設層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。到此，根據最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第47頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1=3.005

2=3.002

…

n

=3.0權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地第48頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月第3層對第2層的計算結果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T第49頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月1.建立層次結構模型該結構圖包括目標層，準則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權向量并做一致性檢驗2.構造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。第50頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月計算最下層對最上層總排序的權向量。4.計算總排序權向量并做一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率CR較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第51頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法的廣泛應用應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。第52頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關系位置供選擇的崗位例1國家實力分析例2工作選擇第53頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月過河的效益A經濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當地商業(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結構例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第54頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月過河的代價A經濟代價B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結構例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第55頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月待評價的科技成果直接經濟效益C11間接經濟效益C12社會效益C13學識水平C21學術創(chuàng)新C22技術水平C23技術創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價第56頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法應用實例某單位擬從3名干部中選拔一名領導，選拔的標準有政策水平、工作作風、業(yè)務知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評估、量化排序。第57頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月目標層選一領導干部準則層方案層健康狀況業(yè)務知識口才寫作能力工作作風政策水平⑴建立層次結構模型第58頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風A的最大特征值相應的特征向量為：⑵構造成對比較矩陣及層次單排序一致性指標隨機一致性指標RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.084/1.24=0.068<0.1通過一致性檢驗第59頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月假設3人關于6個標準的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風第60頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可求得各屬性的最大特征值和相應的特征向量。特征值健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風3.023.143.573.073.003.22各屬性的最大特征值均通過一致性檢驗第61頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有即在3人中應選擇A擔任領導職務。⑶層次總排序及一致性檢驗第62頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)一位同學準備購買一部手機，他考慮的因素有質量，顏色，價格，外形，實用，品牌等因素，比較中意的手機有諾基亞N73，摩托羅拉E8，索愛W890i，但不知選擇哪一款為好，請你建立數學模型給他一個好的建議。對計算機編程能力較好的同學，可否編寫一個AHP法的計算程序，VB，VC均可。其他同學考慮用Excel如何計算AHP法。（主要是特征值，特征向量的計算）通過網絡資源，查找關于層次分析法應用的論文（2篇以上），并指出其應用的方面，所考慮的目標，準則和方案。第63頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月在我們日常的生活中，常?？梢杂^察到各種各樣帶有競爭性質的現象．例如，下棋、打牌、球賽等各種體育競賽和游戲；經濟領域內的廣告與銷售活動、貿易談判、生產管理；政黨之間的政治斗爭；國家之間的外交談判以及戰(zhàn)爭等這些現象都是沖突各方處于一種競爭或對抗中，并且由于參加的各方在競爭中采取不同策略而得到不同的結果這種帶有競爭或對抗性質的行為，我們稱之為對策行為，簡稱為對策或博弈(game)。3.3對策論第64頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．1．1田忌賽馬問題戰(zhàn)國時期，齊國的國王與一名叫田忌的大將進行賽馬．雙方各出三匹馬，分別為上(等)馬、中(等)馬、下(等)馬各一匹比賽時，每次雙方各從自己的三匹馬中任選一匹馬來比，輸者付給勝者1千兩黃金，共賽三次．當時．三種不同等級的馬相差非常懇殊，而同等級的馬，齊王的比田忌的要強．謀士孫胺給田忌出了個主意：每次比賽先讓齊王牽出他要參賽的馬，然后用下馬對齊王的上馬，用中馬對齊王的下馬．用上馬對齊王的中馬．結果田忌二勝一負，贏得1千兩黃金．由此看來，兩人采取什么樣的策略(出馬次序)對勝負是至關重要的．對策的例子第65頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．1．2冬季取暖問題某單位在秋季要決定取暖用煤礦量問題。在正常的冬季氣溫下要消耗15噸煤，但在較暖與較冷的冬季分別需要10噸和20噸煤，假定煤的價格隨著冬季寒冷程度而有所變動：在較暖、正常、較冷的冬季氣溫下分別為每噸100元、120元、150元．又設在秋季煤價為每噸100元．問在沒有當年冬季準確的氣象預報條件下，秋季貯煤多少噸才較合理？第66頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．1．3罪犯兩難問題甲、乙兩人因犯罪而牽涉于某案件中，但法院只掌握其部分罪證．如果他們都不承認，則他們將作為較小的違法案件的被告而受到懲罰(例如各判刑—年)；如果兩人都承隊有罪，則兩人都被判刑，但考慮認罪態(tài)度，可以減刑(例如各判刑6年)；如果一人坦白，而另一人拒不承認，則承認者可以寬大處理(例如判刑3個月)．而不承認者將受到嚴懲(例如判刑10年)．問甲、乙應如何選擇才能對自己有利?第67頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月從上述例子可以看出：在具有競爭或對抗性質的行為中，參加的各方各自具有不同的利益和目標．為了達到各自的目標和利益，各方必須考慮對手的各種可能的方案，并力圖選取對自己最為有利或最為合理的方案。對策論就是研究對策行為中競爭的各方是否存在最合理的行動方案，以及如何找到這個合理的行動方案的數學理論和方法第68頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月對策的基本要素對策模型的形式可以干差萬別，但本質上都必須包括三個基本要素：局中人策略集支付函數第69頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月局中人在—個對策中，有權決定自己行動方案的參加者稱為局中人(player)，通常用N表示局中人的集合一個對策中至少要有兩個局中人．局中人除了可以是一個自然人外，還可以是代表共同利益的—個集團，如球隊、企業(yè)、國家．在研究人與大自然作斗爭時，人和大自然都是局中人．例1．1．1中局中人是齊王和田忌；例1．1．2中局中人為人和大自然：例1．1．3中局中人為甲、乙兩罪犯；第70頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月策略集一個對策中．可供局中人選擇的一個實際可行的完整的行動方案稱為—個策略(strategy)．參加對策的每個局中人i都有自己的策略集(strategyset)Si，I∈N,它是局中人i的所有策略的全體．在任何一個對策中，每個局中人至少應有兩個策略、這是因為，若某個局中人只有一個策賂，則對策的結果將完全聽憑別人擺布，該局中人就失去了作局中人的資格．第71頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．1．1中，如果用(上，中，下)表示以上馬、中馬、下馬依次參賽這樣一個次序，就是一個完整的行動方案，即一個策略．齊王和田忌均有六個策略：(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)，依次把齊王的策略記為α1，α2，······，α6；把田忌的策略記為β1，β2，······，β6．第72頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．1．2中，人有三個策略：秋季買煤10噸、15噸、20噸，依次記為α1，α2，α3；大自然也有三個策賂：冬天的氣溫較暖、正常、較冷，分別記為β1，β2，β3例1．1．3中．罪犯甲有兩個策略：不承認和承認，記為α1，α2；罪犯乙有兩個策略：不承認和承認，記為β1，β2。第73頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月值得注意的是，這里的策略強凋“完整性’，并非指對策行為中某一步所采取的局部行動方案，例如，在下棋時．對于一局棋來說，某—步走“當頭炮”，只是作為一個策略的一個組成部分．而不是一個完整的策略．又如在田忌賽馬問題中．齊王的三匹馬的出場次序是一個策略，但每次出哪匹馬只是一個策略的一個部分，而不是一個完整的行動方案我們把對策中每個局中人的策略集中各取一個策略所組成的策略組稱為對策的一個局勢(situation)第74頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月

支付函數對策的結果由局勢惟一確定，或者說，一個局勢確定了對策的一種結果。對策的結果又決定了每個局中人的得與失，這種得失稱為局中人的支付(payoff)．顯然，每個局中人的支付都是局勢的函數，因此稱支付為支付函數(payofffunction)．局中人i的支付函數記為Pi．第75頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，局中人的集合N，策略集{Si}以及支付函數{Pi}這三個基本要素確定之后，一個對策就完全確定了此時記這種對策稱為策略型(strategyform)對策或正規(guī)型(normalform)對策下面我們給出前面四個例子的支付函數第76頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月田忌賽馬問題中齊王的支付函數第77頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月如果只考慮數字，齊王的支付函數就是“—個矩陣”第78頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，田忌的支付函數也可以寫成個矩陣；第79頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月對于冬季取暖問題，人的支付函數為大自然的支付函數為第80頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月對于罪犯兩難問題，甲和乙的支付函數分別為第81頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月分類局中人：二人對策、多人對策策略有限對策、無限對策；非合作對策、合作對策支付零和對策、非零和對策時間單階段對策、多階段對策第82頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月二人零和有限對策二人零和有限對策是—種最簡單、最基本的對策。說它簡單是因為：只有兩個局中人，且每個局中人都只有有限個策略；說它基本是因為它的—套比較成熟的理論和算法是研究其他各種對策的基礎。二人零和有限對策也稱為短陣對策。矩陣對策中一個局中人的所得就是另一個局中人的所，所以短陣對策是完全對抗性的，兩個局中人絕對不會合作，即矩陣對策是非合作二人對策。第83頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月對策的分類：鞍點型非鞍點型“方案—狀態(tài)型”第84頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣對策的最優(yōu)策略解—鞍點法例子假定G={SαSβ,A}其中A為：а支付表β1β2β3β4α10210α2-58-3-2α33541第一步：α的最大收入為8，必先出α2；第二步：β的最大收入為5，必先出β1使α損失5；第三步：如果β出β1，α必出α3使β損失3；第四步：如果α出α3，β必出β4使β損失1；

α2—β1—α3—β4—結束。第85頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月思路：如果對局雙方都是有智謀的話，必然都不敢冒險，而是考慮對方總要使自己處于最不利的地位。為此，雙方都應當從壞處著想，力爭好的結果。因為當對局雙方的最壞情況下的最好結果的絕對值相等時(等于1)，稱此時的對局(α3，β4)為對策G={Sα,Sβ,A}的最優(yōu)局勢或鞍點。第86頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月如果：maxminaij=minmaxaij=ai*j*=Uijji則稱(αi*,βj*)為局中α和β的最優(yōu)策略。式(αi*,βj*)為對策的鞍點。第87頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月鞍點存在準則：在給定矩陣對策G中，若能在α的支付表中找到ai*j*，它既是αi*中的最小元素，又是所在列βj*中的最大元素，則(αi*，βj*)即為G的鞍點。例G22=5既是α2的min，又是β2的max，故鞍點為(α2，β2)。對策值為5。第88頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月非鞍點型對策α的最壞結果：-4，-3β的最壞結果：13，1顯然無鞍點。α想出α1得13，β出β2讓α為-4α又出α2得1，β出β1讓α為-3α又出α3。想得13······如此循環(huán)，對方無穩(wěn)定策略。保密成了非鞍點對策的核心！第89頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月一般解法：求解方程組或求非線性規(guī)劃。例設α以概率Pα1選取策略α1；(1-Pα1)選`取策略α2；β以概率Pβ1選取策略β1；(1-Pβ1)選取策略β2；則α獲勝的期望值為：E(Pα1,Pβ1)=13Pα1*Pβ1-3(1-Pα1)Pβ1-4Pα1(1-Pβ1)+(1-Pα1)(1-Pβ1)第90頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月化簡得：E(Pα1,Pβ1)=21[(4/21-Pα1)(5/21-Pβ1)+1/21討論：只有當Pα1=4/21,Pα2=17/21時,α才能取得E(Pα1,Pβ1)=1/21β只有取：Pβ1=5/21,Pβ2=16/21才能使自己的“虧”不超過1/21。故α取策略：(4/21,17/21),β取策略：(5/21,16/21)時雙方都會得到滿意的結果。返回看“齊王、田忌”賽馬，可列出12元非線性(規(guī)劃)方程，但總可分析得出：齊王每個策略獲勝的概率為5/6，田忌每個策略獲勝的概率為1/6(不證)。第91頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月“方案—狀態(tài)”型決策方法現有矩陣對策G={Sα,Rθ,B}

其中

Sα={α1,α2，······，αm}表示α可采用的m種策略

Rθ={θ1,θ2，······，θn}表示n種狀態(tài)(都有可能出現)B表示α采用αi策略以及θ的n種狀態(tài)時的“損失矩陣”則稱G={Sα,Rθ,B}為“方案—狀態(tài)”型決策矩陣。第92頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例：G={Sα,Rθ,B}2解法：1）最大最小法當采用α1策略時，最大損失為17萬元當采用α2策略時，最大損失為14萬元當采用α3策略時，最大損失為20萬元當采用α4策略時，最大損失為19萬元即minmax{B(αi,θj)}=14萬元，所以最優(yōu)方案α*=α2。第93頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月2）等可能性法將每種狀態(tài)下的期望值E(αi)值求出，找出最小者。E(α1)=1/5(15+10+0-6+17)=7.2E(α2)=1/5(3+14+8+9+2)=7.2E(α3)=1/5(1+5+14+20-3)=7.4E(α4)=1/5(7+19+10+2+0)=7.6因為minE(αi)=7.2所以：第94頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月可靠性是一門綜合技術，在設計階段和生產時期應分析系統(tǒng)所具備的可靠性水平，把它作為評價系統(tǒng)好壞的主要指標之一。蘇聯在70年代就對煤礦設計和生產中系統(tǒng)可靠性提出了具體要求，目前我國正加強對系統(tǒng)可靠性在煤礦中應用的研宄工作。提高系統(tǒng)的可靠性，也增加系統(tǒng)的正常工作時間，減少故障時間，是達到穩(wěn)產高產和提高經濟效益必不可少的條件。3.4系統(tǒng)可靠性第95頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月基本概念可靠性：系統(tǒng)的可靠性是系統(tǒng)在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內完成規(guī)定功能的能力。研究的目的在于提高系統(tǒng)的可靠性，從而提高經濟效益。第96頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月可靠度R(t)可靠度是指系統(tǒng)或元素在規(guī)定的條件和規(guī)定的時間內，無故障地完成規(guī)定的概率。即：R(t)=P(X>t)=1―F(t)式中：F(t)為系統(tǒng)在[0，t)時刻內失效（故障）的概率，又稱不可靠度或失效函數。一般地，R(t)服從指數分布。R(t)=e-λt=e-t/mλ——平均故障率，次/minm——平均故障間隔時間，min/次, m=1/λ,即平均工作時間。第97頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月R(t)具有以下特征：1）R(0)=1，系統(tǒng)開始時處于良好狀態(tài)。2)R(t)是t的單調減函數，即R(t)隨時間的增大面減小，即系統(tǒng)的可靠度下降。3）當時間無限增大時，可靠度逐漸減小，其極限為0。4）0≤R(t)≤1，即系統(tǒng)可靠度的值在0，1之間。第98頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月5）特別地，對于R(t)=e-λt=e-λ/m，當t=m，即工作時間=平均工作時間或平均壽命時，R(t)=e-1=

0.368。即系統(tǒng)或元件工作到平均壽命時，可靠度只有約1/3。過了平均壽命可靠度越來越低，不能“憑空想象”為一半。第99頁，課件共111頁，創(chuàng)作于2023年2月例：某皮帶運輸機經7000小時觀察，發(fā)生了10次故障。設故障間隔時間服從指數分布。試求該機的平均工作時間并分別計算從開機到工作100、500、1000小時后的可靠度。解：平均工作時間：m=7000/10=700(小時)工作100小時后的可靠度為：R(100)=e-100/700=