第三章模糊關(guān)系

第三章模糊關(guān)系第1頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

§1模糊關(guān)系的定義與性質(zhì)設(shè)U，V是兩個(gè)論域，在普通集合論中，記做Ｕ與Ｖ的笛卡爾乘積。可能狀態(tài)集是由Ｕ與Ｖ中任意搭配所構(gòu)成，笛卡兒乘積集是兩集合元素之間的約束搭配。若給搭配以約束便體現(xiàn)了一種特殊關(guān)系。是笛卡兒集中的一個(gè)子集。第2頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月記定義3.1定義(模糊關(guān)系)：稱的模糊子集為從U到V的一個(gè)模糊關(guān)系，記作稱U到V的模糊關(guān)系為U中的（二元）模糊關(guān)系。第3頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

模糊關(guān)系由其隸屬函數(shù)所刻畫。叫做具有關(guān)系的模糊程度。例1設(shè)身高的論域?yàn)?/p>

U={140，150，160，170，180}單位：厘米

第4頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)體重的論域?yàn)閂={40，50，60，70，80}

單位：公斤表示身高與體重之間的相互關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)體重關(guān)系：體重（kg）=身高（cm）-100cm。模糊關(guān)系的表示：圖、表、函數(shù)、矩陣第5頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月上述U與V的關(guān)系可用表來表示:40506070801401.00.80.20.10.01500.81.00.80.20.11600.20.81.00.80.21700.10.20.81.00.81800.00.10.20.81.0第6頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用矩陣表示模糊關(guān)系U，V有限論域，用矩陣R來表示：，顯然

R叫模糊矩陣：第7頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用函數(shù)表示關(guān)系表示實(shí)數(shù)域上“遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的關(guān)系”第8頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：二人博弈具有相同的策略集。

U=V={石頭，剪刀，布}，勝為1，平為0.5，負(fù)為0第9頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月用圖表示關(guān)系：石剪布布剪石布布剪剪石石第10頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于同一論域上：布剪石第11頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

§2模糊矩陣的運(yùn)算設(shè)表示全體n行m列的模糊矩陣。對(duì)任意：定義：分別叫做R與S的并，交，R的余矩陣。第12頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：則：若對(duì)所有i，j成立，則稱R=S。第13頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月模糊矩陣滿足下列性質(zhì)：性質(zhì)1交換律：性質(zhì)2結(jié)合律：第14頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3分配律：性質(zhì)4冪等律：第15頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5吸收律：性質(zhì)6復(fù)原律：第16頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月記第17頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)7第18頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月稱S包含R記。如果對(duì)任意（i，j）都有。性質(zhì)8性質(zhì)9第19頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)10若，則第20頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)11記若必有即對(duì)任意，記其中第21頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為R的截矩陣。其所對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫的截關(guān)系。例則第22頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)14證明：①②取第23頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)15證：第24頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§3模糊關(guān)系的合成普通關(guān)系的合成

U：人群，Q：兄弟，R：父子，S：叔侄三個(gè)關(guān)系中有這樣的聯(lián)系：

x是z的叔叔至少有一個(gè)

，使y是x的哥哥而且y是z的父親我們稱叔侄關(guān)系是弟兄關(guān)系對(duì)父子關(guān)系的合成。記：叔侄=弟兄°父子→合成關(guān)系第25頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般地，設(shè)若：則稱關(guān)系S是關(guān)系Q對(duì)R的合成，記做有第26頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

用特征函數(shù)來表示，有由此，可以給出模糊關(guān)系合成的定義。第27頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.2設(shè)所謂對(duì)的合成,是指從U到W的一個(gè)模糊關(guān)系,記做，它具有隸屬函數(shù)當(dāng)，記第28頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于有限論域:

定義模糊矩陣的乘積定義3.3(模糊矩陣乘積)：設(shè)，則定義，使有第29頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

S叫矩陣Q對(duì)R的合成，也稱Q對(duì)R的模糊乘積。性質(zhì)16對(duì)模糊矩陣有證：設(shè)則①

第30頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第31頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月②故第32頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)17模糊乘法滿足結(jié)合律性質(zhì)18第33頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月證：設(shè)有第34頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)18a例：

第35頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)19第36頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)20定義3.4

1）叫自反關(guān)系，如果2）叫作自反矩陣，如果第37頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月3）包含R而有被任何包含R的自反矩陣所包含的自反矩陣，叫做R的自反閉包。記由自反閉包的定義可知：

a)；

b)；

c)任意包含R的自反矩陣Q都滿足；

第38頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)21第39頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§4倒置關(guān)系與轉(zhuǎn)置矩陣

定義3.5設(shè)，所謂的倒置是指：兄弟”關(guān)系是“弟兄”關(guān)系的倒置關(guān)系，“信任”是“被信任”的倒置關(guān)系。第40頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.6稱，是U中的對(duì)稱關(guān)系，如果是對(duì)稱關(guān)系，且僅當(dāng)“朋友”是對(duì)稱關(guān)系。“差異”是對(duì)稱關(guān)系。“父子”就不是對(duì)稱關(guān)系。第41頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.7設(shè)稱是R的轉(zhuǎn)置矩陣，如果稱R為對(duì)稱矩陣，如果且有性質(zhì)22

第42頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質(zhì)23性質(zhì)24性質(zhì)25第43頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質(zhì)26證明：設(shè)第44頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月故又第45頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)27對(duì)任意必為對(duì)稱，且被所有包含R的對(duì)稱矩陣所包含。證：故是對(duì)稱矩陣；又設(shè)Q是任意一個(gè)包含R的對(duì)稱矩陣，故

有：第46頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

∵Q對(duì)稱故故對(duì)稱閉包包含R而又被任何包含R的對(duì)稱矩陣所包含的對(duì)稱矩陣叫做R的對(duì)稱閉包，記s(R)。其結(jié)果為：第47頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月由對(duì)稱閉包的定義可知：

a)；

b)；c)任意包含R的對(duì)稱矩陣Q都滿足例：第48頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第49頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第50頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第51頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5模糊關(guān)系的傳遞性普通關(guān)系中：R∈P（U

U）稱為是具有傳遞性的，若(u，v)∈R，(v，w)∈R

(u，w)∈R定義3.8(模糊關(guān)系的傳遞性):設(shè)若對(duì)任意的λ∈[0,1]均有稱是具有傳遞性的。第52頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞性的充分必要條件是：證：任給，取顯然由定義3.8知從而第53頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然成立上式定理的右端乃是,故可得或傳遞關(guān)系是指：它包含著它與它自己的合成。第54頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3.9：設(shè)，稱R是傳遞矩陣，如果滿足.傳遞關(guān)系的性質(zhì)：性質(zhì)1：若和是傳遞的，則也是傳遞的。證：和是傳遞的,第55頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第56頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

是傳遞的。性質(zhì)2：若是傳遞的，也是傳遞的。證：∵是傳遞的∴第57頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月∴也是傳遞的。第58頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞閉包：包含R而又被任意包含R的傳遞矩陣所包含的傳遞矩陣，叫做R的傳遞閉包。記t(R)由傳遞閉包的定義可知：

a)；

b)；c)任意包含R的對(duì)稱矩陣Q都滿足第59頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)28：對(duì)任意的，總有證：⑴t(R)具有傳遞性

R?R

R；⑵t(R)基于R產(chǎn)生第60頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

傳遞關(guān)系的性質(zhì)：性質(zhì)1若和是傳遞的，則也是傳遞的。證：是傳遞的，

第62頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2若是傳遞的，也是傳遞的。證：∵是傳遞的∴∴也是傳遞的

第63頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月2）設(shè)Q是任意包含R的傳遞矩陣又∵Q是傳遞矩陣由于k的任意性知第64頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月引理3.1

設(shè)則

證明：一般情況下第65頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)m>n時(shí)，上式右端的足碼必有重復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)m>n時(shí)，上式足碼i,j1,j2,….jm-1k(m+1)個(gè)，不同的足碼只能有n個(gè)。于是

即當(dāng)m>n

第66頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例:已知，求傳遞閉包。解：

第67頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§6相似矩陣相似矩陣：自反、對(duì)稱的矩陣叫做相似矩陣。定理３.1

設(shè)為相似矩陣，則對(duì)于任意k≥n均有證明：（需證）R是自反的，（1≤i≤n）則故有從而當(dāng)k≥n時(shí)

第69頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月又∵由定義故且相似矩陣求傳遞閉包的方法：需便可得到傳遞閉包。

n=30需要5次便可得到。

第70頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求相似矩陣的傳遞閉包第71頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

第72頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§7模糊等價(jià)關(guān)系普通的等價(jià)關(guān)系：同時(shí)具備自反、對(duì)稱、傳遞三性的關(guān)系。普通的等價(jià)關(guān)系決定一個(gè)分類：彼此等價(jià)的元素同屬一類。所謂U的一個(gè)分類是指：可將U分成若干個(gè)子集使得定義3.10叫做U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系,如果它是自反、對(duì)稱、傳遞的模糊關(guān)系，叫做等價(jià)矩陣，如果它是自反、對(duì)稱、傳遞的模糊矩陣。

第73頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.2是等價(jià)矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意,都是等價(jià)的布爾矩陣。證：⑴R自反自反（顯然）⑵R對(duì)稱對(duì)稱若，不妨設(shè)，取便有從而。（

）顯然。

⑶R傳遞傳遞（由傳遞性定義）描述了一個(gè)普通等價(jià)關(guān)系。第74頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.3

若0≤λ<μ≤1,則所分出的每一個(gè)類必是所分出的某一類的子類。證:亦即:若i、j按歸為一類，則按亦歸為一類。λ從1降至0，分類由細(xì)變粗，逐步歸并，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的聚類圖。設(shè)U={Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}

第75頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月1）2）3）第76頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月R是等價(jià)矩陣。令λ由1降至0，寫出，按分類，i與j歸為同類

相應(yīng)的分類

Ⅰ}，{Ⅱ}，{Ⅲ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。

第77頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的分類

Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ}，{Ⅴ}。相應(yīng)的分類

Ⅰ，Ⅲ}，{Ⅱ}，{Ⅳ，Ⅴ}。

第78頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的分類

Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，{Ⅱ}。相應(yīng)的分類

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}。

第79頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§8聚類分析定義：對(duì)事物按一定要求進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法，叫做聚類分析。聚類分析有許多方法，我們采用模糊等價(jià)關(guān)系進(jìn)行聚類分析。一、等價(jià)聚類步驟1：根據(jù)樣本集合U中元素的屬性，建立模糊關(guān)系R。（將詳細(xì)討論）步驟2：求R的遞歸閉包t(R)，它就是R的模糊等價(jià)關(guān)系(需證明)步驟3：根據(jù)實(shí)際問題的要求，選定一個(gè)恰當(dāng)?shù)?求就是普通的等價(jià)關(guān)系第80頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟4：求出商集，它對(duì)應(yīng)著U的一個(gè)劃分,即是一種分類。定理：若是相似矩陣，則t(R)=e(R),其中e(R)是R的等價(jià)閉包。e(R):包含R,而又被任一包含R的等價(jià)矩陣所包含的最小的等價(jià)矩陣證明：1．證明t(R)是等價(jià)的，a.所以t(R)是自反的；

b.利用

即t(R)是對(duì)稱的。第81頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

c.t(R)顯然是傳遞的；所以t(R)是一等價(jià)矩陣。

2．證明t(R)被任一Q所包含證：設(shè)Q為包含R的任一等價(jià)矩陣,故Q是傳遞的，3．t(R)顯然包含R故t(R)=e(R)為等價(jià)閉包。第82頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月二、模糊關(guān)系的建立-----校定設(shè)被分類的每一對(duì)象由一組數(shù)據(jù)來表征，則的相似程度可按實(shí)際情況，從下列方式中選擇一種來確定。

1)數(shù)量積第83頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

2)夾角余弦3)相關(guān)系數(shù)第84頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

4)指數(shù)相似系數(shù)

5)非參數(shù)方法第85頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

6)最大最小方法7)算術(shù)平均最小方法第86頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月8)幾何平均最小方法

9)絕對(duì)值指數(shù)方法第87頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月10)絕對(duì)值倒數(shù)方法11)絕對(duì)值減數(shù)方法12)主觀評(píng)定法打分第88頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

例：A=(5,5,3,2)B=(2,3,4,5)C=(5,5,2,3)D=(1,5,3,1)

E=(2,4,5,1)取論域U={A,B,C,D,E}按（11）方法建立相似關(guān)系（C=0.1）

第89頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月R是相似矩陣，不能直接分類，對(duì)它進(jìn)行改造。是等價(jià)矩陣

第90頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月三、聚類分析的其它方法1.直接聚類法由此不需改造R直接根據(jù)聚類原則得到聚類圖。聚類原則：ui和uj在水平上同類在R圖中存在一條權(quán)重不低于的路連接uiuj

例：設(shè)U=

Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ}，表示父、子、女、鄰居、母。第91頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月?、蠛廷醮嬖谝粭l路{Ⅰ}{Ⅱ}{ⅢⅤ}{Ⅳ}；?。á?，Ⅴ）（Ⅲ，Ⅴ）（Ⅱ，Ⅲ）存在路，故{Ⅰ}{ⅡⅢⅤ}{Ⅳ}

取{ⅠⅡⅢⅤ}{Ⅳ}

ⅠⅡⅢ