函數(shù)值域或最值的求法解題模板B

函數(shù)值域或最值的求法解題模板B常見函數(shù)值域或最值的求法解題模板B解題方法模板五：換元法使用情景：函數(shù)表達(dá)式通過換元的方法可以將復(fù)雜的問題簡單化，一般轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他常見的基本函數(shù)類型.解題模板：第一步觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；第二步另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.例5求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)解析式換元之后可以化作二次函數(shù)的形式，故選取解題方法模板五換元法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步，換元(注意換元后的變量的取值范圍)：令，所以原函數(shù)可化為第二步，根據(jù)函數(shù)解析式判定單調(diào)性：因為其開口向下，并且對稱軸是，故當(dāng)時取得最大值為，沒有最小值，故值域為.【典型例題】1．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．4．已知，，則等于（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的值域是（

）A．(－∞，1 B．(－∞，－1 C．R D．［1，+∞解題方法模板六：利用函數(shù)的單調(diào)性使用情景：函數(shù)為一般函數(shù)或者復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性容易確定解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域；第二步求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第三步確定函數(shù)的值域或最值.例6求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)是典型的復(fù)合函數(shù)考查單調(diào)性的問題，故選取解題方法模板六利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步，將函數(shù)化成基本初等函數(shù)的形式：令，所以第二步，討論函數(shù)的單調(diào)性：因為；所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；第三步，討論函數(shù)的單調(diào)性：又因為在定義域上是減函數(shù)；所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；第四步，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值，進(jìn)而得出值域：所以，所以函數(shù)的值域為.【典型例題】7．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．9．函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．10．已知x∈[0，1]，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．解題方法模板七：圖像法使用情景：由函數(shù)的解析式可以繪制出函數(shù)的大致圖像走勢和函數(shù)在關(guān)鍵點處的函數(shù)值解題模板：第一步整理或化簡函數(shù)的解析第二步繪制函數(shù)的圖像第三步結(jié)合函數(shù)的圖像確定函數(shù)的值域.例7求函數(shù)y=|x－1|+|x+3|的值域.【答案】[4，+∞)【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)的解析式可以寫成分段函數(shù)的形式然后繪制函數(shù)圖像，故選取解題方法模板七圖像法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步整理或化簡函數(shù)的解析函數(shù)的解析式即：第二步繪制函數(shù)的圖像結(jié)合分段函數(shù)的解析式繪制函數(shù)圖像如圖所示：第三步結(jié)合函數(shù)的圖像確定函數(shù)的值域.通過函數(shù)圖像易得函數(shù)y=|x－1|+|x+3|的值域為[4，+∞).【典型例題】11．函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．12．若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是A． B． C． D．考點：函數(shù)的值域.13．若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解題方法模板八：數(shù)形結(jié)合法使用情景：代數(shù)問題所給的函數(shù)解析式比較復(fù)雜，但是可以通過幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問題進(jìn)行求解.解題模板：第一步將所給的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，第二步利用幾何圖形的性質(zhì)考查臨界情況即可確定函數(shù)的值域或最值.例8-A求函數(shù)的值域.【答案】【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)的解析式有明顯的幾何意義，故選取解題方法模板十五數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步將所給的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題由得,所以函數(shù)的定義域是，設(shè)點，第二步利用幾何圖形的性質(zhì)考查臨界情況即可確定函數(shù)的值域或最值.易知當(dāng)PMN三點共線時MN取得最值，即：，所以,所以函數(shù)的值域為.例8-B求函數(shù)y=|x－1|+|x+5|的值域【答案】[6，+∞)【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)的解析式具有明顯的幾何意義，故選取解題方法模板八利用幾何意義法進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步將所給的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題由絕對值的幾何意義，式子|x－1|+|x+5|表示數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點P到數(shù)1與數(shù)－5對應(yīng)兩點A、B的距離之和.第二步利用幾何圖形的性質(zhì)考查臨界情況即可確定函數(shù)的值域或最值.在數(shù)軸上容易得到線段AB上的點到此二點距離之和最小為6，其他點到此二點距離之和恒大于6，因此函數(shù)y=|x－1|+|x+5|的值域為[6，+∞).【名師點睛】在數(shù)軸上|x|的幾何意義是：數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點P到原點的距離；在數(shù)軸上|x－a|的幾何意義是，數(shù)軸上任一數(shù)x對應(yīng)點P到數(shù)a對應(yīng)點A的距離，即|PA|之長.【典型例題】14．函數(shù)f(x)＝的值域為()A．[－,] B．[－,0]C．[0,1] D．[0,]15．函數(shù)的值域是A． B． C． D．參考答案：1．D【解析】令，即有，可求得u的范圍，進(jìn)而求外層函數(shù)值域【詳解】令，有，可知：∴故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的值域的求解，利用在復(fù)合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域為外層函數(shù)的定義域求外層函數(shù)的值域是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題2．A【分析】令，且，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【詳解】令，且，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為由，則，即值域為故選：A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的值域，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．B【分析】本題首先可令，然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，最后利用反比例函數(shù)性質(zhì)得出當(dāng)時函數(shù)的值域，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)的值域為，則函數(shù)值域為，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)值域的求法，考查通過換元法求函數(shù)值域，考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查推理能力，是簡單題.4．B【分析】設(shè)，求出，進(jìn)而得到，由此能夠求出【詳解】解：設(shè)，則，，，解得．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意公式的靈活運(yùn)用；運(yùn)用了換元的思想，屬于基礎(chǔ)題．5．B【分析】令，可得，求出函數(shù)的對稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域.【詳解】解：令，可得，可得函數(shù)的對稱軸為：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故函數(shù)的值域為，故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行換元，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.6．A【分析】令，化簡函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】令，則，所以，當(dāng)時，此時函數(shù)取得最大值1，所以函數(shù)的值域為.故選：A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的值域的求解，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和換元法點應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】先求定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求得值域.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，解得：，所以函數(shù)的定義域為，根據(jù)函數(shù)的解析式，增大時，增大，減小，增大，所以增大，即該函數(shù)為增函數(shù)，所以最小值為，最大值為，所以值域為，故選：.【點睛】本題考查具體函數(shù)值域求解，判斷定義域是前提，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解最值是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題8．C【解析】先求出函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解值域.【詳解】由，得，即函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，即函數(shù)的值域為，故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值域的計算，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．C【分析】先求解的對稱軸,再分析的單調(diào)性得出值域即可.【詳解】的對稱軸為,故在時為增函數(shù).故當(dāng)時,當(dāng)時.故值域是.故選：C【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的值域問題,屬于基礎(chǔ)題.10．C【分析】先由基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)和是增函數(shù)，再利用兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)可以判斷函數(shù)是增函數(shù)，借助單調(diào)性確定函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增函數(shù)-在單調(diào)遞增，函數(shù)的值域為故選C【點睛】本題考查函數(shù)值域的求解，函數(shù)值域是函數(shù)定義域和對應(yīng)法則共同確定的，求解值域關(guān)鍵是確定函數(shù)定義域和函數(shù)的單調(diào)性.11．B【分析】根據(jù)題意，畫出二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求值域.【詳解】因為，故作出其函數(shù)圖象如下所示：由圖，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可知：，，故其值域為.故選：B.【點睛】本題考查二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，數(shù)形結(jié)合即可求解.12．B【詳解】試題分析：設(shè)=t,則,從而的值域就是函數(shù)的值域，由“勾函數(shù)”的圖象可知，，故選B．考點：函數(shù)的值域．13．C【分析】運(yùn)用配方法求出函數(shù)的最小值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的定義域和值域進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)或時，.因此當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查了已知二次函數(shù)的定義域和值域求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14．C【詳解】令，則的幾何意義是單位圓(在軸及其上方)上的動點與點連線的斜率，由圖象，得，即函數(shù)的值域為[0,1]，故選C.點睛：本題考查利用三角代換、直線的斜率公式求函數(shù)的值域，解