廣西南寧市天桃實驗學校2023-2024學年八年級上學期開學考試數(shù)學試卷

廣西南寧市興寧區(qū)天桃實驗學校2023-2024學年八年級上學期開學數(shù)學試卷（解析版）一、選擇題（本大題共12題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列各圖中，∠1與∠2互為對頂角的是（）A． B． C． D．2．（3分）4的算術(shù)平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．3．（3分）下列各項調(diào)查中，適合全面調(diào)查（普查）的是（）A．了解國內(nèi)觀眾對春節(jié)檔電影《流浪地球2》的觀影感受 B．了解太原市九年級學生每日體育運動的時長 C．發(fā)射長征七號A運載火箭前，檢查各零部件的合格情況 D．檢測一批新出廠平板電腦的使用壽命4．（3分）下列各組圖形，可由一個圖形平移得到另一個圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）如果a＞b，則下列不等式中不正確的是（）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，如圖所示，則說明∠A′O′B′＝∠AOB是因為圖中的兩個三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定這兩個三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS7．（3分）若一個三角形兩邊的長分別為2和6，則這個三角形第三邊的長可以是（）A．3 B．4 C．6 D．98．（3分）一只小蟲從點A（﹣2，1）出發(fā)，向右跳4個單位長度到達點B處，則點B的坐標是（）A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）9．（3分）如圖，圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．71° B．59° C．58° D．50°10．（3分）甲、乙兩人參加某體育項目訓練，為了便于研究，把最近5次的訓練成績繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，下面結(jié)論不正確的是（）A．甲的第3次成績與第4次成績相同 B．甲、乙兩人第3次成績相同 C．甲的第4次成績比乙的第4次成績少2分 D．甲每次的成績都比乙的低11．（3分）明代《算法統(tǒng)宗》有一首飲酒數(shù)學詩：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多醇酒幾多醇？”這首詩是說：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他們總共飲19瓶酒．試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？”設(shè)有好酒x瓶，薄酒y瓶．根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，BD是△ABC的中線，點E為BD上一點，BE＝2ED，連接AE并延長，交BC于點F，若△ABC的面積是24cm2，則△AED的面積是（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2二、填空題（本大題共6題，每小題2分，共12分）13．（2分）“對頂角相等”是一個命題（填“真”或“假”）．14．（2分）如圖，手機支架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學道理是三角形具有性．15．（2分）如圖，直線l1∥l2，直線l與l1，l2相交，若圖中∠1＝60°，則∠2為°．16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，則a的值為．17．（2分）已知，則．18．（2分）將一筐橘子分給幾個兒童，若每人分4個，則剩下9個橘子；若每人分6個，則最后一個孩子有分到橘子但少于3個，則共有個橘子．三、解答題（本大題共8小題，共72分）19．（6分）計算：．20．（6分）解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．21．（10分）如圖，把△ABC向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得△A1B1C1．解答下列各題：（1）寫出點A，B，C的坐標；（2）在圖上畫出△A1B1C1；（3）求出△A1B1C1的面積．22．（10分）為了普及安全知識，增強安全意識，某中學組織七年級學生參加安全教育知識競賽活動，從中隨機抽取了部分學生成績（得分取整數(shù)），并繪制了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整），請結(jié)合圖表信息回答下列問題：成績分組頻數(shù)71≤x＜76276≤x＜81881≤x＜861286≤x＜911091≤x＜96696≤x＜1012（1）本次活動抽取的學生人數(shù)是，頻數(shù)分布表的組距是；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）已知七年級有320名學生參加安全教育知識競賽活動，請估計成績在86≤x＜96范圍內(nèi)的學生人數(shù)是多少？23．（10分）如圖，點B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；（1）求證：△ABO≌△CDO；（2）當AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度數(shù)．?24．（10分）為進一步落實“德智體美勞”五育并舉，某中學開展球類比賽，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球．已知購買2個足球和1個籃球共需210元，購買3個足球和2個籃球共需360元．（1）足球和籃球的單價各多少元？（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共100個，且足球和籃球的總費用不超過7200元，學校最多可以購買多少個籃球？25．（10分）“整體思想”是數(shù)學解題中的一種重要的思想方法．數(shù)學課上，李老師給出了一個問題，已知實數(shù)x，y滿足，求x﹣4y和7x+5y的值．小天：利用消元法解方程組，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；小紅：發(fā)現(xiàn)兩個方程相同未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過適當變形，整體求得代數(shù)式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；李老師對兩位同學的講解進行點評，指出小紅同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中“整體思想”的運用．請你參考小紅同學的做法，解決下面的問題：（1）已知二元一次方程組，則x﹣y＝，x+y＝；（2）請說明在關(guān)于x，y的方程組中，無論a為何值，x+y的值始終不變；（3）八年級（1）班開展安全教育知識競賽需購買獎品，若買3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元；若買4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需多少元？（直接寫出結(jié)果）26．（10分）【問題背景】小強在學習完平行線一節(jié)后，想利用平行線的知識證明“三角形的內(nèi)角和是180°”；．如圖1，是小強為證明三角形內(nèi)角和是180°所采取的構(gòu)圖方法：過△ABC的頂點A作EF∥BC．請完成：（1）利用小強的構(gòu)圖，說明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；【嘗試應(yīng)用】如圖2，直線l1與直線l2相交于點O，夾角為α，點B在點O右側(cè)，點C在l1上方，點A在O點左側(cè)運動，點E在射線CO上運動（不與C，O重合）；請完成：（2）當α＝60°時，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直線AG于點G，求∠AGE的度數(shù)；【拓展創(chuàng)新】如圖3，點E在線段CO上運動（不與C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于點G；請完成：（3）當n為何值時，∠AGE不隨∠EAB的變化而變化，并用含α的代數(shù)式表示∠AGE的度數(shù)（寫出解答過程）．

2023-2024學年廣西南寧市興寧區(qū)天桃實驗學校八年級（上）開學數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列各圖中，∠1與∠2互為對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的定義進行判斷．【解答】解：B、C、D中∠1與∠2不是對頂角，A中∠1與∠2互為對頂角，故選：A．【點評】本題考查了對頂角，掌握對頂角概念：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角是解題的關(guān)鍵．2．（3分）4的算術(shù)平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，求出4的算術(shù)平方根即可．【解答】解：4的算術(shù)平方根是：，故選：C．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用，熟練掌握算術(shù)平方根的含義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）下列各項調(diào)查中，適合全面調(diào)查（普查）的是（）A．了解國內(nèi)觀眾對春節(jié)檔電影《流浪地球2》的觀影感受 B．了解太原市九年級學生每日體育運動的時長 C．發(fā)射長征七號A運載火箭前，檢查各零部件的合格情況 D．檢測一批新出廠平板電腦的使用壽命【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、了解國內(nèi)觀眾對春節(jié)檔電影《流浪地球2》的觀影感受，適合抽樣調(diào)查，故A不符合題意；B、了解太原市九年級學生每日體育運動的時長，適合抽樣調(diào)查，故B不符合題意；C、發(fā)射長征七號A運載火箭前，檢查各零部件的合格情況，適合全面調(diào)查，故C符合題意；D、檢測一批新出廠平板電腦的使用壽命，適合抽樣調(diào)查，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，熟練掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列各組圖形，可由一個圖形平移得到另一個圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析即可得到答案．【解答】解：A、圖形由軸對稱所得到，不屬于平移，故本選項不符合題意；B、圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化，符合平移性質(zhì)，故本選項符合題意；C、圖形由旋轉(zhuǎn)所得到，不屬于平移，故本選項不符合題意；D、圖形大小不一，大小發(fā)生變化，不符合平移性質(zhì)，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．5．（3分）如果a＞b，則下列不等式中不正確的是（）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 C．﹣2a＞﹣2b D．3a＞3b【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：A、a+2＞b+2正確，不符合題意；B、a﹣2＞b﹣2正確，不符合題意；C、應(yīng)該是﹣2a＜﹣2b，此選項不正確，符合題意；D、3a＞3b正確，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，如圖所示，則說明∠A′O′B′＝∠AOB是因為圖中的兩個三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定這兩個三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【分析】從作圖可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，根據(jù)SSS證△ODC≌△O′D′C′即可．【解答】解：從作圖可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，∵在△ODC和△O′D′C′中，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等），故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和有關(guān)角的作法，主要考查學生的觀察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．7．（3分）若一個三角形兩邊的長分別為2和6，則這個三角形第三邊的長可以是（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】三角形第三邊的長度大于兩邊差，且小于兩邊和．根據(jù)已知邊長求第三邊長度的取值范圍，即可獲得答案．【解答】解：設(shè)第三邊的長為x，則6﹣2＜x＜6+2，故4＜x＜8．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是理解并掌握三角形的三邊關(guān)系．8．（3分）一只小蟲從點A（﹣2，1）出發(fā)，向右跳4個單位長度到達點B處，則點B的坐標是（）A．（﹣6，1） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣3）【分析】根據(jù)橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減進行計算即可．【解答】解：∵小蟲從點A（﹣2，1）出發(fā)，向右跳4個單位長度到達點B處，∴點B的坐標是（﹣2+4，1），即（2，1），故選：B．【點評】此題考查了坐標與圖形的變化，解題的關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．9．（3分）如圖，圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．71° B．59° C．58° D．50°【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫出即可．【解答】解：∵三角形內(nèi)角和是180°，∴a、b邊的夾角度數(shù)為：180°﹣71°﹣50°＝59°，∵圖中的兩個三角形全等，∴∠α等于59°，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等，根據(jù)對應(yīng)邊的夾角準確確定出對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．10．（3分）甲、乙兩人參加某體育項目訓練，為了便于研究，把最近5次的訓練成績繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，下面結(jié)論不正確的是（）A．甲的第3次成績與第4次成績相同 B．甲、乙兩人第3次成績相同 C．甲的第4次成績比乙的第4次成績少2分 D．甲每次的成績都比乙的低【分析】直接利用折線統(tǒng)計圖得出甲、乙的成績進而得出答案．【解答】解：如圖所示：A、甲的第三次成績與第四次成績相同，故此選項正確．不符合題意；B、第三次測試，甲、乙兩人的成績相同，故此選項正確，不合題意；C、第四次測試，甲的成績比乙的成績少2分，故此選項正確，不合題意；D、五次訓練，乙的成績不是每次都比甲的成績高，故此選項錯誤，符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，正確得出甲乙的成績是解題關(guān)鍵．11．（3分）明代《算法統(tǒng)宗》有一首飲酒數(shù)學詩：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多醇酒幾多醇？”這首詩是說：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他們總共飲19瓶酒．試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？”設(shè)有好酒x瓶，薄酒y瓶．根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)有好酒x瓶，薄酒y瓶，根據(jù)“總共飲19瓶酒”可得：x+y＝19根據(jù)“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：綜上：，故選：A．【點評】此題考查了列二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出二元一次方程組．12．（3分）如圖，BD是△ABC的中線，點E為BD上一點，BE＝2ED，連接AE并延長，交BC于點F，若△ABC的面積是24cm2，則△AED的面積是（）A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2【分析】根據(jù)題意可得S△ABD＝S△BCD＝12，再根據(jù)BE＝2ED可得S△AED＝2S△AED即可解答．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，△ABC的面積是24cm2，∴S△ABD＝S△BCD＝12，∵BE＝2ED，∴S△AED＝2S△AED，∵S△AED+S△AED＝S△ABD，∴△AED的面積是4，故選：C．【點評】本題考查三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6題，每小題2分，共12分）13．（2分）“對頂角相等”是一個真命題（填“真”或“假”）．【分析】根據(jù)對頂角相等、真命題的概念解答．【解答】解：對頂角相等是真命題，故答案為：真．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．14．（2分）如圖，手機支架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學道理是三角形具有穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：手機支架采用了三角形結(jié)構(gòu)，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學道理是三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：穩(wěn)定．【點評】本題考查的是三角形的性質(zhì)，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，直線l1∥l2，直線l與l1，l2相交，若圖中∠1＝60°，則∠2為120°．【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠1+∠2＝180°，即可求出∠2＝120°．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝60°，∴∠2＝120°．故答案為：120．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到∠1+∠2＝180°．16．（2分）已知是方程3x+ay＝8的解，則a的值為﹣1．【分析】把方程的解代入即可求a．【解答】解：把x＝3，y＝1代入方程得：9+a＝8，∴a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】遇到題目中已知方程的解類似題目，思路就是把方程的解代入原方程中，求出參數(shù)．17．（2分）已知，則1.01．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的移動規(guī)律，把被開方數(shù)的小數(shù)點每移動兩位，結(jié)果移動一位，進行填空即可．【解答】解：∵，∴＝＝＝＝1.01；故答案為：1.01．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的移動規(guī)律的應(yīng)用，能根據(jù)移動規(guī)律填空是解此題的關(guān)鍵．18．（2分）將一筐橘子分給幾個兒童，若每人分4個，則剩下9個橘子；若每人分6個，則最后一個孩子有分到橘子但少于3個，則共有37個橘子．【分析】設(shè)共x個孩子分橘子，則共有（4x+9）個橘子，根據(jù)“若每人分6個，則最后一個孩子有分到橘子但少于3個”，可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之可得出x的取值范圍，結(jié)合x為正整數(shù)，可確定x的值，再將其代入4x+9中，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)共x個孩子分橘子，則共有（4x+9）個橘子，根據(jù)題意得：，解得：6＜x＜，又∵x為正整數(shù)，∴x＝7，∴4x+9＝4×7+9＝37，∴共有37個橘子．故答案為：37．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共72分）19．（6分）計算：．【分析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根定義、絕對值性質(zhì)、立方根定義，進行計算即可．【解答】解：＝＝＝．【點評】本題主要考查了實數(shù)運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方、算術(shù)平方根定義、絕對值性質(zhì)、立方根定義準確計算．20．（6分）解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集規(guī)律：大小小大中間找確定解集即可．【解答】解：解不等式5x＞x﹣10，得：x＞﹣2.5，解不等式3﹣x≥，得：x≤3，所以不等式組的解集是﹣2.5＜x≤3，將解集表示在數(shù)軸上如下：【點評】此題主要考查了解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．也考查了用數(shù)軸表示不等式組的解集．21．（10分）如圖，把△ABC向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得△A1B1C1．解答下列各題：（1）寫出點A，B，C的坐標；（2）在圖上畫出△A1B1C1；（3）求出△A1B1C1的面積．【分析】（1）利用坐標系寫出點的坐標即可；（2）首先確定A、B、C三點平移后的位置，再連接即可；（3）利用三角形的面積公式計算即可．【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（﹣4，﹣2），C（2，﹣2）；（2）如圖所示；（3）△A1B1C1的面積：×6×3＝9．【點評】此題主要考查了平移作圖，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點平移后的位置．22．（10分）為了普及安全知識，增強安全意識，某中學組織七年級學生參加安全教育知識競賽活動，從中隨機抽取了部分學生成績（得分取整數(shù)），并繪制了頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整），請結(jié)合圖表信息回答下列問題：成績分組頻數(shù)71≤x＜76276≤x＜81881≤x＜861286≤x＜911091≤x＜96696≤x＜1012（1）本次活動抽取的學生人數(shù)是40，頻數(shù)分布表的組距是5；（2）補全頻數(shù)分布直方圖；（3）已知七年級有320名學生參加安全教育知識競賽活動，請估計成績在86≤x＜96范圍內(nèi)的學生人數(shù)是多少？【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出調(diào)查的學生人數(shù)，再根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出組距；（2）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出分數(shù)x在86≤x＜96范圍內(nèi)的學生約有多少人．【解答】解：（1）本次活動抽取的學生人數(shù)是：2+8+12+10+6+2＝40，頻率分布表的組距是76﹣71＝5，故答案為：40，5；（2）由頻數(shù)分布表可知，91≤x＜96這一組的頻數(shù)是6，補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示；（3）320×＝128（人），答：估計成績在86≤x＜96范圍內(nèi)的學生人數(shù)是128人．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23．（10分）如圖，點B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；（1）求證：△ABO≌△CDO；（2）當AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度數(shù)．?【分析】（1）根據(jù)SSS可證明△ABO≌△CDO；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，由平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠AOC＝30°，則可得出答案．【解答】（1）證明：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS）；（2）解：∵△ABO≌△CDO，∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵OA∥CD，∴∠C＝∠AOC＝30°，∴∠A＝30°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，證明△ABO≌△CDO是解題的關(guān)鍵．24．（10分）為進一步落實“德智體美勞”五育并舉，某中學開展球類比賽，準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球．已知購買2個足球和1個籃球共需210元，購買3個足球和2個籃球共需360元．（1）足球和籃球的單價各多少元？（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共100個，且足球和籃球的總費用不超過7200元，學校最多可以購買多少個籃球？【分析】（1）設(shè)足球的單價為x元、籃球的單價為y元，根據(jù)“2個足球和1個籃球共需210元，購買3個足球和2個籃球共需360元．”列方程組即可解決；（2）設(shè)學校最多可以購買m個籃球，則買（100﹣m）個足球，由“足球和籃球的總費用不超過7200元，”得不等式90m+60（100﹣m）≤7200即可解決．【解答】解：設(shè)足球的單價為x元、籃球的單價為y元，根據(jù)題意可得：，解得：，答：足球的單價60x元、籃球的單價為90元，（2）設(shè)學校最多可以購買m個籃球，則買（100﹣m）個足球，90m+60（100﹣m）≤7200，解得：m≤40，∴學校最多可以購買40個籃球，．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意找準數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．25．（10分）“整體思想”是數(shù)學解題中的一種重要的思想方法．數(shù)學課上，李老師給出了一個問題，已知實數(shù)x，y滿足，求x﹣4y和7x+5y的值．小天：利用消元法解方程組，得x，y的值后，再代入求x﹣4y和7x+5y的值；小紅：發(fā)現(xiàn)兩個方程相同未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過適當變形，整體求得代數(shù)式的值，3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19；李老師對兩位同學的講解進行點評，指出小紅同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中“整體思想”的運用．請你參考小紅同學的做法，解決下面的問題：（1）已知二元一次方程組，則x﹣y＝﹣1，x+y＝3；（2）請說明在關(guān)于x，y的方程組中，無論a為何值，x+y的值始終不變；（3）八年級（1）班開展安全教育知識競賽需購買獎品，若買3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元；若買4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需多少元？（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）將兩個方程相加或相減，即可求解；（2）由①×3+②可得結(jié)論；（3）設(shè)鉛筆的單價為x元，橡皮的單價為y元，筆記本的單價為z元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解．【解答】解：（1），則①+②得3x+3y＝9，∴x+y＝3；①﹣②得x﹣y＝﹣1，故答案為：﹣1，3；（2），則①×3+②得：4x+4y＝12，∴x+y＝3，∴無論a為何值，x+y的值始終不變；（3）設(shè)鉛筆的單價為x元，橡皮的單價為y元，筆記本的單價為z元，根據(jù)題意得：，則①×30﹣2×20得10x+10y+10z＝70，答：購買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（10分）【問題背景】小強在學習完平行線一節(jié)后，想利用平行線的知識證明“三角形的內(nèi)角和是180°”；．如圖1，是小強為證明三角形內(nèi)角和是180°所采取的構(gòu)圖方法：過△ABC的頂點A作EF∥BC．請完成：（1）利用小強的構(gòu)圖，說明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；【嘗試應(yīng)用】如圖2，直線l1與直線l2相交于點O，夾角為α，點B在點O右側(cè)，點C在l1上方，點A在O點左側(cè)運動，點E在射線CO上運動（不與C，O重合）；請完成：（2）當α＝60°時，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直線AG于點G，求∠AGE的度數(shù)；【拓展創(chuàng)新】如圖3，點E在線段CO上運動（不與C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于點G；請完成：（3）當n為何值時，∠AGE不隨∠EAB的變化而變化，并用含α的代數(shù)式表示∠AGE的度數(shù)（寫出解答過程）．【分析】【問題背景】（1）根據(jù)平行線的性