第九章-拉普拉斯變換

第九章-拉普拉斯變換1第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.0引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例和為基本分解信號(hào)。對(duì)更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也能以此為基本信號(hào)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。相當(dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合將連續(xù)時(shí)間傅里葉變換推廣到更一般的情況（拉普拉斯變換）就是本章要討論的中心問(wèn)題。拉氏變換具有很多與傅氏變換相同的性質(zhì)，不僅能解決用傅氏分析方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng)分析問(wèn)題，還能用于傅里葉分析方法不適用的許多問(wèn)題。拉普拉斯分析是傅里葉分析的推廣，傅里葉分析是拉普拉斯分析的特例。第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一.雙邊拉氏變換的定義：其中若，則有:

這就是的傅里葉變換。連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在(s平面的軸)上的特例。FT:實(shí)頻率，是振蕩頻率LT:復(fù)頻率，是振蕩頻率，控制衰減速度9.1拉普拉斯變換

s平面第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拉氏變換是對(duì)傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使本來(lái)不滿足狄里赫利條件的信號(hào)在引入后滿足該條件。即有些信號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。不滿足狄里赫利條件的信號(hào)u(t)增長(zhǎng)信號(hào)乘一衰減因子后收斂第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.當(dāng)時(shí)，的傅里葉變換存在:在時(shí)，積分收斂：拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)椋溯S。比較和,有:當(dāng)時(shí)，收斂域不包含

軸，所以不能得出u(t)的傅里葉變換為第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。在時(shí)，積分收斂：第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾點(diǎn)結(jié)論：1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問(wèn)題。并非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是s平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)s的集合，稱為拉氏變換的收斂域(ROC)。收斂域?qū)献儞Q是非常重要的概念。3.不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。4.如果一個(gè)信號(hào)的拉氏變換的ROC包含軸，則信號(hào)的傅里葉變換也存在，并且：第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖：例3.第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見(jiàn)：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根(極點(diǎn))相對(duì)應(yīng)。極點(diǎn)零點(diǎn)第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)。將的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)，最多與真實(shí)的相差一個(gè)常數(shù)因子。因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。若是有理函數(shù)第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.2拉氏變換的收斂域2.在ROC內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)。1.ROC是s平面上平行于軸的帶形區(qū)域。4.右邊信號(hào)的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于軸的直線的右邊。5.左邊信號(hào)的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于軸的直線的左邊。3.時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)s平面。6.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是s平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號(hào),,在ROC內(nèi)，則有絕對(duì)可積，即：性質(zhì)4的證明：第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.考查零點(diǎn)，令有極點(diǎn)顯然在也有一階零點(diǎn)，由于零極點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無(wú)極點(diǎn)。得（k為整數(shù)）第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，上述ROC有公共部分，當(dāng)時(shí)，上述ROC無(wú)公共部分，表明不存在。例2.第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：3.雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶形區(qū)域。2.左邊信號(hào)的ROC一定位于

最左邊極點(diǎn)的左邊。1.右邊信號(hào)的ROC一定位于

最右邊極點(diǎn)的右邊。第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.可以形成三種ROC：

ROC：

ROC：

ROC：此時(shí)是右邊信號(hào)。此時(shí)是左邊信號(hào)。此時(shí)是雙邊信號(hào)。第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)有理函數(shù)形式的求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開(kāi)法和留數(shù)法。

1.將展開(kāi)為部分分式。部分分式展開(kāi)法：3.利用常用信號(hào)的變換對(duì)與拉氏變換的性質(zhì),對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。2.根據(jù)的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC

。9.3

拉普拉斯反變換的求法第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極點(diǎn)：確定其可能的收斂域及所對(duì)應(yīng)信號(hào)的屬性。例1.右邊信號(hào)左邊信號(hào)雙邊信號(hào)第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.思考題：對(duì)于本例中的X(s),若收斂域分別為：(a)Re[s]>-1;(b)Re[s]<-2,求這兩種情況下的x(t)？12ROC1、ROC2必須各自包含ROC第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可以用零極點(diǎn)圖表示的特征。當(dāng)ROC包括軸時(shí)，以代入，就可以得到。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。9.4由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.單零點(diǎn)情況：

矢量稱為零點(diǎn)矢量，它的長(zhǎng)度表示,其幅角即為。0

零點(diǎn),要求出時(shí)的，可以作兩個(gè)矢量和，則。第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極點(diǎn)

直接由極點(diǎn)向點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長(zhǎng)度的倒量為,幅角的負(fù)值為。2.單極點(diǎn)情況：0第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)s平面任意一點(diǎn)s1有:3.一般情況：即：從所有零點(diǎn)向點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極點(diǎn)向點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積即為。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為。當(dāng)取為軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾樵谳S上移動(dòng)時(shí)所有零、極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和幅角的變化，即可得出的幅頻特性和相頻特性。第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.

畫出信號(hào)的幅頻特性和相頻特性包含軸幅頻特性：是的偶函數(shù)，時(shí)，取最大值1，隨著，單調(diào)下降，時(shí)，下降到最大值的相頻特性：是的奇函數(shù)，時(shí)，隨著，趨于，，趨于第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則ROC至少是9.5拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1.線性：若第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而ROC擴(kuò)大為整個(gè)S平面。當(dāng)與無(wú)交集時(shí)，表明不存在。例.（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象）第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.時(shí)移性質(zhì):若ROC不變則3.S域平移:若則表明的ROC是將的ROC平移了一個(gè)。這里是指ROC的邊界平移。第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例.顯然第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

4.時(shí)域尺度變換:若則當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)收斂第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可見(jiàn)：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例例.求的拉氏變換及ROC第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果是實(shí)信號(hào)，且在有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則一定在也有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。這表明：實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)。當(dāng)為實(shí)信號(hào)時(shí)，有：由此可得以下重要結(jié)論：或5.共軛對(duì)稱性（Conjugation）：若則第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

6.卷積性質(zhì):（ConvolutionProperty）包括若則顯然有:例.ROC擴(kuò)大原因是與相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.時(shí)域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）ROC包括,有可能擴(kuò)大。若則

8.時(shí)域積分:（IntegrationintheTimeDomain）若包括則包括證明：第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9.6常用拉氏變換對(duì)

第34頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號(hào)的雙邊拉氏變換。一.定義:

如果是因果信號(hào)，對(duì)其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。9.9單邊拉普拉斯變換（一般了解即可）單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號(hào)雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。

正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉氏變換時(shí)，一般不再?gòu)?qiáng)調(diào)其ROC。第35頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月做單邊拉氏變換：例1.做雙邊拉氏變換：

與不同，是因?yàn)樵诘牟糠謱?duì)有作用，而對(duì)沒(méi)有任何作用所致。第36頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月做單邊拉氏變換：做雙邊拉氏變