數(shù)學(xué)美的客觀因素對安島直圓術(shù)的影響

數(shù)學(xué)美的客觀因素對安島直圓術(shù)的影響

在計算中，累圓法最初是在宋永良碧（1744）生活的時代開始的。累圓術(shù)是指直線與圓之間,或圓與圓之間,逐次的內(nèi)接或外切的問題。到了關(guān)流四傳安島直圓(AjimaNaonobu,1732～1798)初次系統(tǒng)的給出了各種“累圓”情況的方程式,可以說安氏是和算累圓術(shù)研究集大成者,他的代表著作有《廉術(shù)變換》(天明4年1784)、《圓內(nèi)容累圓術(shù)》(天明4年1784)、《線上累圓術(shù)》(寬政2年1790)、《圓內(nèi)容累圓術(shù)后編》(寬政3年1791)、《累圓術(shù)起源》(成書時間不詳)等。安島直圓通稱萬藏,字伯規(guī),號南山。安島初學(xué)于中西流算學(xué),后學(xué)于關(guān)流三傳山路主住(YamajiNushisumi,1704～1773),受關(guān)流“皆傳”。本文通過對安氏“累圓術(shù)”方面工作的闡述,主要從數(shù)學(xué)美的視角,探討數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造過程中對稱性、和諧性、簡單性等美的客觀因素對其研究的影響。1安氏的對稱思想—累圓術(shù)的研究首先《廉術(shù)變換》。如圖所示1,安氏構(gòu)造了內(nèi)、外兩圓,且以軸線對稱,主要討論與外、內(nèi)圓相切,相鄰圓又互相相切,且已知外圓、內(nèi)圓、某個圓的直徑,以及矢(外圓和內(nèi)圓的最大距離)的長度,遞次求累圓的直徑的方法。由原文可知:已知外圓O的直徑為d,內(nèi)圓O′的直徑為d′,矢AB為c,地圓O2的直徑為d2,求天圓O1的直徑d1與人圓O3的直徑d3?？赏频梅匠?其中A=dd′+c(d-d′)-c2=(d-c)(d′+c),B=dd′+c2若設(shè)d1為x,(1)式變?yōu)?實際d1,d3是上述方程的兩個根,此表達式與安島所構(gòu)造直觀圖形相呼應(yīng),關(guān)于根具有對稱性,這成為后面推導(dǎo)過程的核心與出發(fā)點。通過以上的準備,可解決下面的問題。如圖2所示,內(nèi)、外圓之間容有甲、乙、丙、丁、……,黑圓與乙是反對側(cè)圓。已知外圓徑d,內(nèi)圓徑d′,矢c,甲圓徑D1,求乙圓徑D2,丙圓徑D3,……這樣利用(1式)逐次求出圓徑。安氏經(jīng)過討論得到下面結(jié)論:原文稱其為“基式”。通過把(1)式中的d1、d2換成D1、D2,就可求得D2。下面求丙圓直徑D3,在“基式”中,把d3=D1,d2=D2,x=D3進行交換,即:-D1+D3{-1+2D1(d-d′)A+4dd′D1AD2-2D1D2}=0。其中丙的因數(shù)名為“丙率”:丙率=-1+2D1(d-d′)A+4dd′D1AD2-2D1D2此式叫做“第二基式”。即求出丙圓直徑:D1丙率=D3。其中,令甲率=1,乙率=D1D2,則有4dd′A-1=因法,2D(d-d′)A=增率即:丙率=乙率×因法+增率-甲率若內(nèi)圓徑大于外圓徑,增率變?yōu)樨?則稱為損率。由甲乙丙與乙丙丁的循環(huán)對稱性,利用“第二基式”可得出:-D2+D4{-1+2D2(d-d′)A+4dd′D2AD3-2D2D3}=0此式稱為“第三基式”。將此式乘以乙率,得-D1+D4{-乙率+增率+丙率×因法}=0其中:丁率=丙率×因法+增率-乙率即求出丁圓直徑D1丁率=D4。這樣繼續(xù)下去,可求出D5,D6,……。此推導(dǎo)過程不僅顯示了安氏的推理能力、計算水平,更主要的是體現(xiàn)了他對對稱美的直覺把握,使得在代數(shù)運算與邏輯推理中表現(xiàn)出自然與和諧,為計算與推理帶來了便捷。進而他對對稱性進行了更深入的討論,主要分為以下四種情況:(1)甲圓的直徑等于矢:D1=c(如圖3a);(2)甲圓與矢相切。(如圖3b);(3)內(nèi)圓比外圓大。(如圖3c);其中當內(nèi)圓徑d′→∞時,內(nèi)圓周成為直線。這就成為弓形內(nèi)容累圓(如圖3d)。(4)內(nèi)圓與大圓相切:c=d-d′(如圖3e)。在這一情況下,若外圓徑無限增大(d→∞),則外圓變?yōu)橹本€,內(nèi)圓,甲圓,乙圓,……成為與直線相切的累圓,即線上累圓問題(圖3f)。在(3)與(4)情形中安氏提出內(nèi)與外、有限與無限的對稱關(guān)系,若外圓徑無限增大(d→∞),則外圓變?yōu)橹本€;當內(nèi)圓徑d′→∞時,內(nèi)圓周成為直線。其中結(jié)合了無窮思想,展現(xiàn)了安氏的高超的想象力與創(chuàng)造力。其次《圓內(nèi)容累圓術(shù)》?！读g(shù)變換》是討論累圓術(shù)一般的場合以及特殊情況的變換,《圓內(nèi)容累圓術(shù)》仍是特殊情況的討論,即以對稱思想為核心,詳細的論述了甲圓的直徑是矢和甲圓與矢相切的兩種情況。第一甲圓的直徑是矢,如圖4所示。外圓直徑為d,內(nèi)圓直徑為d,矢為c,且甲徑=c,則把前面給出公式A=(d-c)(d′+c)可寫成A=(d-D1)(d′+D1)其中D1=甲徑。由增率μ=2D1(d-d′)A,因法=4dd′A-1,設(shè)4dd′A=k,則因法=k-2。又由“廉術(shù)變換”中對稱形式的第一情況,乙率λ2=12(因法+增率)故丙率:λ3=乙率×因法+增率-甲率=k(λ2-1)+1。若設(shè)λ2-1=乙率-1=h可得,丙率λ3=hk+1丁率λ4=hk2-2hk+λ2戊率λ5=hk3-4hk+4hk+1……以上屬于相對一般的場合,下面是特殊情況的討論。從甲圓為起點的累圓,一直到3,4,5,……,m個圓。(1)三圓場合(如圖5所示),因丙圓和乙圓相等,所以丙率λ3=乙率λ2。故:λ2=hk+1,即hk=λ2-1=h,得到k-1=0。(2)四圓場合(如圖6所示),因丁圓和乙圓相等,所以丁率λ4=乙率λ2。故hk2-2hk+λ2=λ2,得到k-2=0。(3)五圓場合(如圖7所示),因戊圓和乙圓相等,丙圓和丁圓相等,則丁率λ4=丙率λ3,即hk2-2hk+λ2=hk+1,故k2-3k+1=0。(4)六圓場合,k2-4k+3=0。(5)七圓場合,k3-5k2+6k-1=0。(6)八圓場合,k3-6k2+10k-4=0。按同樣的對稱思想,作到16個圓場合的方程式,其中找到系數(shù)存在一定的排列規(guī)律。這樣,已知甲徑D1通過式4dd′:(d-D1)(d′-D1)=k求出k。第二甲圓與矢相切,如圖3b所示。令4dd′:A=k,因法+增率=l,且乙率λ2=h-1,故l-2=江h(huán)。由此:丙率λ3=hk-h+1丁率λ4=hk2-3hk+2h+1戊率λ5=hk3-5hk2+7hk-3h+λ2……依此得到三圓、四圓、五圓、……的場合。(1)三圓場合λ3=λ1=1,k=1。(2)四圓場合λ3=λ2,k=2。(3)五圓場合λ4=λ2,k2-3k+1=0。這樣也可找到系數(shù)排列的規(guī)律,從中看到了許多有趣的事情,比如和算家稱作衰垛的級數(shù)。而在表達式的系數(shù)排列中所具有的規(guī)律與和諧正是由對稱思想的內(nèi)涵所引出的。之后,安氏在《圓內(nèi)容累圓術(shù)后編》中討論環(huán)圓問題,此問題的代數(shù)推理起點為“廉術(shù)變換”中的公式(1),從中找到一些規(guī)律性的結(jié)論。還有《線上累圓術(shù)》。線上累圓問題是由《廉術(shù)變換》中的外圓周無限延伸成一直線而演變來的,屬于累圓術(shù)中的特殊情況。原文從下面的問題開始,如圖11所示,高是指上圓最高點到基線的距離。由廉術(shù)變換可知,基線是外圓的圓周,上圓即內(nèi)圓,高和上圓徑的差就是矢。設(shè)高為h,上圓徑d′,當d→∞時,因法=4dd′(d-c)(d′+c)→4d′(d′+c)=4d′h增率=2d1(d-d′)(d-c)(d′+c)→2d1h求得到以下結(jié)果,設(shè)因法=4d′h-2,甲率=hd′則有:乙率=hd′=√4d′(d+d1-h)+2d′d1+1-甲率丙率=乙率×因法+2-甲率丁率=丙率×因法+2-乙率……d1=h甲率,d2=h乙率,d3=h丙率???安氏作為特別場合,給出以下變化圖形。大圓、小圓、中圓如圖12a所示,小圓為上圓,大、中圓為甲、乙圓。如圖12b所示,小圓為上圓,中、大圓為丙、丁圓。如圖12c,小圓為上圓,中、大圓為丁、戊圓。如圖12d,小圓為上圓,中、大圓為戊、己圓。這里給出了上與下,有與無,內(nèi)與外,大與小等多種對稱的組合。安氏進而引出“累圓術(shù)”在方法上的起源與核心,即“四圓傍斜術(shù)”,此研究體現(xiàn)在《累圓術(shù)起源》中。最后《累圓術(shù)起源》。安氏在此書中利用了傍斜術(shù)。所謂傍斜,是指利用兩個圓的切線研究幾何圖形,主要包括三圓傍斜術(shù)、四圓傍斜術(shù)等公式。安氏始創(chuàng)的優(yōu)秀方法,被后人稱為“傍斜術(shù)”,和算中特有的方法。如圖13所示,安氏給出傍斜公式。設(shè)元、亨、利、貞圓的直徑為d1,d2,d3,d4,傍斜冪為x,推得由此求得傍斜。安氏利用這個結(jié)果解出下面5種問題。(1)大徑云,中徑云,小徑云,問各徑。(2)大徑云,小徑云,甲徑云,問累円徑。(3)今有如圖14所示,大小円相交,罅容累円若干個,假畫六円,只云,大円矩若干,問累円徑幾何。(4)大徑云,小徑云,問累円徑。(5)如圖15所示,問累円。2以對稱、描述自然、思想為中心的研究通過前面對安氏在累圓術(shù)中對稱思想的研究與探討,反映出和算的風格,同時注意到對稱思想在安氏創(chuàng)造過程中所起的關(guān)鍵作用。對稱的即意味著是非常勻稱協(xié)調(diào)的;而對稱性則表示結(jié)合成整體的好幾個部分之間所具有的那種和諧性。安氏在累圓術(shù)的創(chuàng)造過程中,構(gòu)造出許多漂亮的圖形,這些圖形雖然實用價值不大,但它體現(xiàn)的是安氏的一種創(chuàng)造追求,即對數(shù)學(xué)美的追求,這也是安氏對累圓術(shù)進行研究的主要動因。從上面的討論可知,安氏對對稱美的認識主要表現(xiàn)為以下兩個方面。第一、以對稱性為創(chuàng)造的指導(dǎo)思想。從直觀的幾何圖形的構(gòu)造開始,安氏所認為的對稱是一種勻稱與協(xié)調(diào),而對稱性則表示結(jié)合成整體的左與右、上與下、內(nèi)與外等幾個部分之間所具有的某種和諧性。在此思想指導(dǎo)下,圓與圓之間的對稱表現(xiàn)在代數(shù)表達式上,是一種和諧與規(guī)律,比如《廉術(shù)變換》中對第一、二、三基式的推導(dǎo),“傍斜術(shù)”中給出的傍斜公式的核心地位等,都是這一方面的體現(xiàn)。第二、以結(jié)論或結(jié)果的統(tǒng)一性為完美結(jié)局。從部分與部分、部分與整體之間的和諧一致的角度看,統(tǒng)一性與對稱性是相同的。從安氏的研究可知,他認識到了數(shù)和形是有機相聯(lián)的整體,而不能割裂。在《廉術(shù)變換》中通過構(gòu)造出的對稱圖形而建立起的代數(shù)式1,作為數(shù)量推理模式的核心,即與對稱圖形作為圖形上的中心相對應(yīng),圖有圖的中心,量有量的核心,兩者之間又是相互關(guān)聯(lián),互為表里。安氏利用兩個圓的共同切線來研究幾何圖形的方法,即傍斜術(shù)。此方法具有更加廣泛的應(yīng)用,日本數(shù)學(xué)家曾給予此種方法很高的評價,稱其可