安徽省亳州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年安徽省亳州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一.選擇題(每題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一下,是符合題目要求的。）1．在等比數(shù)列｛an}中，已知a7?a19=8，則a3?a23=（）A．6 B．7 C．8 D．92．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，已知a=4,B=60°，C=75°，則b=（）A．2 B．2 C．2 D．3．設(shè)非零實數(shù)a、b，則“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若變量x,y滿足約束條件,且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則2m﹣n的值為（）A． B．6 C． D．95．設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則點A1到平面B1AC的距離是（）A． B． C． D．6．對于任意實數(shù)a、b、c、d,下列命題：①若a＞b,c≠0,則ac＞bc；②若a＞b，則ac2＞bc2;③若ac2＞bc2，則a＞b;④若a＞b，則＜中．真命題個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(）A．(﹣∞，2） B．（﹣∞，2）∪（2，+∞) C．(2，+∞） D．(0，2）8．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）A． B． C． D．9．已知｛an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an｝的前n項和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是(）A．21 B．20 C．19 D．1810．已知拋物線：y2=4x，直線l：x﹣y+4=0，拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為(）A． B．+1 C．﹣2 D．﹣111．已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量=（a，b),=（sinB，sinA），若,且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC，則△ABC的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形，12．已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點，F(xiàn)2為雙曲線=1(a＞0，b＞0）的右焦點，過雙曲線左頂點A，做兩漸近線的平行線分別與y軸交于C、D兩點,B為雙曲線的右頂點，若以O(shè)為圓心,|OF2｜為直徑的圓是四邊形ACBD的內(nèi)切圓,則裝曲線的離心率為，（）A．2 B． C． D．二。填空題（每題5分，共20分）13．命題“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0的解集為．15．空間四邊形ABCD的各棱長和對角線均為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則異面直線AE，CF所成角的余弦值為．16．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S2=﹣1，S5=5，數(shù)列{bn｝前n項和為Tn,并且滿足：bn=（an+2）cos，則T2016=．三、解答題（共6小題，滿分70分,解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0,其中a＞0,命題q：實數(shù)x滿足＜0．（1）若a=1且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍；（2）若?q是?p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．18．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinB(tanA+tanC）=tanAtanC．(1）求證：b2=ac；(2)若a=2c=2，求△ABC的面積．19．在數(shù)列｛an}中,a1=1,且3an+1=1﹣an（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列（Ⅱ）記bn=（﹣1）n+1n(an﹣），求數(shù)列｛bn}前n項和Sn．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分別是的AB,BB1的中點．(Ⅰ)證明:BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．21．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程;(2）設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大?。?其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時,炮彈可以擊中它？請說明理由．22．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C:=1（a＞b＞0）,的左右焦點，離心率為，M為橢圓上的動點，｜MF1｜的最大值為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P,求證：｜PF1｜+|PF2｜是定值．

2016-2017學(xué)年安徽省亳州市高二(上）期末數(shù)學(xué)試卷(理科）參考答案與試題解析一。選擇題（每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一下，是符合題目要求的.）1．在等比數(shù)列｛an}中,已知a7?a19=8，則a3?a23=(）A．6 B．7 C．8 D．9【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求解．【解答】解：∵在等比數(shù)列｛an｝中,a7?a19=8，∴a3?a23=a7?a19=8．故選：C．2．在△ABC中，a，b,c分別是內(nèi)角A,B，C所對的邊，已知a=4，B=60°,C=75°，則b=（）A．2 B．2 C．2 D．【考點】余弦定理．【分析】方法一，根據(jù)直角三角形的有關(guān)知識即可求出，方法二，根據(jù)正弦定理即可求出．【解答】解：法一：過點C作CD⊥AB，∵B=60°，C=75°，∴A=45°,∴AD=CD，∵BC=a=4,B=60°,∴CD=asin60°=2，∴b=AC==2，法二：∵B=60°，C=75°,∴A=45°，由正弦定理可得=，∴b===2,故選：B3．設(shè)非零實數(shù)a、b，則“a2+b2≥2ab"是“+≥2”成立的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用基本不等式的解法，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由a2+b2≥2ab，則a，b∈R，當(dāng)ab＜0時，+＜0，則+≥2不成立,即充分性不成立，若+≥2，則＞0,即ab＞0，則不等式等價為a2+b2＞2ab，則a2+b2≥2ab成立，即必要性成立，故“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的必要不充分條件，故選：B4．若變量x，y滿足約束條件,且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則2m﹣n的值為(）A． B．6 C． D．9【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組滿足約束條件的平面區(qū)域如圖由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，則當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，經(jīng)過A時，取得最小值,由,可得A(﹣1,﹣1）時,此時直線的截距最小，此時n=﹣3，由，可得B（2，﹣1）此時m=3，2m﹣n=9．故選:D．5．設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則點A1到平面B1AC的距離是（）A． B． C． D．【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點A1到平面B1AC的距離．【解答】解：以D為原點,DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,A1（2,0，2）,B1（2,2，2）,A(2,0，0），C（0，2，0），=(0，2，2），=（﹣2，2,0），=(0,0，2），設(shè)平面B1AC的法向量=（x，y，z）,則，取x=1，得=（1，1，﹣1），∴點A1到平面B1AC的距離：d===．∴點A1到平面B1AC的距離是．故選：D．6．對于任意實數(shù)a、b、c、d，下列命題：①若a＞b，c≠0，則ac＞bc;②若a＞b，則ac2＞bc2；③若ac2＞bc2，則a＞b；④若a＞b，則＜中．真命題個數(shù)為（)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】不等式的基本性質(zhì)．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì),逐一分析四個結(jié)論的真假，最后綜合討論結(jié)果可得答案．【解答】解：當(dāng)c＜0時，若a＞b，則ac＜bc,故①錯誤；當(dāng)c=0時，若a＞b,則ac2=bc2，故②錯誤；若ac2＞bc2，則c2＞0，則a＞b，故③正確;若a＞0＞b，則＞，故④錯誤；故真命題個數(shù)為1個，故選：A7．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2對一切x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(）A．（﹣∞，2） B．(﹣∞,2）∪（2，+∞） C．(2，+∞） D．（0，2）【考點】一元二次不等式的解法．【分析】把已知的不等式變形為二次不等式的一般形式，然后討論二次項系數(shù),當(dāng)二次項系數(shù)不等于0時，需開口向上且判別式小于0．【解答】解：由ax2+4x+a＞1﹣2x2，得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，ax2+4x+a＞1﹣2x2對一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0,對一切實數(shù)恒成立,當(dāng)a=﹣2時不合題意，所以a≠﹣2,則，解得：a＞2．所以實數(shù)a的取值范圍是(2，+∞）．故選C．8．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）A． B． C． D．【考點】基本不等式;等比數(shù)列的通項公式．【分析】由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵,∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24,∴m+n=6，∴，當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立．故的最小值等于，故選A．9．已知｛an｝為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示｛an}的前n項和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A．21 B．20 C．19 D．18【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】寫出前n項和的函數(shù)解析式，再求此式的最值是最直觀的思路，但注意n取正整數(shù)這一條件．【解答】解：設(shè){an｝的公差為d,由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33,②由①②聯(lián)立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20)2+400，故當(dāng)n=20時，Sn達(dá)到最大值400．故選：B．10．已知拋物線:y2=4x,直線l：x﹣y+4=0，拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為（)A． B．+1 C．﹣2 D．﹣1【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】連接PF，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B，PB的延長線交準(zhǔn)線x=﹣1于點C．由拋物線的定義，得到d1+d2=(PA+PF)﹣1，再由平面幾何知識可得當(dāng)P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值，因此算出F到直線l的距離，即可得到d1+d2的最小值．【解答】解：如圖，過點P作PA⊥l于點A，作PB⊥y軸于點B,PB的延長線交準(zhǔn)線x=﹣1于點C連接PF，根據(jù)拋物線的定義得PA+PC=PA+PF∵P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2，∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)P、A、F三點共線時，PA+PF有最小值∵F（1，0）到直線l：x﹣y+4=0的距離為=，∴PA+PF的最小值是,由此可得d1+d2的最小值為﹣1．故選D．11．已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量=(a，b），=（sinB，sinA）,若，且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC，則△ABC的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形，【考點】余弦定理．【分析】，可得bsinB=asinA，可得b2=a2,即b=a．又滿足(2a﹣c)cosB=bcosC，可得2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,可得cosB=，解得B即可得出．【解答】解：∵，∴bsinB=asinA，∴b2=a2，即b=a．又滿足（2a﹣c)cosB=bcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∴cosB=，解得B=,則△ABC的形狀是正三角形．故選：C．12．已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點，F(xiàn)2為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過雙曲線左頂點A,做兩漸近線的平行線分別與y軸交于C、D兩點，B為雙曲線的右頂點,若以O(shè)為圓心,｜OF2｜為直徑的圓是四邊形ACBD的內(nèi)切圓，則裝曲線的離心率為，（)A．2 B． C． D．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可推斷出直線AD的方程,進(jìn)而利用直線AD與四邊形ACBD的內(nèi)切圓相切,結(jié)合點到直線的距離公式得到a，b關(guān)系,最后求得a和c的關(guān)系式，即雙曲線的離心率．【解答】解：由題意得：A（﹣a,0)，漸近線方程為y=±x，直線AD的方程為:y=（x+a），即：bx﹣ay+ab=0，因為直線AD與四邊形ACBD的內(nèi)切圓相切，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,故r=d，即=?a=b，∴雙曲線的離心率為e===．故選：B．二。填空題（每題5分，共20分）13．命題“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是存在x∈R，x2+x+1＜0．【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題否定的方法,結(jié)合已知中原命題，可得答案．【解答】解：命題“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R，x2+x+1＜0”故答案為：存在x∈R,x2+x+1＜014．不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0的解集為{x｜﹣1＜x＜3且x≠2｝．【考點】其他不等式的解法．【分析】利用因式分解將原不等式化簡，等價轉(zhuǎn)化后由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解:不等式（x2﹣2x﹣3）（x2﹣4x+4)＜0化為:（x+1）（x﹣3）（x﹣2）2＜0，等價于，解得﹣1＜x＜3且x≠2,所以不等式的解集是｛x|﹣1＜x＜3且x≠2｝，故答案為：{x|﹣1＜x＜3且x≠2｝．15．空間四邊形ABCD的各棱長和對角線均為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則異面直線AE,CF所成角的余弦值為．【考點】異面直線及其所成的角．【分析】可考慮用空間向量求異面直線AE與CF所成角的余弦值，可設(shè)正四面體的棱長為1，cos＜,＞==﹣，這樣便可得到異面直線AE與CF所成角的余弦值．【解答】解：=（+）,=﹣．設(shè)正四面體的棱長為1,則||=｜|=，=?+?﹣﹣=﹣，∴cos＜，＞==﹣，∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為．故答案為：16．已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足S2=﹣1,S5=5，數(shù)列｛bn｝前n項和為Tn，并且滿足:bn=（an+2）cos,則T2016=1008．【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列｛an｝的前n項和公式列出方程組，求出首英和公差，從而求出an=n﹣2，進(jìn)而得bn=ncos+（），由此求出數(shù)列{bn}前n項和,進(jìn)而能求出T2016的值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an｝的前n項和Sn滿足S2=﹣1，S5=5，∴,解得a1=﹣1，d=1，∴an=﹣1+（n﹣1)=n﹣2，∴bn=（an+2)cos=ncos+（)，∴數(shù)列｛bn｝前n項和：Tn=（﹣2+4﹣6+8﹣10+…﹣2014+2016）+（）=504×2+（﹣1﹣）=1008﹣,∴T2016=1008．故答案為：1008．三、解答題（共6小題，滿分70分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0,命題q：實數(shù)x滿足＜0．（1）若a=1且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；（2)若?q是?p的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍．【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假．【分析】（1）分別求出關(guān)于p，q的不等式,根據(jù)p真且q真取交集即可；（2）由p是q的充分不必要條件，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1)由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）(x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a,當(dāng)a=1時,1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．由實數(shù)x滿足得﹣2＜x＜3，即q為真時實數(shù)x的取值范圍是﹣2＜x＜3．若p∧q為真,則p真且q真，所以實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣（2）?q是?p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1,所以實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinB(tanA+tanC）=tanAtanC．(1）求證:b2=ac；（2)若a=2c=2,求△ABC的面積．【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換化簡sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b2=ac;（2）根據(jù)題意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinB，計算△ABC的面積即可．【解答】解：（1）證明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC,所以sinB(+）=?，因此sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC;又A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB,因此sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac；﹣﹣﹣﹣﹣（2）因為a=2c=2,所以a=2,c=1，又b2=ac，所以b=；由余弦定理得cosB==，又因為0＜B＜π,所以sinB=；所以△ABC的面積為S=acsinB=．﹣﹣﹣﹣﹣19．在數(shù)列｛an｝中，a1=1，且3an+1=1﹣an（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列(Ⅱ）記bn=(﹣1)n+1n(an﹣),求數(shù)列｛bn}前n項和Sn．【考點】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定．【分析】(I）3an+1=1﹣an，可得an+1﹣=﹣，=,即可證明．（II）由（I）可得:an=，可得bn=（﹣1）n+1n（an﹣）=，利用“錯位相減法"與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】(I）證明：∵3an+1=1﹣an，∴an+1﹣=﹣,=，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比為，首項為．（II）由（I）可得：an=，∴bn=（﹣1)n+1n(an﹣）=，∴數(shù)列｛bn}前n項和Sn=+…+，=+…+,∴=+…+=，∴Sn=．20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AB=2，D、E分別是的AB，BB1的中點．（Ⅰ）證明:BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】(Ⅰ）連結(jié)AC1與A1C相交于點F，連結(jié)DF，則BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD．（2）以C為坐標(biāo)原點，以直線CA，CB，CC1分別為x,y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角的正弦值．【解答】證明：(Ⅰ）連結(jié)AC1與A1C相交于點F，連結(jié)DF，∴F為AC1的中點,∵D為AB的中點，∴BC1∥DF，…2分∵BC1?平面A1CD,DF?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．…4分解：（2）以C為坐標(biāo)原點，以直線CA，CB,CC1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz…5分則C（0,0，0)，D（1，1,0）,A1（2，0,2），E（0，2，1)∴=（2，0,2），=（1，1，0)，=（0，2，1)，…7分設(shè)平面DA1C的法向量為=(x，y，z），則,令x=1，則=（1,﹣1,﹣1)…10分同理可求平面A1CE的一個法向量=（2，1，﹣2），設(shè)二面角D﹣A1C﹣E的平面角為θ，則cosθ==…11分sinθ==,故二面角D﹣A1C﹣E的正弦值是．…12分．21．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上，y軸垂直于地平面,單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣(1+k2)x2（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2