空間中線線角、線面角、面面角成法原理與求法思路知識(shí)分享

空間中的夾角空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。1、異面直線所成的角（1）異面直線所成的角的范圍是（°,］。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)2直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上;證明作出的角即為所求的角；利用解三角形來(lái)求角。簡(jiǎn)稱為“作，證，求”2、線面夾角直線與平面所成的角的范圍是［—］。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。2具體步驟如下：（若線面平行，線在面內(nèi)，線面垂直，則不用此法，因?yàn)榻嵌炔挥脝?wèn)你也知道）找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。也是簡(jiǎn)稱為"作，證，求”注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若B為線面角， 為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有 ；（這個(gè)證明，需要用到正弦函數(shù)的單調(diào)性，請(qǐng)?zhí)^(guò)。在右圖的解釋為BADCAD)2.1確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；已知：如圖， BAC在一個(gè)平面 內(nèi),PNAC,PMAB,且PN二PM(就是點(diǎn)P到角兩邊的距離相等）過(guò)P作P°（說(shuō)明點(diǎn)0為P點(diǎn)在面內(nèi)的射影）求證.°AN二OAM（°AN=OAM，所以a°為BAC的角平分線，所以點(diǎn)°會(huì)在 BAC的角平分線上）證明：QPA =PA,PN=PMPNA=PMA=90PNAPMA（斜邊直角邊定理）AN=AMP°N°M°（斜線長(zhǎng)相等推射影長(zhǎng)相等）PN=PMAN=AMAO二AOOM=ON（這步是關(guān)鍵，為我們自已所作的輔助線點(diǎn)，線）AO二AOOM=ON（這步是關(guān)鍵，為我們自已所作的輔助線點(diǎn)，線）PONOMO（斜線長(zhǎng)相等推射影長(zhǎng)相等）AMOANONAO二MAO所以，點(diǎn)p在面的射影為BAC的角平分線上。如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；已知：如圖， BAC在一個(gè)平面內(nèi)PAN=PAM（斜線ap與BAC的兩邊AB,AC所成角相等）PO求證：OAM=OAN（說(shuō)明點(diǎn)O在角MAC勺角平分線上。）證明：在AB上取點(diǎn)M在AC上取點(diǎn)N,使AN=AMAO=AOOM=ONAO=AOOM=ONPN=AM=ANA吐APVPANVPAMPN=PMPAN=PAMAN=AMAMOANONAO二MAO,所以，點(diǎn)p在面的射影為BAC的角平分線上。兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；（這是兩面垂直的性質(zhì)）利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；點(diǎn)）已知：如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC,P0面ABC求證：0點(diǎn)為ABC的外心（即證OA=OB=OC）（注：外心為三角形的外接圓的圓心，也是三邊中垂線的交b.b.角相等，如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角3、二面角3、二面角形的內(nèi)心（或旁心）；已知：如圖，PFAB,PDBC,PEACPF=PD=PEPO面ABC求證：0為ABC的內(nèi)心（注：內(nèi)心為三角形的內(nèi)切圓的圓心，也為三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)）證明：連結(jié)BO,CO易證DBOFBO DBO=FBO所以BO為角DBF的角平分線，即點(diǎn)O在角DBF的角平分線上。同理可證點(diǎn)O為角DCE的角平分線，所以O(shè)為兩內(nèi)角平分線交點(diǎn)，從而為內(nèi)心。c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；AEBC,CDAB已知?如圖PABC，PBCAPO面ABC求證：（1）PCAD（就是三棱錐中有兩組對(duì)棱垂直，則可以推出第三組對(duì)夫棱垂直） （所以，條件中各組對(duì)棱垂直，實(shí)際是有多了一組）（2）點(diǎn)O為三角形ABC的垂心（注：垂心為三角形的三高交點(diǎn)， O為垂心，相當(dāng)于證明AEBC,CDAB,兩高交點(diǎn)即可）（°」，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作（4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指?面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線， 這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線， 再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；邊是最常用的方法空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。備注：還有一個(gè)投影法求二面角，高考不作要求， 所以此處略去。配套練習(xí)：（練習(xí)難度不大，所以只給簡(jiǎn)答，見(jiàn)最后一頁(yè)）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10兩個(gè)對(duì)角面都是矩形的平行六面體是A、正方體B、A、正方體B、正四棱柱 C、長(zhǎng)方體D、直平行六面體正三棱柱ABC-AjBjCi中，異面直線AC與BiCi所成的角是A、A、300 B、600C、900 D、i200已知一個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)是2.3，最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為已知一個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)是2.3，最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為8，那么這個(gè)正六棱柱的高是43正四棱錐相鄰的側(cè)面所成二面角的平面角是A、銳角 B、鈍角 C、直角D、以上均有可能一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比是i：2，則此棱錐的咼（自上而下）被分成兩段長(zhǎng)度之比為i：2 i：4C、i:(、2i)D、i:(■2i)在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，可以是直角三角形的個(gè)數(shù)最多是三棱錐P-ABC中，若PA=PB=PC，則頂點(diǎn)P在底面三角形的射影是底面三角形的A、內(nèi)心 B、外心 C、重心 D、垂心四棱柱成為平行六面體的一個(gè)充分不必要條件是A、底面是矩形 B、底面是平行四邊形C、有一個(gè)側(cè)面為矩形 D、兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形已知AD是邊長(zhǎng)為2的正三角形 ABC的邊上的高，沿AD將aABC 折成直二面角后，點(diǎn)A到BC的距離為■i42、已知異面直線a、、已知異面直線a、b所成的角為500，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a、b所成角都是300的直線有且僅有11^二面角是直—面角，A,B ,A,B，設(shè)直線AB與，所成的角分別為2則A i90。2B、1290°C、 i2 90。D、i2900、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13、 長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=3,BC=1,CC產(chǎn),3，則平面AiBC與平面ABCD所成的角的度數(shù)是14、 正三棱錐V-ABC的各棱長(zhǎng)均為a，M,N分別是VC,AB的中點(diǎn)，貝UMN的長(zhǎng)為 15、有一個(gè)三角尺ABC,A300,C900,BC貼于桌面上，當(dāng)三角尺與桌面成 45°角時(shí)，AB邊與桌面所成角的正弦值是 .19、在三棱錐D-ABC中，DA丄平面ABC,ZACB=90°,ZABD=300,AC=BC,求異面直線AB與CD所成的角的余弦值。（注，題目未配圖，請(qǐng)自行畫圖）

的正弦值。分析：求二面角，主要思路就是作，證，求。作二面角的基本方法