2022-2023學年北京市朝陽區(qū)高一年級下冊學期期末質量檢測數學試題【含答案】

北京市朝陽區(qū)2022~2023學年度第二學期期末質量檢測高一數學2023.7（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.計算（）A. B. C. D.4【答案】C【分析】根據復數的乘方運算即可.【詳解】.故選：C.2.已知，，若，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由題意可得是線段的中點，根據中點坐標公式求解即可.【詳解】因為，所以是線段的中點，所以點的坐標為，即，故點的坐標為.故選:A.3.在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據異面直線所成角的性質，結合正方體線線關系即可求解.【詳解】如圖，連接在正方體中，因為所以四邊形為平行四邊形，所以又在正方形中，所以則異面直線與所成角的大小為.故選：B.4.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，則下列事件是對立事件的是（）A.“都是白球”與“至少有一個白球” B.“恰有一個白球”與“都是紅球”C.“都是白球”與“都是紅球” D.“至少有一個白球”與“都是紅球”【答案】D【分析】由題意可得總事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，根據互斥事件以及對立事件的定義再對應各個選項逐個分析即可求解．【詳解】從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，抽取小球的情況分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，選項A,“至少有一個白球”包括（紅，白），（白，白），故既不互斥也不對立，A錯誤，選項B：“恰有一個白球”表示的是（紅，白），與“都是紅球”互斥但不對立，故B錯誤，選項C：“都是白球”與“都是紅球”互斥但不對立，故C錯誤，選項D：“至少有一個白球”包括（紅，白），（白，白），與“都紅球”是對立事件，故D正確，故選：D．5.已知a，b是兩條不重合的直線，為一個平面，且a⊥，則“b⊥”是“a//b”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項.【詳解】當b⊥時，結合a⊥，可得a//b，充分性滿足；當a//b時，結合a⊥a，可得b⊥a，必要性滿足.故選：C.6.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6．乙的命中率為0.5，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】C【分析】甲乙相互獨立，而甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標即為事件：，由相互獨立事件的概率乘法公式可求．【詳解】設“甲命中目標”為事件，“乙命中目標”為事件

由題意可得，且甲乙相互獨立甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標即為事件：，故選：C7.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A B. C. D.【答案】B【分析】利用圖象求出函數的解析式，然后代值計算可得出的值.【詳解】由圖可知，函數的最小正周期為，因為，則，所以，，因為，可得，因為，則，故，因此，.故選：B.8.已知數據、、、、的平均數為，方差為，在這組數據中加入一個數后得到一組新數據，其平均數為，方差為，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用平均數公式可得出、的大小關系，由方差公式可得出、的大小關系.【詳解】由已知可得，，加入新數據后，，，所以ABC錯誤，D正確.故選：D.9.塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代的數學名著《九章算術·商功》．如圖1，把一塊長方體分成相同的兩塊，得到兩個直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．則圖2中的陽馬與圖1中的長方體的體積比是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】計算出長方體的體積，利用錐體的體積公式計算出陽馬的體積，即可求得陽馬與長方體的體積之比.【詳解】設陽馬的體積為，長方體的體積為，由圖2可知，陽馬是底面為矩形，高為的四棱錐，則，長方體的體積為，因此，.故選：B.10.設為平面四邊形所在平面內的一點，，，，．若且，則平面四邊形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形【答案】C【分析】由結合平面向量的減法推導出，利用平面向量的數量積運算推導出，即可得出結論.【詳解】因為，則，即，即，所以，平面四邊形為平行四邊形，因為，則，即，因為，所以，，即，即，即，即平行四邊形的兩條對角線長相等，故平面四邊形一定是矩形.故選：C.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.在平面直角坐標系中，為坐標原點，復數對應的點為，則________．【答案】【分析】根據復數幾何意義即可由模長求解.【詳解】由題意可知，故答案為：12.某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學生6000人．教育部門為了了解本地區(qū)中小學生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學生進行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了________人．【答案】30【分析】根據分層抽樣的抽樣比即可求解.【詳解】高中生中抽取了人，故答案為：3013.在中，，，，則________；________．【答案】①.②.【分析】利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；再利用誘導公式可得出的值.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，因為，則，故.故答案為：；.14.把函數圖象上的所有點向右平行移動個單位長度得到函數的圖象，則的一個對稱中心坐標為________．【答案】（答案不唯一）【分析】先利用平移變換得到的解析式，再根據正弦函數的性質求解即可.【詳解】由題意可得，令，，解得，，所以的對稱中心的橫坐標為，，所以的一個對稱中心坐標為，故答案為：（答案不唯一）15.如圖，在中，設，，的平分線和交于點，點在線段上，且滿足，設，則______；當______時，.【答案】①.②.##【分析】利用向量的加法法則得，從而求得，利用角平分線性質確定點D位置，然后利用平行線分線段成比例求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理可得，可得，因為為的角平分線，可知，所以，可得，所以，又，，所以，在中，，所以，所以，解得.故答案為：；.16.如圖1，四棱錐是一個水平放置裝有一定量水的密閉容器（容器材料厚度不計），底面為平行四邊形，現將容器以棱為軸向左側傾斜到圖2的位置，這時水面恰好經過，其中、分別為棱、的中點，在傾斜過程中，給出以下四個結論：①沒有水的部分始終呈棱錐形；②有水的部分始終呈棱柱形；③棱始終與水面所在平面平行；④水的體積與四棱錐體積之比為.其中所有正確結論序號為________．【答案】①③④【分析】由棱錐的定義可判斷①；由棱柱的定義可判斷②；利用線面平行的定義可判斷③；利用錐體的體積公式可判斷④.【詳解】對于①，由棱錐的定義可知，在傾斜的過程中，沒有水的部分始終呈棱錐形，①對；對于②，由棱柱的定義可知，在傾斜的過程中，有水的部分的幾何體不是棱柱，②錯；對于③，傾斜前，在圖1中，棱與水面所在平面平行，在傾斜的過程中，容器以棱為軸向左側傾斜到圖2的位置的過程中，棱始終與水面所在平面平行，③對；對于④，連接、、，設三棱錐的體積為，則三棱錐的體積也為，因為為的中點，則，所以，，因為、分別為、的中點，所以，且，所以，，所以，，所以，沒有水的部分的幾何體的體積為，所以，有水的部分的幾何體的體積為，因此，水的體積與四棱錐體積之比為，④對.故答案為：①③④.三、解答題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.已知函數．（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期；（2）由求出的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求得函數的最大值和最小值.【小問1詳解】解：因為，所以，函數的最小正周期為.【小問2詳解】解：當時，，故當時，函數取最大值，即，當時，函數取最小值，即.18.海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：），其頻率分布直方圖如圖所示．兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）用頻率估計概率，從運用新、舊網箱養(yǎng)殖方法的水產品中各隨機抽取一個網箱，估計兩個網箱的箱產量都不低于的概率；（3）假定新、舊網箱養(yǎng)殖方法的網箱數不變，為了提高總產量，根據樣本中兩種養(yǎng)殖法的平均箱產量，該養(yǎng)殖場下一年應采用哪種養(yǎng)殖法更合適？（直接寫出結果）【答案】（1）（2）（3）新養(yǎng)殖法【分析】（1）根據頻率分布直方圖利用頻率之和為，即可求得圖中的值；（2）根據獨立事件概率乘法公式計算即可；（3）利用頻率分布直方圖分別估計新舊養(yǎng)殖法的平均值，即可做出判斷.【小問1詳解】由所以【小問2詳解】設事件分別表示：從運用舊、新網箱養(yǎng)殖方法的水產品中隨機抽取一個網箱，其箱產量不低于55kg，用頻率估計概率，則，因為相互獨立，所以所以估計兩個網箱的箱產量都不低于的概率為【小問3詳解】新養(yǎng)殖法（舊養(yǎng)殖法的平均值估計為新養(yǎng)殖法的平均值估計為又，所以該養(yǎng)殖場下一年應采用新養(yǎng)殖法更合適.）19.在中，已知，．（1）求證：；（2）在①；②；③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的值和的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據正弦定理可得，再根據余弦定理即可證明；（2）若選①，由（1）可得，，,，從而可求,根據三角形面積公式即可求解；若選②，由（1）可得，，,，根據可求，根據三角形面積公式即可求解；若選③，根據邊的等量關系可得，矛盾.【小問1詳解】由

，根據正弦定理可得.又因為，由余弦定理得：，可得，即.【小問2詳解】若選①，由

，且，所以，解得，所以,.所以.若選②，根據，所以,.因為，所以，解得.所以.若選③，由（1）可得，，則,與，矛盾，故不存在.20.已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，平面平面，是的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設棱與平面交于點，求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）根據面面垂直的性質即可得到線面垂直.（2）取中點，根據線線平行可得平面平面，由此能證明直線平面；（3）作點滿足，則與的交點即為與平面的交點，從而可求得的值，【小問1詳解】平面平面,且兩平面的交線為,由于，，所以,平面,故平面，【小問2詳解】證明：取中點，連，，是的中點，，,由于平面,平面,所以平面同理可得平面，平面,平面平面，平面，直線平面；【小問3詳解】作點滿足，則，，，四點共面，作的中點，則，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，又，所以，即，，，四點共面，平面平面，則與平面的交點必定在上，所以與的交點即為與平面的交點，所以，所以，21.設，已知由自然數組成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定義數表：，其中，設，令是，，…，中的最大值．（1）若，，且，求，，及；（2）若，集合，，…，中的元素個數均相同，若，求的最小值；（3）若，，集合，，…，中的元素個數均為3，且，求證：的最小值為3．【答案】（1），（2）4（3）見解析【分析】（1）根據和即可求解，（2）將問題轉化為至少有3個元素個數相同的非空子集．分別對中的元素個數進行列舉討論，即可求解，（3）由的定義以及，即可結合，，…，中的元素個數均為3，進行求解.【小問1詳解】根據和可得，故，【小問2詳解】設使得，則，所以．所以至少有3個元素個數相同的非空子集．當時，，其非空子集只有自身，不符題意．當時，，其非空子集只有，不符題意．當時，，元素個數為1的非空子集