第九章能量法

第九章能量法第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第九章能量法

材料力學(xué)第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法利用功能原理解決工程結(jié)構(gòu)位移或桿件變形等有關(guān)問題的方法,稱為能量法第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法外力功變形能利用功能原理計(jì)算位移四求位移的卡氏定理第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法外力功第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月定義:任何彈性體在外力作用下都要發(fā)生變形。彈性體在變形過程中,外力沿其作用線方向所作的功,稱為外力功。第九章能量法/一外力功

第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功

計(jì)算1、常力作功若體系上受到一個(gè)大小不變的常力P的作用,然后P力的作用點(diǎn)又沿著P力的作用方向上有了位移,則該力所作的功為式中的P為廣義力,為廣義位移.第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

２、變力作功結(jié)構(gòu)上的靜荷載從零逐漸增加到最終值,即加載過程中的外力是一個(gè)變力。變力所作的功為第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

3、多個(gè)力作用下的外力功若彈性體上作用著幾個(gè)外力(P1,P2……,Pn)時(shí),則所有外力作的總功等于這些力分別與其相應(yīng)位移乘積之和的一半;第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3、多個(gè)力作用下的外力功外力功的最終值僅與各個(gè)外力的最終值有關(guān),而與各個(gè)力的施加次序無關(guān)第九章能量法/一外力功·計(jì)算

第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

例題:計(jì)算圖示簡支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

解:(1)位移計(jì)算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的轉(zhuǎn)角：BCAL/2L/2Pmo第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

解:(2)外力功的計(jì)算第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

分析與討論若先加P，后加mo，則外力功為第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

分析與討論若先加mo，后加P

，則外力功為第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/一外力功·計(jì)算

分析與討論比較計(jì)算結(jié)果，說明：即作用在彈性體上的所有外力作的總功W,等于這些力分別與其相應(yīng)位移乘積之和的一半。而與各個(gè)力的施加次序無關(guān)。第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法變形能第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

1變形能、功能原理定義：變形能當(dāng)彈性體受到外力作用而發(fā)生變形時(shí)，外力在相應(yīng)的位移上所作的功全部以能量的形式儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，這種因變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形能。第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

1變形能、功能原理定義：功能原理外力功等于變形能（能量守恒及轉(zhuǎn)換原理）第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月2、桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的變形能（1）軸向拉伸或壓縮PLLoBLPA式中——軸力，A——截面面積第九章能量法/二變形能

第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月

由拉壓桿件組成的桿系的變形能：P12345受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的變形能qLxdx第九章能量法/二變形能第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）圓截面桿的扭轉(zhuǎn)m

LmoB

mA圓截面桿的變形能式中Mn——圓桿橫截面上的扭矩；——圓桿橫截面對圓心的極慣性矩。

第九章能量法/二變形能第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量)

xdxLtAB第九章能量法/二變形能

第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）平面彎曲純彎曲梁的變形能：式中M－梁橫截面上的彎矩；I－梁橫截面對中性軸的慣性矩LmmoB

Am第九章能量法/二變形能

第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的變形能Pm=PaACBaa第九章能量法/二變形能

第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月式中一般實(shí)心截面的細(xì)長梁:剪切變形能遠(yuǎn)小于其彎曲變形能，通常忽略不計(jì)。

k由截面的幾何形狀決定:矩形截面:k=1.2,圓截面:k=10/9,圓環(huán)形截面:k=2。（4）剪切第九章能量法/二變形能

第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月L3產(chǎn)生組合變形時(shí)的變形能注意：變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。第九章能量法/二變形能

第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月4關(guān)于變形能計(jì)算的討論以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形能的計(jì)算。變形能可以通過外力功計(jì)算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的變形能，然后積分求得整個(gè)桿件上的變形能。變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。4變形能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。第九章能量法/二變形能

第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

BlAmoEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力偶mo作用下的變形能(a)第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

BlAPEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力P作用下的變形能(b)第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

BlAPEIx例題計(jì)算圖示梁在集中力偶mo、集中力P共同作用下的變形能(c)第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

分析與討論(1)從上述變形能計(jì)算結(jié)果可知：這是因?yàn)榧醋冃文苁橇Φ亩魏瘮?shù),一般說來,變形能不可以簡單的疊加第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/二變形能

分析與討論(2)為什么有時(shí)兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)的變形能可以進(jìn)行疊加,是因?yàn)槠渲幸环N荷載在另一種荷載引起的位移上不作功.例如,一直桿同時(shí)承受彎曲與扭轉(zhuǎn)作用時(shí),就可以把扭轉(zhuǎn)變形能和彎曲變形能疊加起來進(jìn)行計(jì)算.因?yàn)榕まD(zhuǎn)在彎曲引起的轉(zhuǎn)角上不作功,彎矩在扭轉(zhuǎn)引起的扭轉(zhuǎn)角上也不作功.第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法利用功能原理計(jì)算位移第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月利用可以計(jì)算荷載作用點(diǎn)的位移,但是只限于單一荷載作用,而且所求位移只是荷載作用點(diǎn)(或作用面)沿著荷載作用方向與荷載相對應(yīng)的位移。第九章能量法/三利用功能原理計(jì)算位移

第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月blaP例題圖示變截面受拉桿，E、A為已知，求加力點(diǎn)C的水平位移第九章能量法/三利用功能原理計(jì)算位移

lc2AA第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/三利用功能原理計(jì)算位移

解：（1）變形能計(jì)算整根桿的變形能第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/三利用功能原理計(jì)算位移

（2）位移計(jì)算即得第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/三利用功能原理計(jì)算位移

分析和討論1若需要位移處無外力作用,如求b截面,外力功表達(dá)式中無需求的位移項(xiàng),因此無法求。2若在該桿上作用的外力多于一個(gè),如在b截面上還作用一個(gè)P1力,這時(shí).外力表達(dá)式無兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移,顯然也不能求位移的大小。第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法四求位移的卡氏定理第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月1卡式定理若彈性體上作用著多個(gè)外力(廣義力),則該彈性體的變形能,對于任一外力的偏導(dǎo)數(shù),就等于該力作用處沿其作用方向的位移(廣義位移),即第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月1卡式定理的證明設(shè)在某彈性體上作用有外力，在支承約束下，在相應(yīng)的力方向產(chǎn)生的位移為，(i=1,2,…,n)。

可以證明：第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：再加增量，則變形能U的增量dU為梁的總變形能為：(a)考慮兩種不同的加載次序。(1)先加，此時(shí)彈性體的變形能為U：第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)先加，然后再加，此時(shí)彈性體的變形能由三部分組成：梁的總變形能為：(b)(a)在相應(yīng)的位移上所作的功

(b)在相應(yīng)位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的對位移所作的功第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無關(guān)。(a)(b)兩式相等：略去二階微量，化簡后得：證畢。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3卡氏定理的應(yīng)用應(yīng)用卡氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意:（1）卡氏定理中的應(yīng)理解為廣義力，應(yīng)理解為廣義位移。（2）只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與荷載成線性關(guān)系時(shí)，才能應(yīng)用卡氏定理。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用卡氏定理計(jì)算位移時(shí)應(yīng)注意:（3）當(dāng)需利用卡氏定理來計(jì)算沒有外力作用處的位移（或所需要的位移與加力方向不一致）時(shí)，可在需要位移處沿著所需求位移的方向任設(shè)一個(gè)力（等于零），寫出所有力（包括）作用下的變形能U的表達(dá)式，并將其對求偏導(dǎo)數(shù)，然后再令等于零，便得所求位移。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）先偏導(dǎo)后積分利用卡氏定理解位移時(shí)，一般遵循“先偏導(dǎo)后積分”的原則：①列出內(nèi)力方程②先偏導(dǎo)，即求出的結(jié)果；③后積分，完成上述偏導(dǎo)后，再將其代入下列式中進(jìn)行積分，從而求得需求位移。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/四求位移的卡氏定理

卡氏定理在各種受力情況下的表達(dá)式拉（壓）桿：扭轉(zhuǎn)桿：彎曲變形桿：組合變形桿：桁架：第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/四求位移的卡氏定理

應(yīng)用卡氏定理求出為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/四求位移的卡氏定理

例題試求圖示梁自由端A截面的撓度和轉(zhuǎn)角。BA解：1求：（1）列方程及對P的偏導(dǎo)數(shù)：第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）計(jì)算：結(jié)果為正，說明與P方向一致。第九章能量法/四求位移的卡氏定理

第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第九章能量法/四求位移的卡氏定理

2求：求，可A處無力偶作用，因此需在A處暫時(shí)加一個(gè)虛擬的力偶矩，如圖所示：第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月BA第九