第5章 代數(shù)結(jié)構(gòu)

第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)5.1二元運算及其性質(zhì)二元運算設(shè)S為集合，函數(shù)稱為S上的一個二元運算，簡稱二元運算。驗證一個運算是否為集合S上的二元運算，首先要保證參加運算的是S中的元素,而且運算結(jié)果也是S中的元素,即S對該運算封閉。二元運算例題（1）例5.1(1).自然數(shù)集合N上的乘法是N上的二元運算，但除法不是（S對除法不封閉）。(2).整數(shù)集合Z上的加法，減法和乘法是Z上的二元運算，但除法不是（不封閉）。(3).非零實數(shù)集上的乘法，除法是上的二元運算，而加法，減法不是（少了0）。二元運算例題（2）(4).設(shè)表示所有n階實矩陣的集合，則矩陣加法和乘法都是上的二元運算。(5).S為任意集合，則為S的冪集P(S)上的二元運算。(6).S為集合，是S上所有函數(shù)的集合，則合成運算是的二元運算。n元運算設(shè)S為集合，n為正整數(shù)，則函數(shù)

稱為S上的一個n元運算,簡稱n元運算.

運算例題（1）例5.2設(shè)S={1,2},給出P(S)上的運算~和的運算表,其中全集為S。例5.3設(shè)S={1,2,3,4},定義S上的二元關(guān)系，求關(guān)系運算表。運算例題(2)

例5.2解a~a{1,2}{1}{2}{2}{1}{1,2}{1}{2}{1,2}{1}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1,2}{1,2}{2}{1}定義二元運算的性質(zhì)幺元在自然數(shù)集N上，0是加法幺元，1是乘法幺元，n階矩陣的加法幺元是零矩陣，乘法幺元是單位矩陣。零元在自然數(shù)集N上，0是乘法零元，無加法零元，n階矩陣的乘法零元是元素全為０的n階矩陣，無加法零元。逆元（1）在整數(shù)集合Z中，對任何整數(shù)x,加法逆元都存在,即為(-x).逆元（2）運算的消去律定義5.11設(shè)?為S上的二元運算,如果對任意的x,y,z∈S滿足以下條件(1)若x?y＝x?z且x不是零元,則y＝z,(2)若y?x＝z?x且x不是零元,則y＝z就稱運算?滿足消去律注意用消去律時，消去的元素不能是該運算的零元。5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)常數(shù)二元運算的幺元或零元,對系統(tǒng)性質(zhì)起著重要的作用,稱之為系統(tǒng)的特異元素,或代數(shù)常數(shù).代數(shù)子系統(tǒng)定義5.13設(shè)V=<S,f1,f2,…,fk>是代數(shù)系統(tǒng),B

S且B≠

,如果B對f1,f2,…,fk都是封閉的,且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù),則稱<B,f1,f2,…,fk>是V的子代數(shù)系統(tǒng),簡稱子代數(shù).例如.<N,＋,0>是<Z,＋,0>的子代數(shù),因為N對加法封閉,且它們都具有相同的代數(shù)常數(shù)0.<N-{0},＋>不是<Z,＋,0>的子代數(shù).因為代數(shù)常數(shù)0不出現(xiàn)在N-{0}中.子代數(shù)例題（1）子代數(shù)例題（2）

n=1時1Z=Z，n=0時0Z=0，都是平凡子代數(shù)。積代數(shù)積代數(shù)例題5.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)映射同構(gòu)映射例題5.6（1）(