第三節(jié)導數(shù)的基本公式與運算法則

第三節(jié)導數(shù)的基本公式與運算法則第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3導數(shù)的基本公式和運算法則

（七）導數(shù)公式（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則（二）復合函數(shù)的求導法則（三）反函數(shù)的求導法則

（四）隱函數(shù)的求導法則

（五）對數(shù)求導法則

（六）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法則

（八）綜合雜例第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分設（為常數(shù)）（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導法則1、常數(shù)的導數(shù)第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分2、冪函數(shù)的導數(shù)設（為正整數(shù)），由二項式定理知以后可以證明，為任何實數(shù)公式也成立。第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3、代數(shù)和的導數(shù)第三章導數(shù)與微分設可導，則也可導，且

證明證畢.第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月此公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形第三章導數(shù)與微分

例1求函數(shù)的導數(shù)

解第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月4、乘積的導數(shù)第三章導數(shù)與微分設可導，則也可導，且

證明第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分證畢.可導一定連續(xù)第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分乘積公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形特別地（為常數(shù)）

例2求的導數(shù)

解第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月5、商的導數(shù)第三章導數(shù)與微分設可導，則也可導，且

證明且第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分可導一定連續(xù)可導一定連續(xù)證畢.第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分特別地（為常數(shù)）

例3求的導數(shù)

解第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例4求的導數(shù)

解第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月6、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)第三章導數(shù)與微分設第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月7、三角函數(shù)的導數(shù)第三章導數(shù)與微分（1）設

連續(xù)同理可得（2）設第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分（3）設同理可得（4）設第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分（5）設（6）設第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例5求的導數(shù)解第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分設是的一個復合函數(shù)若在處有導數(shù)則在對應點處有導數(shù)復合函數(shù)在點處的導數(shù)也存在，且或寫成

（二）復合函數(shù)的求導法則第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分則所以故

證明因為在點處可導，（當時，）所以證畢.可導一定連續(xù)第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分此法則可推廣到多個中間變量的情形若鏈式法則關鍵

弄清復合函數(shù)結構，由外向內逐層求導第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例6求的導數(shù)

解設例7求的導數(shù)解第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例8求的導數(shù)

解例9求的導數(shù)解第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例10求的導數(shù)

解第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例11求的導數(shù)

解第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

解例12設存在，導數(shù)求的第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

證例13證明（為任意常數(shù)）證畢.第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分設在點處可導，且則又設反函數(shù)在相應點處連續(xù)，存在，且或

（三）反函數(shù)的求導法則第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分證設反函數(shù)的自變量取得改變量時，因變量取得相應的改變量，當時，必有，否則由得因為函數(shù)的變量是一一對應的，所以這與的假設相矛盾。第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分因此，有當時，再由假設得當時，又由的連續(xù)性知，證畢.第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分反三角函數(shù)的導數(shù)（1）由于的反函數(shù)是第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分（2）同理可得（3）（4）第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

解例14求的導數(shù)例15求的導數(shù)

解第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

（四）隱函數(shù)的求導法則且可導，設方程確定了是的函數(shù)，并再利用復合函數(shù)的兩邊同時對求導，求導公式可求隱函數(shù)對的導數(shù)。第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例16方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊同時對求導解得是的函數(shù)第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例17方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊同時對求導解得第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分求其曲線上點處的切線和法線方程

例18方程確定是的函數(shù)，

解方程兩邊對求導得切線方程法線方程第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分指數(shù)函數(shù)的導數(shù)設兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導解得第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例19求函數(shù)的導數(shù)

解

例20求函數(shù)的導數(shù)

解

例21方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊對求導解得第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

（五）對數(shù)求導法則

例22求函數(shù)的導數(shù)兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導解得

解此函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)稱其為冪指函數(shù)。不能用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導公式，第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例23求函數(shù)的導數(shù)兩邊對求導

解此函數(shù)若直接求導會很復雜。兩邊取對數(shù)（設）第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分解得當時，當時，用同樣的方法求導可得與上面相同的結果。第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

（六）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法則若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，則稱此函數(shù)關系為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。設有連續(xù)反函數(shù)又存在，且則有第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

例24已知求

解

例25已知求

解第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

（七）導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分說明在公式中均為常實數(shù)。第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分說明在公式中為常實數(shù)，運算法則均為函數(shù)。第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

（八）綜合雜例例26設求

解第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例27設求

解函數(shù)，求例28確定是的

解整理得第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例29設求

解當時，當時，當時，當時，第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分由上節(jié)例10知不存在，不存在，故有第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例30已知可導，求

解其中為常數(shù)第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分例31已知若求證證證畢.第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分求當球半徑時，例32設球半徑以的速度等速增加，其體積增加的速度。

解兩邊對時間求導當時（此題為相關變化率問題）第54頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月內容小結1.導數(shù)公式2.函數(shù)的求導法則3.隱函數(shù)求導法則4.對數(shù)求導法則作業(yè)P13815---45第三章導數(shù)與微分和、差、積、商反函數(shù)、復合函數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)第55頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題第三章導數(shù)與微分

1.已知則（2004）

解第56頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導數(shù)與微分

2.已知可導，

解（1）（1）求下列