數(shù)學(xué)分析中的三重積分

一、三重積分的概念

設(shè)有一物體,在直角坐標(biāo)系中,占有一個(gè)有界閉區(qū)域V,在點(diǎn)(x,y,z)處的密度為ρ(x,y,z).這里的ρ(x,y,z)>0且在V上連續(xù),現(xiàn)在要計(jì)算該物體的質(zhì)量.由于ρ(x,y,z)在V上連續(xù),把V任意分為n個(gè)小塊,只要小塊所占的閉區(qū)域

Vk的直徑很小,這小塊就可以看作是均勻體,在Vk上任取一點(diǎn)(ξk,ηk,ζk),設(shè)Vk的體積為△Vk

則ρ(ξk,ηk,ζk)△Vk(k=1,2,....n)可看作第k個(gè)小塊的質(zhì)量之近似值,通過(guò)求和,取極限,便得到質(zhì)量這里||T||=max{d(V1），d(V2),…,d(Vn)}.為了使這種和式的極限能得到廣泛的應(yīng)用,拋開其物理意義,抽象出數(shù)學(xué)形式,于是得到三重積分的一般定義.定義:設(shè)f(x,y,z)是空間閉區(qū)域V上的有界函數(shù),把V任意分成n個(gè)小區(qū)域V1,V2,...Vn其中Vk表示第k個(gè)小區(qū)域,其體積為△Vk

。在每個(gè)小區(qū)域Vk上任取一點(diǎn)(ξk,ηk,ζk),作和一、三重積分的概念如果||T||→0時(shí)，這和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上的三重積分,記作其中dV叫做體積元素,在直角坐標(biāo)系中,體積元素dV也記dxdydz稱為直角坐標(biāo)系中的體積元素,從而三重積分也記作（1）一、三重積分的概念

當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)在V上連續(xù)時(shí),(1)式右端的和式極限必定存在,也就是函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上的三重積分必定存在,以后我們總假設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在V上是連續(xù)的.三重積分的性質(zhì)和二重積分的性質(zhì)類似,這里不再重復(fù).例如一、三重積分的概念其中V表示區(qū)域

W的體積．直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．一、化三重積分為三次積分如圖，得是x、y的函數(shù)。注意三重積分化為三次積分的過(guò)程：得到事實(shí)上，得到事實(shí)上，得到事實(shí)上，得到解于是，于是，得到解于是，得到解解原式因此，二、三重積分的變量替換解:作變換而所以1、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：簡(jiǎn)單地說(shuō)，柱面坐標(biāo)就是xoy面上的極坐標(biāo)+z坐標(biāo)柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．從而所以如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為于是，再根據(jù)V’中z，r，

的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對(duì)z積分，再對(duì)r，最后對(duì)

積分。例6利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分其中

解(1)畫

圖(2)確定z，r，

的上下限將

向xoy面投影，得或過(guò)(r,

)∈D做平行于z軸的直線，得即過(guò)(r,

)∈D做平行于z軸的直線，得于是，解求交線：將

向xoy面投影，得或即過(guò)(r,

)∈D做平行于z軸的直線，得或例8計(jì)算三重積分其中

是由曲解將

向xoy面投影，得或過(guò)(r,

)∈D做平行于z軸的直線，得即或過(guò)(r,

)∈