高中數(shù)學第2章直線和圓的方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第1課時直線與圓的位置關(guān)系課件新人教版選修1

2.5.1

直線與圓的位置關(guān)系第1課時

直線與圓的位置關(guān)系課前·基礎認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標定位隨堂訓練素養(yǎng)?目標定位目標素養(yǎng)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系,提升邏輯推理素養(yǎng).2.能解決有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的問題,提升數(shù)學運算素養(yǎng).知識概覽課前·基礎認知直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷微拓展1.過一點P所作圓的切線的條數(shù):當P在圓外時,可作圓的兩條切線;當P在圓上時,只能作一條切線;當P在圓內(nèi)時,不能作圓的切線.2.過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:微診斷

判斷.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(

)(2)若直線與圓有公共點,則直線與圓相交.(

)(3)當直線與圓相離時,圓上各點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓半徑的和.(

)√×√課堂·重難突破一

直線與圓的位置關(guān)系的判斷典例剖析1.已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點?(2)只有一個公共點?(3)沒有公共點?規(guī)律總結(jié)判斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法

(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.

(2)代數(shù)法:根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷.

(3)直線系法:若直線恒過定點,則可根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷.此法有一定的局限性,必須是過定點的直線系.學以致用1.(1)直線x-ky+1=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.相離C.相交或相切 D.相切(2)若直線x-y+m=0與圓x2+y2=2相切,則實數(shù)m等于(

)A.2 B.-2 C.

D.±2答案:(1)C

(2)D解析:(1)由題意知,直線x-ky+1=0恒過定點(-1,0),而點(-1,0)在圓上,故直線與圓相切或相交.(2)因為直線x-y+m=0與圓x2+y2=2相切,二

直線與圓相切典例剖析2.若直線l經(jīng)過點P(2,3),且與圓(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直線l的方程.解:∵(2-1)2+(3+2)2>1,∴點P在圓外.(方法一)①若直線l的斜率存在,設直線l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.∵直線l與圓(x-1)2+(y+2)2=1相切,②若直線l的斜率不存在,則直線l:x=2,經(jīng)驗證,符合題意.因此,直線l的方程為12x-5y-9=0或x=2.(方法二)①若直線l的斜率存在,設直線l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3.與圓的方程聯(lián)立消去y,得(x-1)2+[k(x-2)+3+2]2=1,整理得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0.②若直線l的斜率不存在,則直線l:x=2,經(jīng)驗證,符合題意.因此,直線l的方程為12x-5y-9=0或x=2.互動探究1.(變問法)本例條件不變,求此切線長.2.(變條件)本例中點P的坐標改為(2,-2),其他條件不變,求直線l的方程.解:∵(2-1)2+(-2+2)2=1,∴點P在圓上,∴經(jīng)過點P(2,-2)的切線方程為x=2,即直線l的方程為x=2.3.(變條件)本例中,“直線l經(jīng)過點P(2,3)”改為“直線l與直線y=x+1垂直”,其他條件不變,求直線l的方程.規(guī)律總結(jié)求圓的切線方程的方法

(1)過圓上一點(x0,y0)的圓的切線方程的求法:先求切點與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為

,由點斜式可得切線方程.如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=x0.(2)過圓外一點(x0,y0)的切線方程的求法:設切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,也就得切線方程.當用此法只求出一個方程時,另一個方程應為x=x0,因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況,而過圓外一點的切線有兩條.一般不用聯(lián)立方程組的方法求解.

(3)斜率為k的切線方程的求法:設切線方程為y=kx+m,根據(jù)直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,建立方程解出m的值,即可得到切線方程.學以致用2.已知P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA,PB與圓x2+y2=4分別相切于A,B兩點,則四邊形PAOB面積的最小值為

.

答案:8三

直線與圓相交典例剖析3.(1)過圓x2+y2=8內(nèi)的點P(-1,2)作直線l交圓于A,B兩點.若直線l的傾斜角為135°,則弦AB的長為

.

(2)圓心為C(2,-1),截直線y=x-1所得的弦長為2的圓的方程為

.

互動探究(變條件,變問法)過圓x2+y2=8內(nèi)的點P(-1,2)作直線l交圓于A,B兩點.若弦AB的長為2,求直線l的方程.當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,圓心(0,0)到直線x=-1的距離為1,所以直線x=-1符合題意;當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-2=k(x+1),綜上可得,直線l的方程為x=-1或3x+4y-5=0.規(guī)律總結(jié)求直線與圓相交時的弦長的方法(1)交點法:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求出交點A,B的坐標,根據(jù)兩點間的距離公式(2)弦長公式:如圖①所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設直線與圓的兩交點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),①上述三種方法中以幾何法最為簡潔,用得最多.②學以致用3.已知直線l:kx-y+k+2=0與圓C:x2+y2=8.(1)證明:直線l與圓C相交;(2)當直線l被圓C截得的弦長最短時,求直線l的方程,并求出直線l被圓C截得的弦長.(1)證明:直線l:kx-y+k+2=0,其方程可化為y-2=k(x+1),則直線l經(jīng)過定點(-1,2).∵(-1)2+22<8,∴點(-1,2)在圓C內(nèi),∴直線l與圓C相交.(2)解:由(1)知,直線l過定點P(-1,2),又圓C:x2+y2=8的圓心為原點O,則當直線l與OP垂直時直線l被圓C截得的弦長最短.隨堂訓練1.若直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是(

)A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12答案:D解析:圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=1,可得圓心坐標為(1,1).由題意得圓心(1,1)到直線3x+4y-b=0的距離

=1,解得b=2或b=12,故選D.2.(多選題)已知圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=4,直線l的方程為x+my-m-2=0,則下列選項正確的是(

)A.直線l恒過定點(2,1)B.直線可能與圓相切C.直線被圓所截得的最短弦長為2D.存在一個實數(shù)m,使直線l經(jīng)過圓心C答案:AC解析:直線l的方程x+my-m-2=0可化為x-2+m(y-1)=0,當x=2時,y=1,所以直線l恒過定點(2,1),故A正確;因為(2-1)2+(1-1)2=1<4,所以點(2,1)在圓內(nèi),則直線不可能與圓相切,故B錯誤;當圓心C(1,1)與點(2,1)的連線與直線l垂直時,圓心到直線l的距離最無解,故不存在一個實數(shù)m,使直線l經(jīng)過圓心C,故D錯誤.故選AC.3.過原點的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為

.答案:2x-y=0解析:由題意可得所求直線的斜率存在且不為零,則可設所求直線方程為y=kx(k≠0),即kx-y=0(k≠0).由于直線kx-y=0被圓截得的弦長等于2,圓的半徑是1,因此圓心(1,2)在直線kx-y=0上.于是有k-2=0,解得k=2,因此所求直線方程是2x-y=0.4.已知直線y=kx+3與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點,且|MN|≥2,則k的取值范圍是

.

答案:(-∞,0]5.已知圓C的圓心為(1,0),直線x-y+1=0與圓C相切.