等差數(shù)列求和公式：求和的七種方法!建議收藏

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，可以用AP表示，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。（一）等差數(shù)列求和公式1?公式法等差數(shù)列求和公式］（苜項(xiàng)4末I頁）X項(xiàng)數(shù)辺舉例：1+24-3+4+5+6+7+8+9=(1+9)刈？衛(wèi)二施等比數(shù)列求和公式:S”=nxaj(g=1),1)ae-[aae-[a-\-d(tt-l)]f^ndeq-deqn1—印 + (1-q)2弍等差數(shù)列首項(xiàng)世等差數(shù)列公差圧等比數(shù)列苜項(xiàng)q：等比數(shù)列公比其他1+2+34n(n4-l}1+2+34~2~1+22432442+ +n2 二:科側(cè)+1)(2n+1)□『]]21-F23-F33-F43+ + JI3=-M(j^-F1)1+3+5-I-...+(2ji—1)—2?錯(cuò)位相減法適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列總式（等差等比數(shù)列相乘1｛聽｝、｛b｝分別是等差埶列和等比埶列-5,；二（？］_b|+i）2^2+^3^5+迎4方4十十◎口b洌如:甫口二1A]十(“—1Mbn=bixq“1匸"=知嘰Tfl==□]"]+02^24-(33(?3+^4^4+…+⑷」力】T--ifT?-珀bi4-b2(a2-aL)+&3(?3-fl2)+?r+ -fln_t)-flnfrn+i耳1(1—年)二旳h7』“+】 +i>34-^44-?.bra}①=eiti—anx x ￥dk = J 1—(j~a\b] (t/1+ndd)xbixq"十dx 可1—qT滬上述式子心切此外燔式可變形為幾（1一9〕二歇切-日』卄1+^（SB—bt）務(wù)為｛切｝的前ri項(xiàng)和一此形式更理解也好記3?彌公式通項(xiàng)式為《厲自然數(shù))的數(shù)列求和公■式n kh+I (i=l k-l ■系教數(shù)列為為仆1.21/恰a?-1.720?0?……｝其除第二項(xiàng)的所有偶數(shù)頃皆拘0證明略例如rn尊于2求和公式匸H=二J春汕=礙M3十歸務(wù)^十h令d=討+護(hù)+￡"fc=1 k=1通頃式為多項(xiàng)式的數(shù)列求和公■式通I頁式藥參項(xiàng)武的數(shù)列求和坐式為其中各I頁求初公式簡(jiǎn)單的線性組臺(tái)o不做鰲述。4?分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可?例如：an=2n+n-b可看做是2"與nJ的扣昂二的十亞十…十卯二2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1=(2+22+..>2n)+(D+1+..+n-1)=2(2n-1)/(2-1)+([)+n-1)n/2=2r+1+n(n-1)/2-25?i項(xiàng)相消法適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)—f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。常用公式三1二11ji(z?+1)nn+1I 1n{rt+l)(n4-2} 2(2n-l)(2n+l)I 1n{rt+l)(n4-2} 211H(rt+1)(rt+l)(r+2)［例］求數(shù)列an=1/n(n+1)的前ri項(xiàng)租解：an=Vn(n+1)= 〔裂項(xiàng))科丼+1則Sn=1-1/2+V2-1/3+V4...+1/n-U(n+1)(裂項(xiàng)求和)=n/(n+1)小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1、余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。6.數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟:(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(knn的第一個(gè)值，k為自然數(shù))時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。例：求證：1x2x3x4+2x3x4x5+3^4x5^6+ +n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5證明：當(dāng)n=1時(shí)，有：1x2x3x4=24=2x3x4x5/5假設(shè)命題在n=k時(shí)成立，于是：1x2x3x4+2x3x4x5+ 3x4x5x6+.……+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5則當(dāng)n=k+1時(shí)有：1x2x3x4+2x3x4x5+3x4x5x6+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1x2x3x4+2x3x4*5+3x4x5x6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證7.并項(xiàng)求和法(常采用先試探后求和的方法)例：1—2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n方法一：(并項(xiàng))求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。方法二：(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]方法三：構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。an=n(-1)八(n+1)(二)等差數(shù)列判定及其性質(zhì)等差數(shù)列的判定a(n+1)--a(n)=d(d 為常數(shù)、neN*)[或a(n)--a(n-1)=d,n￡N*,n>2,d是常數(shù)]等價(jià)于｛a(n)｝成等差數(shù)列。2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[n eN*]等價(jià)于｛a(n)｝成等差數(shù)列。a(n)=kn+b[k、b為常數(shù),neN*]等價(jià)于｛a(n)｝成等差數(shù)列。S(n)=A(n〃2+B(n)[A、B為常數(shù)，A不為0,neN*]等價(jià)于｛a(n)｝為等差數(shù)列。特殊性質(zhì)在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等。并且等于首末兩項(xiàng)之和；特別的，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的 2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)= ^^=2*a中例：數(shù)列：1,3,5,7,9,11中a(1)+a(6)=12;a(2)+a(5)=12;a(3)+a(4)=12;即，在有窮等差數(shù)列中，與首