2013年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學二模試卷

2013年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]1．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）下列式子中，從左到右的變形為多項式因式分解的是（）A． B． C． D．2．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A． B． C．x3+3=0 D．x4+4=03．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）函數(shù)y=kx﹣k﹣1（常數(shù)k＞0）的圖象不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）已知一組數(shù)據(jù)3、4、4、5、6、7、4、7，那么這組數(shù)據(jù)的（）A．中位數(shù)是5.5，眾數(shù)是4 B．中位數(shù)是5，平均數(shù)是5C．中位數(shù)是5，眾數(shù)是4 D．中位數(shù)是4.5，平均數(shù)是55．（4分）（2013?老河口市模擬）如果?ABCD的對角線相交于點O，那么在下列條件中，能判斷?ABCD為菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OAB=∠OBC C．∠OAB=∠OCD D．∠OAB=∠OAD6．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）一個圖形沿一條直線翻折后再沿這條直線的方向平移，我們把這樣的圖形運動稱為圖形的翻移，這條直線稱為翻移線．如圖△A2B2C2是由△ABC沿直線l翻移后得到的．在下列結論中，圖形的翻移所具有的性質(zhì)是（）A．各對應點之間的距離相等 B．各對應點的連線互相平行C．對應點連線被翻移線平分 D．對應點連線與翻移線垂直二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]7．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）計算：=．8．（4分）（2015?楊浦區(qū)三模）不等式組的解集是．9．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，則這個數(shù)是．10．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果關于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是．11．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果點A（﹣1，2）在一個正比例函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么y隨著x的增大而（填“增大”或“減小”）．12．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）將拋物線y=2x2+1向右平移3個單位，所得拋物線的表達式是．13．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）某校200名學生一次數(shù)學測試的分數(shù)均大于75且小于150，分數(shù)段的頻數(shù)分布情況如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每個分數(shù)段可包括最小值，不包括最大值），那么測試分數(shù)在120～135分數(shù)段的頻率是．14．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）從點數(shù)為1、2、3、4、5的五張撲克牌中隨機摸出兩張牌，摸到的兩張牌的點數(shù)之和為素數(shù)的概率是．15．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么=．16．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果⊙O1與⊙O2內(nèi)含，O1O2=4，⊙O1的半徑是3，那么⊙O2的半徑的取值范圍是．17．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在△ABC中，∠A=40°，△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)后點C落在邊AB上的點C′，點B落到點B′，如果點C、C′、B′在同一直線上，那么∠B的度數(shù)是．18．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，四邊形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH與正方形ABCD的面積比是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上]19．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）化簡：，并求當時的值．20．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）解方程組：．21．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對角線AC、BD相交于點E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的長．22．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）一輛高鐵列車與另一輛動車組列車在1320公里的京滬高速鐵路上運行時，高鐵列車比動車組列車平均速度每小時快99公里，用時少3小時，求這輛高鐵列車全程的運行時間和平均速度．23．（12分）（2013?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，DA=DB，BD與CE相交于點F，∠AFD=∠BEC．求證：（1）AF=CE；（2）BF2=EF?AF．24．（12分）（2013?靜安區(qū)二模）已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，AH=5，CD=，點E在⊙O上，射線AE與射線CD相交于點F，設AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半徑；（2）如圖，當點E在弧AD上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）如果EF=，求DF的長．25．（14分）（2013?靜安區(qū)二模）如圖，點A（2，6）和點B（點B在點A的右側(cè)）在反比例函數(shù)的圖象上，點C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點．（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；（2）如果點D在x軸的正半軸上，點E在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長．

2013年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]1．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）下列式子中，從左到右的變形為多項式因式分解的是（）A． B． C． D．【考點】因式分解的意義．【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，結合選項進行判斷即可．【解答】解：A、符合因式分解的定義，故本選項正確；B、結果不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；C、結果不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；D、結果不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；故選A．【點評】本題考查了因式分解的定義，屬于基礎題．2．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）下列方程中，有實數(shù)根的是（）A． B． C．x3+3=0 D．x4+4=0【考點】無理方程．【分析】根據(jù)任何數(shù)的算術平方根以及偶次方一定是非負數(shù)即可作出判斷．【解答】解：A、≥0，因而方程一定無解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，則﹣x＜0，故原式一定不成立，方程無解；C、x3+3=0，則x=﹣，故選項正確；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程無解．故選C．【點評】本題考查了任何數(shù)的算術平方根以及偶次方一定是非負數(shù)．3．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）函數(shù)y=kx﹣k﹣1（常數(shù)k＞0）的圖象不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．【分析】根據(jù)k的取值范圍確定﹣k﹣1的符號，從而確定一次函數(shù)不經(jīng)過的象限．【解答】解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y=kx﹣k﹣1（常數(shù)k＞0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選B．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是牢記比例系數(shù)對函數(shù)圖象的影響．4．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）已知一組數(shù)據(jù)3、4、4、5、6、7、4、7，那么這組數(shù)據(jù)的（）A．中位數(shù)是5.5，眾數(shù)是4 B．中位數(shù)是5，平均數(shù)是5C．中位數(shù)是5，眾數(shù)是4 D．中位數(shù)是4.5，平均數(shù)是5【考點】眾數(shù)；加權平均數(shù)；中位數(shù)．【分析】根據(jù)定義分別求出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，然后作出選擇．【解答】解：平均數(shù)=（3+4+4+5+6+7+4+7）÷8=5，中位數(shù)是（4+5）÷2=4.5，在這組數(shù)據(jù)中4出現(xiàn)3次，最多，則眾數(shù)是4．故選D．【點評】本題考查的是平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標．解答平均數(shù)應用題的關鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應的總份數(shù)．5．（4分）（2013?老河口市模擬）如果?ABCD的對角線相交于點O，那么在下列條件中，能判斷?ABCD為菱形的是（）A．∠OAB=∠OBA B．∠OAB=∠OBC C．∠OAB=∠OCD D．∠OAB=∠OAD【考點】菱形的判定．【分析】①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠OAB=∠ACD，∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故選D．【點評】本題考查菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．6．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）一個圖形沿一條直線翻折后再沿這條直線的方向平移，我們把這樣的圖形運動稱為圖形的翻移，這條直線稱為翻移線．如圖△A2B2C2是由△ABC沿直線l翻移后得到的．在下列結論中，圖形的翻移所具有的性質(zhì)是（）A．各對應點之間的距離相等 B．各對應點的連線互相平行C．對應點連線被翻移線平分 D．對應點連線與翻移線垂直【考點】幾何變換的類型．【專題】新定義．【分析】根據(jù)圖象的翻折和平移的性質(zhì)得出對應點連線被翻移線平分．【解答】解：∵如圖所示：△A2B2C2是由△ABC沿直線l翻移后得到的，∴圖形的翻移所具有的性質(zhì)是：對應點連線被翻移線平分．故選：C．【點評】此題主要考查了幾何變換的類型，根據(jù)翻折和平移的性質(zhì)得出是解題關鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直接填寫答案]7．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）計算：=．【考點】分數(shù)指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】原式利用分數(shù)指數(shù)冪法則計算即可得到結果．【解答】解：原式==．故答案為：【點評】此題考查了分數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．（4分）（2015?楊浦區(qū)三模）不等式組的解集是x＞2．【考點】解一元一次不等式組．【專題】計算題．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞；由②得，x＞2，故此不等式組的解集為：x＞2．故答案為：x＞2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．9．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，則這個數(shù)是±1．【考點】倒數(shù)．【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可知如果一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，則這個數(shù)是±1．【解答】解：如果一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身，則這個數(shù)是±1．故答案為：±1．【點評】主要考查了倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．要求掌握并熟練運用．尤其是±1這兩個特殊的數(shù)字．10．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果關于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是m＞10．【考點】根的判別式．【分析】該方程沒有實數(shù)根，所以根的判別式△=b2﹣4ac＜0，據(jù)此列出關于m的不等式，通過解不等式即可求得m的取值范圍．【解答】解：∵關于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0沒有實數(shù)根，∴△=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，即40﹣4m＜0，解得，m＞10．故答案是：m＞10．【點評】本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△=b2﹣4ac的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．11．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果點A（﹣1，2）在一個正比例函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么y隨著x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”）．【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】首先設正比例函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），再把（﹣1，2）點代入函數(shù)解析式，算出k的值，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：設正比例函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），∵過點（﹣1，2），∴2=k×（﹣1），解得k=﹣2，故正比例函數(shù)解析式為：y=﹣2x，∵k=﹣2＜0，∴y隨著x的增大而減小，故答案為：減小．【點評】此題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是掌握正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點的一條直線．當k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?2．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）將拋物線y=2x2+1向右平移3個單位，所得拋物線的表達式是y=2（x﹣3）2+1．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】求出平移前后的兩個拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式形式寫出即可．【解答】解：拋物線y=2x2+1的頂點坐標為（0，1），向右平移3個單位后的頂點坐標是（3，1），所以，平移后得到的拋物線的表達式是y=2（x﹣3）2+1．故答案為：y=2（x﹣3）2+1．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變換確定出函數(shù)解析式是此類題目常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運用，平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．13．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）某校200名學生一次數(shù)學測試的分數(shù)均大于75且小于150，分數(shù)段的頻數(shù)分布情況如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135～150有35人（其中每個分數(shù)段可包括最小值，不包括最大值），那么測試分數(shù)在120～135分數(shù)段的頻率是0.25．【考點】頻數(shù)與頻率．【分析】根據(jù)已知75～90、90～105、105～120、135～150的頻數(shù)，求出120～135分數(shù)段的頻數(shù)，然后根據(jù)頻率=即可求出測試分數(shù)在120～135分數(shù)段的頻率．【解答】解：120～135分數(shù)段的頻數(shù)=200﹣15﹣42﹣58﹣35=50人，則測試分數(shù)在120～135分數(shù)段的頻率==0.25．故答案為：0.25．【點評】本題考查了頻數(shù)和頻率的知識，注意：每個小組的頻數(shù)等于數(shù)據(jù)總數(shù)減去其余小組的頻數(shù)，即各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，頻率=．14．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）從點數(shù)為1、2、3、4、5的五張撲克牌中隨機摸出兩張牌，摸到的兩張牌的點數(shù)之和為素數(shù)的概率是．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】首先畫樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與摸到的兩張牌的點數(shù)之和為素數(shù)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結果，摸到的兩張牌的點數(shù)之和為素數(shù)的有10種情況，∴摸到的兩張牌的點數(shù)之和為素數(shù)的概率是：=．故答案為：．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，，那么=．【考點】*平面向量．【分析】先畫出示意圖，過點D作DE∥AB交BC于點E，則可表示出、，從而可得出．【解答】解：過點D作DE∥AB交BC于點E，則BE=AD，∵AD∥BC，BC=3AD，=，∴==，又∵==，∴=﹣﹣=﹣﹣．故答案為：﹣﹣．【點評】本題考查了平面向量及平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎題，解答本題的關鍵是作出輔助線，將向量轉(zhuǎn)移到一個三角形里面計算．16．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）如果⊙O1與⊙O2內(nèi)含，O1O2=4，⊙O1的半徑是3，那么⊙O2的半徑的取值范圍是r＞7．【考點】圓與圓的位置關系．【分析】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內(nèi)含，則知兩圓圓心距d＜R﹣r，分兩種情況進行討論．【解答】解：根據(jù)題意兩圓內(nèi)含，故知r﹣3＞4，解得r＞7．故答案為：r＞7．【點評】本題考查了由數(shù)量關系來判斷兩圓位置關系的方法．兩圓外離，則P＞R+r；外切，則P=R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P=R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．17．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在△ABC中，∠A=40°，△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)后點C落在邊AB上的點C′，點B落到點B′，如果點C、C′、B′在同一直線上，那么∠B的度數(shù)是30°．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】作出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，∠B′AC′=∠BAC，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠AC′C，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠AB′C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABC=∠AB′C′，從而得解．【解答】解：如圖，∵△AB′C′是△ABC旋轉(zhuǎn)得到，∴AC=AC′，∠B′AC′=∠BAC=40°，∴∠AC′C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣40°）=70°，∵點C的對應點C′落在AB上，∴∠AB′C′=∠AC′C﹣∠B′AC′=70°﹣40°=30°．故答案為：30°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．18．（4分）（2013?靜安區(qū)二模）在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，四邊形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH與正方形ABCD的面積比是．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，由正方形性質(zhì)得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四個三角形都為等腰直角三角形，再由等腰直角三角形BEF與等腰直角三角形CFG相似，且相似比為2：1，得到BE=BF=DH=DG=2AE=2AH=2CG=2CF，設正方形邊長為3a，表示出BE，BF，以及AH，AE，利用勾股定理表示出EF與EH，進而表示出矩形EFGH的面積，即可求出矩形與正方形面積之比．【解答】解：由正方形的性質(zhì)得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四個三角形都為等腰直角三角形，∵△BEF∽△CFG，EF=2FG，設正方形的邊長為3a，即S正方形ABCD=9a2，則BE=BF=DH=DG=2a，AE=AH=CG=CF=a，根據(jù)勾股定理得：EF=2a，EH=a，∴S矩形EFGH=EF?EH=4a2，則矩形EFGH與正方形ABCD的面積比是．故答案為：【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）[將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位置上]19．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）化簡：，并求當時的值．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題．【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義將原式化為兩分式的和，再通過分后相加即可．【解答】解：原式==+==．當時，原式=．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟悉負整數(shù)指數(shù)冪及通分和因式分解是解題的關鍵．20．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）解方程組：．【考點】高次方程．【分析】先把原方程進行變形，得到x+2y=±3，和x﹣y=0或x+y﹣4=0，再重新組合得出4個二元一次方程組，再分別解方程組即可．【解答】解：，由（1）得：x+2y=±3，由（2）得：x﹣y=0或x+y﹣4=0，原方程組可化為，，，，解得原方程組的解是，，，．【點評】此題考查了高次方程，關鍵是通過把兩個方程分解，得到4個二元一次方程組，再根據(jù)求方程的步驟進行求解．21．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對角線AC、BD相交于點E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=．求：（1）∠DBC的余弦值；（2）DE的長．【考點】梯形；勾股定理；平行線分線段成比例；解直角三角形．【分析】（1）根據(jù)cot∠ADB=，可求出AD的長度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，繼而可得出∠DBC的余弦值；（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的長度，再由平行線分線段成比例的知識可求出DE的長．【解答】解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB=，∴=，則AD=16，∴BD===20，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB===；（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC=，即=，解得：BC=25，∵AD∥BC，∴==，∴=，∴DE=×BD=×20=．【點評】本題考查了梯形、勾股定理及平行線分線段成比例的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的方法，能正確表示角的三角函數(shù)．22．（10分）（2013?靜安區(qū)二模）一輛高鐵列車與另一輛動車組列車在1320公里的京滬高速鐵路上運行時，高鐵列車比動車組列車平均速度每小時快99公里，用時少3小時，求這輛高鐵列車全程的運行時間和平均速度．【考點】分式方程的應用．【分析】設這輛高鐵列車全程的運行時間為x小時，則那輛動車組列車全程的運行時間為（x+3）小時，根據(jù)條件建立方程求出其解就可以得出結論．【解答】解：設這輛高鐵列車全程的運行時間為x小時，則那輛動車組列車全程的運行時間為（x+3）小時，由題意，得，．x2+3x﹣40=0，x1=5，x2=﹣8．經(jīng)檢驗：它們都是原方程的根，但x=﹣8不符合題意．當x=5時，．答：這輛高鐵列車全程的運行時間為5小時，平均速度264公里/小時．【點評】本題考查了列分式方程解實際問題的運用及分式方程的解法的運用，解答時根據(jù)條件建立方程是關鍵，解答時對求出的根必須檢驗，這是解分式方程的必要步驟．23．（12分）（2013?靜安區(qū)二模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊AC、AB上，DA=DB，BD與CE相交于點F，∠AFD=∠BEC．求證：（1）AF=CE；（2）BF2=EF?AF．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法得出△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答案；（2）根據(jù)∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，得出△EFA∽△EAC，進而求出，即可得出BF2=EF?AF．【解答】（1）證明：∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，∵∠AFD=∠BEC，∴180°﹣∠AFD=180°﹣∠BEC，即∠BFA=∠AEC．∵在△BFA和△AEC中，∴△BFA≌△AEC（AAS）．∴AF=CE．（2）解：∵△BFA≌△AEC，∴BF=AE．∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．∴．∴EA2=EF?CE．∵EA=BF，CE=AF，∴BF2=EF?AF．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定，根據(jù)已知得出∠BFA=∠AEC是解題關鍵．24．（12分）（2013?靜安區(qū)二模）已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，AH=5，CD=，點E在⊙O上，射線AE與射線CD相交于點F，設AE=x，DF=y．（1）求⊙O的半徑；（2）如圖，當點E在弧AD上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）如果EF=，求DF的長．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）連接OD，設⊙O的半徑OA=OD=r，根據(jù)垂徑定理得DH=DC=2，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r2﹣（5﹣r）2=（2）2，然后解方程即可得到圓的半徑；（2）作OG⊥AE，垂足為G，根據(jù)垂徑定理得AG=AE=x且易得△AOG∽△AFH，則AG：AH=AO：AF，可解得AF=，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH==，然后利用DF=FH﹣DH即可得到y(tǒng)與x的關系式，當E與D重合時，x最大，則有0＜x≤3；（3）分類討論：當點E在弧AD上時，由AF﹣AE=EF可解出x=6，再代入y與x的關系式中得到DF=；當點E在弧DB上時，由AE﹣AF=EF，可求得x=，然后根據(jù)勾股定理計算出BE=，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH=，所以DF=DH﹣FH=2﹣；當點E在BC弧上時，同上得FH=，然后利用DF=DH+FH計算即可．【解答】解：（1）連接OD，設⊙O的半徑OA=OD=r，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴DH=DC=×4=2，在Rt△OHD中，∵OD2﹣OH2=DH2，OH2=（AH﹣OA）2=（5﹣r）2，∴r2﹣（5﹣r）2=（2）2，解得r=，∴⊙O的半徑為；（2）作OG⊥AE，垂足為G，如圖，∴AG=AE=x，∴△AOG∽△AFH，∴AG：AH=AO：AF，即x：5=：AF，解得AF=，∴FH===，∵DF=FH﹣DH，∴y關于x的函數(shù)解析式為y=﹣2，定義域為0＜x≤3；（3）當點E在弧AD上時，如圖，∵AF﹣AE=EF，即﹣x=，化為整式方程得2x2+3x﹣90=0，解得x1=﹣（舍去），x2=6，∴DF=y=﹣2=；當點E在弧DB上時，如圖，∵AE﹣AF=EF，即x﹣=，化為整式方程得2x2﹣3x﹣90=0，解得x1=，x2=﹣6（舍去），∵AB為直徑，∴∠E=90°，∴△AHF∽△AEB，BE==，∴FH：BE=AH：AE，即FH：=5：，解得F