2014年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2014年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）在比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實際距離為（）A．10m B．25m C．100m D．10000m2．（4分）（2011?溫州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）A． B． C． D．3．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）拋物線的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）4．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，下列選項中可能是它大致圖象的是（）A． B． C． D．5．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）下列命題中是假命題的是（）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則6．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三邊長為3、4、5，如果△DEF的周長為6，那么下列不可能是△DEF一邊長的是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知，則的值為．8．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：=．9．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC=10，AE=4，則BC=．10．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，聯(lián)結(jié)AE、BD，且AE、BD交于點F，若DE：EC=2：3，則S△DEF：S△ABF=．11．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，若點A的坐標為，則點B的坐標為．12．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如果拋物線y=（x+3）2+1經(jīng)過點A（1，y1）和點B（3，y2），那么y1與y2的大小關(guān)系是y1y2（填寫“＞”或“＜”或“=”）．13．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值為．14．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）在高位100米的樓頂測得地面上某十字路口的俯角為β，那么樓底到這個十字路口的水平距離是米（用含β的代數(shù)式表示）．15．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AD是中線，G是重心，=，=，那么=．（用、表示）16．（4分）（2014?石家莊模擬）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=．17．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）將二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移2個單位再向下平移4個單位，所得函數(shù)表達式是y=3（x+2）2﹣4，我們來解釋一下其中的原因：不妨設(shè)平移前圖象上任意一點P經(jīng)過平移后得到點P′，且點P′的坐標為（x，y），那么P’點反之向右平移2個單位，再向上平移4個單位得到點P（x+2，y+4），由于點P是二次函數(shù)y=3x2的圖象上的點，于是把點P（x+2，y+4）的坐標代入y=3x2再進行整理就得到y(tǒng)=3（x+2）2﹣4．類似的，我們對函數(shù)的圖象進行平移：先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為．18．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，點P在BC邊上，CP=3，點Q為線段AP上的動點，射線BQ與矩形ABCD的一邊交于點R，且AP=BR，則=．三、解答題：19．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：．20．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，點D、E分別在△ABC的邊BA、CA的延長線上，且DE∥BC，，F(xiàn)為AC的中點．（1）設(shè)，，試用的形式表示、；（x、y為實數(shù)）（2）作出在、上的分向量．（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）21．（10分）（2014?靜?？h模擬）某商場為了方便顧客使用購物車，將滾動電梯由坡角30°的坡面改為坡度為1：2.4的坡面．如圖，BD表示水平面，AD表示電梯的鉛直高度，如果改動后電梯的坡面AC長為13米，求改動后電梯水平寬度增加部分BC的長（結(jié)果保留根號）．22．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知：如圖，△ABC中，點D、E是邊AB上的點，CD平分∠ECB，且BC2=BD?BA．（1）求證：△CED∽△ACD；（2）求證：．23．（12分）（2014?徐匯區(qū)一模）在△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．（1）求證：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．24．（12分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、C，經(jīng)過A、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的負半軸上另一交點為B，且tan∠CBO=3．（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點D的坐標；（2）若點P是射線BD上一點，且以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．25．（14分）（2014?南安市二模）如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，cosB=，點P是BC邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)AP，取AP的中點M，將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PN，聯(lián)結(jié)AN，NC．（1）當點N恰好落在BC邊上時，求NC的長；（2）若點N在△ABC內(nèi)部（不含邊界），設(shè)BP=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域；（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的長．

2014年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）在比例尺為1：2000的地圖上測得A、B兩地間的圖上距離為5cm，則A、B兩地間的實際距離為（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【考點】比例線段．【專題】計算題．【分析】設(shè)A、B兩地間的實際距離為xm，根據(jù)比例線段得=，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)A、B兩地間的實際距離為xm，根據(jù)題意得=，解得x=100．所以A、B兩地間的實際距離為100m．故選C．【點評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．2．（4分）（2011?溫州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對邊比上斜邊，求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA===．故選A．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）拋物線的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標．【解答】解：因為的是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（2，﹣3）．故選B．【點評】此題考查了二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)：拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k）．4．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，下列選項中可能是它大致圖象的是（）A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)拋物線對稱軸位置和a，b的關(guān)系以及利用圖象開口方向與a的關(guān)系，得出圖象開口向下，對稱軸經(jīng)過x軸正半軸，利用圖象與y軸交點和c的符號，進而得出答案．【解答】解：∵拋物線y=ax2+3x+（a﹣2），a是常數(shù)且a＜0，∴圖象開口向下，a﹣2＜0，∴圖象與y軸交于負半軸，∵a＜0，b=3，∴拋物線對稱軸在y軸右側(cè)．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正確把握圖象對稱軸位置與a，b的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）下列命題中是假命題的是（）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則【考點】*平面向量．【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)對每一項分別進行分析，即可得出答案．【解答】解：A、若，則，是真命題；B、2（﹣）=2﹣2，是真命題；C、若=﹣，則∥，是真命題；D、若||=||，則不一定等于，故原命題是假命題；故選D．【點評】此題考查了平面向量，掌握向量的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，注意向量包括長度及方向．6．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三邊長為3、4、5，如果△DEF的周長為6，那么下列不可能是△DEF一邊長的是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】由△ABC的三邊長為2、3、4，即可求得△ABC的周長，然后根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比得出兩三角形的相似比，再把各選項中的值與相似比相乘即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC的三邊長為3、4、5，∴△ABC的周長=12，∴==2，A、1.5×2=3，與△ABC一邊長相符，故本選項正確；B、2×2=4，與△ABC一邊長相符，故本選項正確；C、2.5×2=5，與△ABC一邊長相符，故本選項正確；D、3×2=6，故本選項錯誤．故選D．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知，則的值為．【考點】比例的性質(zhì)．【分析】用a表示出b，然后代入比例式進行計算即可得解．【解答】解：∵=，∴b=a，∴==．故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，用a表示出b是解題的關(guān)鍵．8．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：=5﹣．【考點】*平面向量．【分析】直接利用整式加減的運算法則求解可求得答案．【解答】解：=2+2+3﹣3=5﹣．故答案為：5﹣．【點評】此題考查了平面向量的知識．此題比較簡單，注意掌握平面向量的運算．9．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC=10，AE=4，則BC=15．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】首先利用角平分線的性質(zhì)和兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)求證出△EDC是等腰三角形，然后再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求解．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠DCB，又∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC是等腰三角形．即ED=EC=AC﹣AE=10﹣4=6．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC=5×6÷2=15，故答案為15．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．本題關(guān)鍵是找出內(nèi)錯角，求出△DEC為等腰三角形，從而求解．10．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，聯(lián)結(jié)AE、BD，且AE、BD交于點F，若DE：EC=2：3，則S△DEF：S△ABF=4：25．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB=CD，即可證得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△DEF∽△BAF，∴=（）2，∵DE：EC=2：3，∴DE：CD=DE：AB=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25．故答案為：4：25．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，若點A的坐標為，則點B的坐標為（2，）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由于AB與x軸平行，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對稱性得到點A與點B關(guān)于直線x=1對稱，然后寫出B點坐標．【解答】解：∵AB與x軸平行，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，∴點A與點B關(guān)于直線x=1對稱，而點A的坐標為，∴B點坐標為（2，）．故答案為（2，）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．12．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如果拋物線y=（x+3）2+1經(jīng)過點A（1，y1）和點B（3，y2），那么y1與y2的大小關(guān)系是y1＜y2（填寫“＞”或“＜”或“=”）．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】分別把點A、B的橫坐標代入函數(shù)解析式進行計算即可判斷．【解答】解：x=1時，y1=（1+3）2+1=16+1=17，x=3時，y2=（3+3）2+1=36+1=37，∵17＜37，∴y1＜y2．故答案為：＜．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確計算是解題的關(guān)鍵．13．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值為．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】求出∠ABC=∠ADB=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=∠DBC，解直角三角形求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥BC，∴DC⊥BC，∠ABC=90°，∴∠C=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵CD=1，BC=3，∴∠A的正切值為tanA=tan∠DBC==，故答案為：．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠A=∠DBC和求出tan∠DBC=．14．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）在高位100米的樓頂測得地面上某十字路口的俯角為β，那么樓底到這個十字路口的水平距離是米（用含β的代數(shù)式表示）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】首先作出示意圖，然后利用三角函數(shù)即可求解．【解答】解：因為俯角是β，則在直角△ABC中，∠A=β，∵tanA=，∴AC==．故答案是：．【點評】本題考查了俯角的定義以及三角函數(shù)，正確理解俯角的定義是關(guān)鍵．15．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AD是中線，G是重心，=，=，那么=．（用、表示）【考點】*平面向量；三角形的重心．【專題】計算題．【分析】根據(jù)重心定理求出，再利用三角形法則求出即可．【解答】解：根據(jù)三角形的重心定理，AG=AD，于是==．故=﹣=﹣．故答案為：﹣．【點評】此題考查了平面向量的三角形法則和重心定理（三角形的重心是各中線的交點，重心定理是說三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的），難度不大．16．（4分）（2014?石家莊模擬）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】過A作AD⊥BC于D，求出BD，根據(jù)勾股定理求出AD，解直角三角形求出即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，BC=8，∴∠ADB=90°，BD=BC=4，由勾股定理得：AD==3，∴sinB==，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．17．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）將二次函數(shù)y=3x2的圖象向左平移2個單位再向下平移4個單位，所得函數(shù)表達式是y=3（x+2）2﹣4，我們來解釋一下其中的原因：不妨設(shè)平移前圖象上任意一點P經(jīng)過平移后得到點P′，且點P′的坐標為（x，y），那么P’點反之向右平移2個單位，再向上平移4個單位得到點P（x+2，y+4），由于點P是二次函數(shù)y=3x2的圖象上的點，于是把點P（x+2，y+4）的坐標代入y=3x2再進行整理就得到y(tǒng)=3（x+2）2﹣4．類似的，我們對函數(shù)的圖象進行平移：先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為y=+3．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)題目信息，設(shè)平移前圖象上任意一點P經(jīng)過平移后得到點P′，且點P′的坐標為（x，y），那么P′點反之向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到點P（x﹣1，y﹣3），然后代入原函數(shù)解析式整理即可得解．【解答】解：設(shè)平移前圖象上任意一點P經(jīng)過平移后得到點P′，且點P′的坐標為（x，y），那么P′點反之向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到點P（x﹣1，y﹣3），把點P坐標代入函數(shù)y=得，y﹣3=，整理得，y=+3．故答案為：y=+3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．18．（4分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，點P在BC邊上，CP=3，點Q為線段AP上的動點，射線BQ與矩形ABCD的一邊交于點R，且AP=BR，則=1或．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】當R在AD上時，如圖1，由條件可以得出△ABP≌△BAR，就可以得出BP=AR，在得出△BQP≌△RQA就可以得出BQ=RQ就可以得出結(jié)論；當R在CD上時，如圖2，作QE⊥BC于E，設(shè)PE=x，可以得出QE=x，由相似三角形的性質(zhì)可以求出x的值就可以求出BQ和RQ的值而得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=9．AD∥BC，∴∠RAQ=∠BPQ，∠ARQ=∠PBQ．∵CP=3，∴BP=6．在Rt△ABP中由勾股定理，得AP=10．∵AP=BR，∴BR=10．在Rt△ABP和Rt△BAR中∴Rt△ABP≌Rt△BAR（HL），∴BP=AR．在△AQR和△PQB中，∴△AQR≌△PQB（ASA），∴QR=QB，∴=1；當R在CD上時，如圖2，作QE⊥BC于E，設(shè)PE=x，∴，∴，∴QE=x．在Rt△BRC中，由勾股定理，得CR=．∵，∴，∴x=，∴BE=6﹣=．∵，∴，∴BQ=，∴RQ=10﹣=．∴=．故答案為：1或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，比例的運用，解答時運用比例線段求解是關(guān)鍵．三、解答題：19．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）計算：．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式==．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．20．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，點D、E分別在△ABC的邊BA、CA的延長線上，且DE∥BC，，F(xiàn)為AC的中點．（1）設(shè)，，試用的形式表示、；（x、y為實數(shù)）（2）作出在、上的分向量．（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）【考點】*平面向量．【分析】（1）由DE∥BC，，F(xiàn)為AC的中點，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例與三角形法則，即可求得答案；（2）利用平行四邊形法則，即可作出在、上的分向量．⊥【解答】解：（1）∵，F(xiàn)為AC的中點，∴===，∵，∴=﹣=﹣，=+=+；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AE：AC，∵，∴==（+）=+；（2）如圖：過點F作FN∥AB，交BC于點N，F(xiàn)M∥AB交AB于點M，則與即為所求．【點評】此題考查了平面向量的知識．此題難度適中，注意掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（10分）（2014?靜海縣模擬）某商場為了方便顧客使用購物車，將滾動電梯由坡角30°的坡面改為坡度為1：2.4的坡面．如圖，BD表示水平面，AD表示電梯的鉛直高度，如果改動后電梯的坡面AC長為13米，求改動后電梯水平寬度增加部分BC的長（結(jié)果保留根號）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【分析】在Rt△ADC中，已知了坡面AC的坡比以及坡面AC的值，通過勾股定理可求AD，DC的值，在Rt△ABD中，根據(jù)坡角為30°，求出坡面AC的坡比可求BD的值，再根據(jù)BC=DC﹣BD即可求解．【解答】解：在Rt△ADC中，∵AD：DC=1：2.4，AC=13，由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132．∴AD=±5（負值不合題意，舍去）．∴DC=12．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD：BD=：3，∴BD==5．∴BC=DC﹣BD=12﹣5．答：改動后電梯水平寬度增加部分BC的長為（12﹣5）米．【點評】本題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力，熟練運用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．22．（10分）（2014?徐匯區(qū)一模）已知：如圖，△ABC中，點D、E是邊AB上的點，CD平分∠ECB，且BC2=BD?BA．（1）求證：△CED∽△ACD；（2）求證：．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由BC2=BD?BA，∠B是公共角，可證得△BCD∽△BAC，又由CD平分∠ECB，可得∠ECD=∠A，繼而證得：△CED∽△ACD；（2）由△BCD∽△BAC與△CED∽△ACD，可得=，=，繼而證得．【解答】證明：（1）∵BC2=BD?BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（12分）（2014?徐匯區(qū)一模）在△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．（1）求證：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由DE⊥BC，D是BC的中點，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可證得△ABC∽△FCD；（2）首先過A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．【解答】（1）證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：過A作AG⊥CD，垂足為G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（12分）（2014?徐匯區(qū)一模）如圖，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、C，經(jīng)過A、C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的負半軸上另一交點為B，且tan∠CBO=3．（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點D的坐標；（2）若點P是射線BD上一點，且以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）利用直線解析式求出點A、C的坐標，從而得到OA、OC，再根據(jù)tan∠CBO=3求出OB，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，整理成頂點式形式，然后寫出點D的坐標；（2）根據(jù)點A、B的坐標求出AB，判斷出△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC，∠BAC=45°，再根據(jù)點B、D的坐標求出∠ABD=45°，然后分①AB和BP是對應(yīng)邊時，△ABC和△BPA相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點P的坐標即可；②AB和BA是對應(yīng)邊時，△ABC和△BAP相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點P的坐標即可．【解答】解：（1）令y=0，則x+3=0，解得x=﹣3，令x=0，則y=3，∴點A（﹣3，0），C（0，3），∴OA=OC=3，∵tan∠CBO==3，∴OB=1，∴點B（﹣1，0），把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式得，，解得，∴該拋物線的解析式為y=x2+4x+3，∵y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，∴頂點D（﹣2，﹣1）；（2）∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），∴AB=﹣1﹣（﹣3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=OA=3，∠BAC=45°，∵B（﹣1，0），D（﹣2，﹣1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是對應(yīng)邊時，△ABC∽△BPA，∴=，即=，解得BP=，過點P作PE⊥x軸于E，則BE=PE=×=，∴OE=1+=，∴點P的坐標為