2022年高三數(shù)學(xué)下期完整試卷

選擇題

已知集合4N65xv-4},集合B={.小40},則”'3)=()

A.(-LO)B.(T4)C.(L4)D.94)

【答案】C

【解析】

化簡集合X，求出《8,再根據(jù)交集運(yùn)算可得結(jié)果.

A={x|-5x+4<0}={x|l<4},

8={邛0},。={4>0},

<n(Q3)=31v、v4}c{xI戈A0}=(L4).

故選：C

選擇題

已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)以-獷的共輾復(fù)數(shù)為()

A.5—由B.5+4iC.3—1/D.3+4?

【答案】D

【解析】

根據(jù)完全平方公式化簡復(fù)數(shù)后，再根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

12Tli=4一++,=3-4"

所以復(fù)數(shù)12-"的共帆復(fù)數(shù)為3+用，

故選：D

選擇題

已知等差數(shù)列MJ中，前n項(xiàng)和凡滿足*-5產(chǎn)42,則d的值是（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】

根據(jù)前H項(xiàng)和的定義可得丐+%-q+a+%-4-%=42,再根據(jù)等差數(shù)

列的性質(zhì)可得結(jié)果.

因?yàn)?-與=42,所以++%=42,

又｛4｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得為，=42,

所以。，=6;

故選：B

選擇題

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比

增長率一般是指和前一時(shí)期相比較的增長率.2020年2月29日人民網(wǎng)

發(fā)布了我國2019年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)圖表，根據(jù)2019

年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)折線圖，下列說法正確的是()

A.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2018年同期相比有漲有跌

B.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格中2月消費(fèi)價(jià)格最高

C.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格逐月遞增

D.2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格3月份較2月份有所下降

【答案】D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)折線圖以及同比和環(huán)比的概念，對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析可得答

案.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)折線圖以及同比增長率的概念可知2019年我國居民每月消

費(fèi)價(jià)格與2018年同期相比都是上漲的，故A不正確；

2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格中2月消費(fèi)價(jià)格漲幅最高，不是消費(fèi)

價(jià)格最高，故B不正確；

2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格有漲有跌，故C.不正確；

2019年我國居民每月消費(fèi)價(jià)格3月份較2月份有所下降，下降了0.4

個(gè)百分點(diǎn)，故D正確.

故選：D

選擇題

已知雙曲線y離心率為3,則雙曲線c的漸近線

方程為（）

，+立.6

A.1-~XB..v=±V2xC..v=i2^2xD.>'=±7'

【答案】C

【解析】

根據(jù)0根VM-可得匚一’2,再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得結(jié)

果.

cla:+b'br

因?yàn)?Hh^=3,所以廠2萬，

由雙曲線的幾何性質(zhì)可得漸近線方程為：￥=±2△，

故選：C

選擇題

已知向量5,2的夾角為羊，￡=（口），斗+2旬=0,則同等于（）

姮2-715

A.V5B.2^5C.亍D.3

【答案】A

【解析】

將）仿+23=°化為東+2提3=o,根據(jù)模長公式和平面向量的數(shù)量積的

定義可得結(jié)果.

因?yàn)椤?（12）,所以I/=#+4=君,

因?yàn)?6+2可=0,所以才+2/￡=0,

所以5+2技由3+0,解得|昨百,

故選：A

選擇題

勞動(dòng)教育是中國特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，某高中計(jì)劃組織

學(xué)生參與各項(xiàng)職業(yè)體驗(yàn)，讓學(xué)生在勞動(dòng)課程中掌握一定勞動(dòng)技能，理

解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，培養(yǎng)勞動(dòng)自立意識和主動(dòng)服務(wù)他人、服務(wù)社會(huì)的情

懷.學(xué)校計(jì)劃下周在高一年級開設(shè)"縫紉體驗(yàn)課"，聘請"織補(bǔ)匠人"李阿

姨給同學(xué)們傳授織補(bǔ)技藝。高一年級有6個(gè)班，李阿姨每周一到周五

只有下午第2節(jié)課的時(shí)間可以給同學(xué)們上課，所以必須安排有兩個(gè)班

合班上課，高一年級6個(gè)班"縫紉體驗(yàn)課”的不同上課順序有()

A.600種B.3600種C.1200種D.1800種

【答案】D

【解析】

分2步，第一步從6個(gè)班中任意選出2個(gè)班合班，這樣6個(gè)元素變?yōu)?/p>

5個(gè)元素，第二步，5個(gè)元素作全排，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得答案.

第一步，從6個(gè)班中任意選出2個(gè)班合班上課，有密=15鐘；

第二步，5個(gè)班任意安排到5天中，有6=12。種；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同上課順序有15*120=1800種.

故選：D

選擇題

函數(shù)/(田=sill的圖象是由函數(shù)g(x)=cos(01S的圖象向

右平移￡個(gè)單位長度后得到，則下列是函數(shù)】'=g(x)的圖象的對稱軸

方程的為()

式兀R

A.'12B.X=7C.V=iD.x=0

【答案】A

【解析】

乃

根據(jù)圖象的平移法則可得c°eL=8)=sm2x,可得＞0?孫

_JI

KZ,根據(jù)伊的范圍可彳歌二不，再根據(jù)余弦函數(shù)的對稱軸可得出所有

對稱軸，從而可得答案.

函數(shù)上)=3作一同(04。4幻的圖象向右平移看個(gè)單位長度后得到

__幾、_._JU

y=cos[2(zx--)-(p\=cos(2x-----口)

63,

根據(jù)題意可得cosQ'-g-⑺=疝2',

Kjl7T

所以丁叱加kez,所以‘=""+彳，kez,

_JI

又0?然刀，所以°一不,

所以g㈤=儂(2.?1)，

^.lx--=k7T

由r6,AcZ,

_kjv式

得g(x)的對稱軸為：'一三+仃，ktZ,

.71

左=0時(shí)，對稱軸是：12,

故選：A

選擇題

X"v"j

已知橢圓a?b-b°’的離心率為5,左，右焦點(diǎn)分別為4,公，

過左焦點(diǎn)可作直線與橢圓在第一象限交點(diǎn)為P,若△尸尸區(qū)為等腰三角

形，則直線尸耳的斜率為()

472141迪

A.^-B.丁C.4^5D.-7-

【答案】A

【解析】

35

根據(jù)點(diǎn)P在第一象限，得1分；日尸41,根據(jù)離心率為5得“二不，再按

照|咐1=1耳鳥|=2c和I盟H尸陽|?2c兩種情況討論，利用余弦定理和同角

公式可求出直線尸耳的斜率.

因?yàn)辄c(diǎn)p在第一象限,所為MI>WF，

C3_5

因?yàn)椤?=5,所以"1,

__4

當(dāng)|當(dāng)|=|即|=2c時(shí)，?即W-2”鏟滿足?叫|>|尸瑪?,

*2*5165

------L

___________9_7

&25,

澗“4月

所以819，

逑

sin/PF］乙~9~472

tanN尸石石=

cosZF/JF,2

所以9

4也

所以直線尸石的斜率為下

當(dāng)附網(wǎng)尸迷|?2c時(shí)，“=%一附1=2。-2'=尸次|,不符合題意.

472

綜上所以直線尸耳的斜率為—F.

故選：A

選擇題

已知函數(shù)/(')的圖象如圖所示，則函數(shù)/(X)的解析式可能是()

cy=-sni(，7.TlDv,=|.v|(l-r)(r+l|

【答案】C

【解析】

采用排除法，根據(jù)圖象的對稱性排除A和B,根據(jù)函數(shù)在(L+8)的單

調(diào)性可排除D,從而選C

根據(jù)圖象關(guān)于p軸對稱，可知函數(shù)為偶函數(shù)，而.i'=x(iTM)和

為奇函數(shù)，故A、B不正確；

當(dāng)XAl時(shí)，,v=|v|(l-r)(.r+l)=x_^,,V=1-S^<o，所以函數(shù)

.v=N(l-x)(x+l)在(i+碼上遞減，結(jié)合圖象可知D不正確.

故選：C

選擇題

開學(xué)后，某學(xué)校食堂為了減少師生就餐排隊(duì)時(shí)間，特推出即點(diǎn)即取的

米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N，已知小明同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的

米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份15元，面

食套餐的價(jià)格是每份10元，如果小明當(dāng)天選擇了某種套餐，她第二

天會(huì)有80%的可能性換另一種類型的套餐，假如第1天小明選擇了米

飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕝玻o出以下論述：①小明同

學(xué)第二天一定選擇面食套餐；②巧=。68；③

=④前門天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總

2525251r3丫

費(fèi)用數(shù)學(xué)期望為了“看一記.其中正確的是()

A.②④B.①②③C.③④D.②③④

【答案】D

【解析】

第二天選擇面食套餐的可能性為80%,說明①不正確；通過計(jì)算可得

2=068,故②正確；根據(jù)第3天選擇米飯?zhí)撞褪堑诙爝x擇面食套

餐和第二天選擇米飯?zhí)撞瓦@兩個(gè)對立事件的和事件可知③正確；設(shè)

第“天小明同學(xué)午餐花費(fèi)為的，則卬=10+5%，再構(gòu)造等比數(shù)列

3-0*可求蒯=。5+0分(-0.6廣,可得4=12.5+0.5乂(-0.6廣,再利

用等比數(shù)列的求和公式可知④正確.

第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，根?jù)題意小明同學(xué)第二天選擇面食套餐

的可能性為80%,不是100%,所以①不正確；

依題意Pi=l,p,=20%=0.2,則巴=08x08+02x02=068,故②正確;

當(dāng)?shù)冢?-】天選擇米飯?zhí)撞蜁r(shí)，第〃天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?2P.T；

當(dāng)?shù)谔爝x擇面食套餐時(shí)，第〃天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?8。-馬-。,

故外二03,-12”-】)(〃之2.〃WN),故③正確；

設(shè)第”天小明同學(xué)午餐花費(fèi)為小，則4=150+10(1-H)=10+5%，

因?yàn)锳=。"”_]+08口-2一，(〃之2.〃€>1),

所以外=0g-06A_]("N2"WN),

所以Pn-05=-06(p“7-0.5),

所以數(shù)列｛Pn-05]是首項(xiàng)為1-05=05,公比為-06的等比數(shù)列，

所以為-05=0一5★-06廣]，所以外=05+05x(-06)2,

所以q=10+5x0.5+5x0.5x(-06廣=12.5+2.5x(-0.6廣】，

所以前n天小明同學(xué)午餐花費(fèi)的總費(fèi)用數(shù)學(xué)期望為多十%十十卬

，一一l-(-0.6)n252525,3、”_】

"「樂十”'-1項(xiàng)一=5/正-逅x(_?,故④正確.

故選：D

選擇題

已知函數(shù)/⑴二言爪-皿小"-""。)，若函數(shù)〃x)在區(qū)間(S+W內(nèi)

存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是()

01

A.(lB」LF)Ci(0.e]D.B+?)

【答案】B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(*)=e'-M-1,利用導(dǎo)數(shù)證明/=x+l0x=0,將/(x)=0轉(zhuǎn)

化為於產(chǎn)一F=1城g1-*+1]+1,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為ln(?)-x+l=0,再轉(zhuǎn)化為

°=T在區(qū)間(°-+8)內(nèi)有解，利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果.

令g(x)=e”rT,則g(x)=，-l,

當(dāng)x>0時(shí),g'(k)>0,g(0在9m)上遞增，

當(dāng)丫<0時(shí)，gr(x)<0,g。)在(-90)上遞減，

所以1=0時(shí)，g(x)取得最小值g(0)=5-0-1=。，

所以/2?+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，

因?yàn)楹瘮?shù)〃加第十廠1n㈤-2(a>0)〃x)在區(qū)間(0.+/)內(nèi)存在零

點(diǎn)，

所以"切=0,即下1國3)一'叫一1二°,即a%TF=ln30-x+l]+l在

區(qū)間9+功內(nèi)有解,

由上面已證結(jié)論可知，ln(ax)-x+l=0在區(qū)間(。-+8)內(nèi)有解，

_尸

所以O(shè)V=JT在區(qū)間9+笫)內(nèi)有解，即"二一「在區(qū)間(。?+“)內(nèi)有解，

0T

./7(r>=—.

令x,x>0,

(x-l)x-l

則二產(chǎn)，

當(dāng)o<x<1時(shí)，h'M<0,KO在(0.1)內(nèi)遞減,

當(dāng)x〉l時(shí),Mx)在(1.+8)內(nèi)遞增，

所以x=l時(shí),除)取得最小值人⑴：1,

產(chǎn)、

即x>0時(shí)，V-1,

所以0之1.

故選：B

填空題

已知命題pMrwR,使得cos：x+sinx+l>陽，若命題p是假命題，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是.

[2+J

【答案】L4)

【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為對VxGR,m>cos:r+sinx+1恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為不等

式右邊的最大值，再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)可求得最大值，從而可

得結(jié)果.

因?yàn)槊}P是假命題，所以非P：對力CR,加之cos，x+sinx+1怛成立

為真命題，

設(shè)I'=cos：x-sinx+1,貝！］m>,

］,9

中％P=-sifr2X+SUIY+2=-（SUIT--）24--

因?yàn)?4,且-IWsinxS】，

_19

所以當(dāng)皿一彳時(shí)，丁取得最大值，

>9

所以

故答案為：彳Yj

填空題

〃幻=（n>

已知函數(shù)若/⑷=2,貝必=.

7

【答案】2

【解析】

根據(jù)時(shí)，/（。）<2,可知°21,再解方程/（°）=啕（。-］）=2即可得

到答案.

111

因?yàn)楫?dāng)°<1時(shí)，/⑷=2"-5<2-廣相

所以北】，所以八“）=】。氏（"?。?2,

所以a+5=2：=4,所以”;

7_

故答案為：2

填空題

已知卜十口［2'+*的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2,則其展開式中常數(shù)項(xiàng)

是?

【答案】40

【解析】

令可得"T,將卜7J化為+；(*；),利用通

c1、，1

項(xiàng)公式分別求出展開式中的；的系數(shù)與、的系數(shù)，再相加即可

得到結(jié)果.

my

因?yàn)閘xAxj的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2,

所以令*=1可得2(2+行=2,解得。=-1,

所以卜用=(."H)=(2-Q'T，

因?yàn)?'T’的通項(xiàng)公式為“eg尸產(chǎn)’

(，=0.1.2.345),

令5-2八=7,得八=3,令5-2尸=】,得尸=2，

所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是2f(-1>0+25-2.(-以?=40.

故答案為：40

填空題

如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽，它的主題圖案由一連串如圖

所示的直角三角形演化而成.設(shè)其中的第一個(gè)直角△°斗&是等腰三角

形，且44=■0%=???=1T=1,貝ij,。4=71=石，現(xiàn)

將△。乜沿見翻折成△。凡與,則當(dāng)四面體。尸占々體積最大時(shí)，它的表

面有個(gè)直角三角形；當(dāng)尸&=】時(shí)，四面體。兄&*外接球的體

積為.

ICME-7

4

【答案】4丁

【解析】

當(dāng)四面體。匠&4體積最大時(shí)，平面。尸應(yīng)，平面Q&a,由此推出

44,尸&,根據(jù)勾股定理可以推出。尸，尸4,從而可得有4個(gè)直角三

角形，根據(jù)IPO\=\PA2\=\FA|=i,可得點(diǎn)尸在平面。4T內(nèi)的射影是。W的

中點(diǎn)M，且四面體。尸過久的外接球的球心N在直線PM上，根據(jù)勾股

定理可求得外接球的半徑，代入體積公式可求得結(jié)果.

當(dāng)四面體?！?4體積最大時(shí)，平面。尸出,平面Q44,因?yàn)?4_LO&,

所以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面。凡與,所以

44，旗，所以團(tuán)尸&4為直角三角形，所以

卜屈西藥'■舸■板,叉8|=1,|。41=行，

所以|0M=|0PF+llg|2,所以。尸，尸出，所以三角形。尸應(yīng)為直角三角

形，

所以它的表面有4個(gè)直角三角形，

因?yàn)閨PO\=\PA,|=|%|=1,所以點(diǎn)尸在平面。斗&內(nèi)的射影是直角三角形

叫4的外心,

也就是Qg的中點(diǎn)“，且四面體。尸44的外接球的球心N在直線尸M

上，如圖：

容易求得設(shè)I"4HNP|=R,

則在直角三角形M城鼻中，由勾股定理可得|環(huán)閆AM?+|M4|2,

所以上=3管"亭,解得R=1，

4；4

所以四面體。匠44外接球的體積為3”=3,7.

4丁

故答案為：(1)4(2)丁丁

解答題

2百

△的。的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,它的外接圓半徑為丁，

且csinA=AsinB-'fiacosC.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求△/CSC'周長的最大值.

【答案】(1)I;(2)6.

【解析】

(1)利用正弦定理以及已知等式可得csin/=4sin8-■acosC,根據(jù)

sin5=sin(4+C)以及兩角和的正弦公式可得tan八百，根據(jù)可

得3；

(2)根據(jù)看:“夫求得。=2,根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得

6+c<4,從而可得結(jié)果.

_464^3

(1)由正弦定理得，‘一口-smC,a=-5U1-\

代入月=4sm8-^acosC,

化簡得：MnCsinJ=V3(iinS-sin-4cosC),

回sinCsinJ=V3sin(J+C)-QsinAcosC

OsinCsinJ=JcosC4-^3cosJsinC-6sinAcosC

EPsinCsniA=由cosAsmC,

回02(0/)團(tuán)smC.O

it

0^inA=eCMH,§PtanJ=G,又*c(0⑺，團(tuán)“

”_、2>/36

“得"2、『,3=2,由余弦定理得

(2)由sin/

N+i-次cos(=4,即3+c『-3/=4

36c=(b+c)‘4,,Av”

a'\2)回3+，)S】6,

回b+cS4,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c二］.

由a+b+cj=6,

即周長的最大值為6.

解答題

隨著網(wǎng)購人數(shù)的日益增多，網(wǎng)上的支付方式也呈現(xiàn)一種多樣化的狀態(tài),

越來越多的便捷移動(dòng)支付方式受到了人們的青睞，更被網(wǎng)友們評為

“新四大發(fā)明〃之一.隨著人們消費(fèi)觀念的進(jìn)步，許多人喜歡用信用卡購

物，考慮到這一點(diǎn)，一種"網(wǎng)上的信用卡”橫空出世一一螞蟻花吸這是

一款支付寶和螞蟻金融合作開發(fā)的新支付方式，簡單便捷，同時(shí)也滿

足了部分網(wǎng)上消費(fèi)群體在支付寶余額不足時(shí)的“賒購〃消費(fèi)需求.為了

調(diào)查使用螞蟻花唄“賒購〃消費(fèi)與消費(fèi)者年齡段的關(guān)系，某網(wǎng)站對其注

冊用戶開展抽樣調(diào)查，在每個(gè)年齡段的注冊用戶中各隨機(jī)抽取100人,

得到各年齡段使用螞蟻花唄"賒購〃的人數(shù)百分比如圖所示.

(1)由大數(shù)據(jù)可知，在18到44歲之間使用花唄"賒購〃的人數(shù)百分

比y與年齡x成線性相關(guān)關(guān)系，利用統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，以各年齡段

的區(qū)間中點(diǎn)代表該年齡段的年齡，求所調(diào)查群體各年齡段“賒購〃人數(shù)

百分比y與年齡x的線性回歸方程(回歸直線方程的斜率和截距保留

兩位有效數(shù)字)；

(2)該網(wǎng)站年齡為20歲的注冊用戶共有2000人，試估算該網(wǎng)站20

歲的注冊用戶中使用花唄"賒購"的人數(shù)；

(3)已知該網(wǎng)店中年齡段在18-26歲和27-35歲的注冊用戶人數(shù)相

同，現(xiàn)從18到35歲之間使用花唄“賒購”的人群中按分層抽樣的方法

隨機(jī)抽取8人，再從這8人中簡單隨機(jī)抽取2人調(diào)查他們每個(gè)月使用

花唄消費(fèi)的額度，求抽取的兩人年齡都在18到26歲的概率.

-nr,v

參考答案:a-y-bx.

【答案】（1）,v=-OO23.v-HO；（2）1080人；（3）14.

【解析】

(1)根據(jù)公式計(jì)一算出八一0023,薪L0后可得N=-0023r+l0；

(2)將\=20代入＞'=-0023x+10得卜=054,進(jìn)而可得2000x054=1080；

(3)根據(jù)分層抽樣可知隨機(jī)抽取8人，年齡在18到26歲之間有5

人，年齡在27-35之間有3人，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得

結(jié)果.

-22+31+40”-05+0.3+00822

(1)由題意，■■—3—=31,,v=-—=天，

22x05+31x03+40x008-3x31x2,10

；_______________________________71,21214一0(P3

所以"22^31-440--3X31'162°匕，

人22378

“=而+而'"al。，所求線性回歸方程為尸Y023K+10.

(2)由(1)知，該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購〃的人數(shù)

百分比為-0023x20+10=054,Tfn2000x054=1080，

所以估計(jì)該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購〃的人數(shù)為1080人.

(3)依題意，隨機(jī)抽取8人，年齡在18到26歲之間有5人，年齡

在27-35之間有3人，所以抽取的兩人年齡都在18到26歲的概率為

仁105

C；=28=14.

解答題

如圖四棱柱-4BCD-.\B}C}D}中，皿3C,.鉆L4D，，3=,4=2BC,M

為4。的中點(diǎn).

(1)證明：CM〃平面且增4

._萬

(2)若四邊形且"/是菱形，且面，環(huán)空，面1-3,求

二面角4-CM-*的余弦值.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)t.

【解析】

(1)取科的中點(diǎn)N,連接MV,BN,可證四邊形MWC是平行四邊

形，可得進(jìn)一步可證C/門平面國8；

(2)證明,4B,.4。，AP兩兩垂直后，以A為原點(diǎn)，,8，乂。，.4P所

在直線分別為X,V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，-邛匚，利用平面的法

向量可求得結(jié)果.

(1)取且為的中點(diǎn)N,連接MV,B.V,

國M為4。的中點(diǎn)，回MV/!AD且S-1AD

—J_jn

又BCAD,~T，所以MV//BC且MV=3C,

所以四邊形MM3C是平行四邊形，

從而CM/倒,又5Nu平面44氏CM<Z平面必4凡

所以C.W〃平面以4月邑

(2)取，弼的中點(diǎn)P,連接一陽,皿，

團(tuán)四邊形4阻為菱形,又“產(chǎn),一行,易知在1.通

又面.日481面,18C￡),面M&Bn面.MCD=AB,AD1,4B

?平面.然11P

故,48，AD>心兩兩垂直

以A為原點(diǎn)，，4，/D，4所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系」-邛匚(如圖所示)，不妨設(shè)48=4.

則山0.0一0),D(0.4.0),C(420),,4(-2026)“（72詞

卷=(1.2「磯O?=(-5.0.73),荻=(420)

設(shè)平面4cM的法向量為，“=（”;）

x+2j-拒二=0

和4必=0

由［ivCM=0,得〔-5d狀:=0,

刖=1'）

可得平面4CW的一個(gè)法向量

設(shè)平面dCM的法向量為〃=（-）,

?JC=0

由匕.或=0,

閨

n=3J.

可得平面ACM的一個(gè)法向量

1-4+—

WH3

-5

回

2

所以二面角4-CM-H的余弦值為工

解答題

已知拋物線C：/=2PMp>0)的焦點(diǎn)為F,直線N=h+2與拋物線C交

于A,B兩點(diǎn)，若E,則網(wǎng)一麻門火.

(1)求拋物線C的方程；

(2)分別過點(diǎn)A,B作拋物線C的切線4、k若4,4分別交x軸于

點(diǎn)M,N,求四邊形/BMW面積的最小值.

【答案】(1)v=4.1；(2)6vL

【解析】

(1)設(shè)川卬3),則方程》=h+2與拋物線方程聯(lián)立，

可得卜「X卜J4Pm+16p,根據(jù)拋物線的定義可得

網(wǎng)-⑷卜卜-4卜小r1=如+16P=4百解得P=2,可得拋物線C

的方程為?/=".

(2)根據(jù)$=$3-$.刖.=2小工7(2必+3),再換元？=廬工2右得

S=4”-2/,利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，利用單調(diào)性可得最值.

(1)拋物線/=2打(p>0)的焦點(diǎn)為尸1°用，

設(shè)“小凹)，B(xr.v2),則金方程產(chǎn)去+2與拋物線方程聯(lián)立，

整理得xJ2ph-4戶=0,$+t=?pk,X】士=一切，

卜i-xj=再+x2/-4x］與=14/爐+16p

若4=1,根據(jù)拋物線的定義可得

||SF|-|JF||=|.T1->',|=訃-xj=J4Pl+16R=4百，

回尸=2,即拋物線C的方程為X，=41'.

/____,］

(2)由⑴知產(chǎn)彳且馬+々=林，￥2=T,卜］-三卜4布+2,y=jx,

所以切線4的方程為PF=J(xf)即”/一日①

_2_二、

同理切線4的方程為卜一丁吁一了"，②

x,+x,1.

聯(lián)立①②得“?，>'=了￥尸-2

p\；-2I

即切線4與4的交點(diǎn)為I'J2'-

由切線23l”得喉°),同理可得"修9),

s=；乂2乂+-3=1k-=2Q+2

Lu乙/Q/

又琲羽二J1十1小]-AnI=4jl+k>Jk：+2,

d=:_L.+]

點(diǎn)P到直線,48的距離為--\JT7F~1+P

國S.w=1|一4卻"=4"，+21，+2|,

回四邊形,1SMW的面積

22

S=Sfis-=4y/k+2(t*+2)-2-y/k-+2=2+2(2k+3)

令)=信+22應(yīng),貝(JS=4"-21,

出及時(shí)，S'=12--2>0成立,S單調(diào)遞增，

團(tuán)當(dāng)t=我，即k=0時(shí)，四邊形.SN財(cái)?shù)拿娣e的最小值為6企

解答題

已知函數(shù)”“）=一^.

（1）分析函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

+…+上］加341/j、

（2）證明：'2,?-1I2）,”22.

【答案】（1）/（X）在區(qū)間（-L。）和（0+8）上單調(diào)遞減；（2）證明見解

析.

【解析】

r..

------111（1AX）

（1）求導(dǎo)后得八》）=4^，再令g.=亡iW+W,再求

導(dǎo)可得結(jié)果；

（2）根據(jù)/⑴“（2）=號可得1ngi,所以當(dāng)“22時(shí)，

v*T，即\n-1,再米用累加

法可證

ln（l+x）

（1）由題意得：〃x）的定義域?yàn)椋═O）U（O.+8）,且門x）=4~^-----

令我”卜士一崢+幻貝產(chǎn)”"舟，xw（TO）時(shí)，g'（力。；

工€（0,+?）時(shí),g'（x）＜。.即g（x）在（-L0）上單調(diào)遞增,在9+8）上單調(diào)遞

減.

因?yàn)間（0）=0,則在（-L0）和9+8）上為x）V0.

因?yàn)橐唬?，所以在（TO）和（0.+功±/V）＜0,

即函數(shù)/(X)在區(qū)間(-L0)和(0.+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知，當(dāng)0<x42時(shí),⑶昔,即3f啖,

2J121、In3

、“r0<^^-<2,1111+---2---

當(dāng)打22時(shí)，”T，則n'〃-1/〃-1,

(2、hi5

%14-^—=ln("l)-ln(PLl)2--

即\〃一1/n-l,

所以ln(/7+l)-ln(w-l)4-lnw-lii(>?-2)-l-,'41ii4-ln2+ln.3-lnl

/1

21n3［白

1