基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第9章）

主講老師：作業(yè)布置第10章三角計(jì)算第11章數(shù)列第12章平面向量第13章圓錐曲線Mso這些句子都有條件和結(jié)論，都是命題.通要條件.本章我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)如何分析條題他們之間的關(guān)系.給出一個(gè)命題可以判斷滿足什么條件.特稱命題.充分條件、必要條件與充要條件含有一個(gè)量詞的命題的否定命題的相關(guān)概念及其判斷些魚兒游動(dòng)得從容自在，它們真是快樂啊!”惠施說道“你不是魚，從哪里知道魚是快樂的呢?”莊周回答：“你不是我，怎么知道我不了解魚的快樂?”惠施又問談話的開頭，剛才你問我，是從哪里知道魚是快樂的.這說明你是在已經(jīng)知道我了解魚的快樂的前提下才問我的.那么我來告訴你，我是在濠水的岸邊知道魚是快樂的."惠施認(rèn)為莊周“子非魚，子不知魚之樂”,他的這個(gè)觀點(diǎn)是命題嗎?為什么?對(duì)邊是否平行?”是命題嗚?為什么?觀察下列語句.(2)若x2-4=0,則x=±2.(3)9是2的倍數(shù).(4)若a2+b2=1,則a,b均為0.(5)四條邊相等的四邊形是正方形.(6)所有無理數(shù)都是實(shí)數(shù).一般地，在數(shù)學(xué)中我們將用語言、符號(hào)或代數(shù)式表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題.其中，判斷為真的命題稱為真命題，判斷為假的命題稱為假命題.因此，在上面的語句中，(1)、(3)、(5)是假命題，(2)、(4)、(6)是真命題.接下來觀察下列命題.(1)若直線m,n平行，則它們無交點(diǎn)(2)如果a能被3整除，那么a是奇數(shù).(3)若x≠y,則x2≠y2.容易看出，(1)、(4)是真命題；(2)、(3)是假命題.它們都具有“若p,則q”(或“如果p,那么q”)的形式.通常，我們將這種形式命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論(1)矩形的對(duì)角線相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?(1)矩形的對(duì)角線相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?例1例1 下列語句中哪些是命題?哪些是真命題?哪些是假命題?(3)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(4)兩個(gè)全等三角形的面積相等；(6)x>13.分析判斷一個(gè)語句是不是命題，首先要看它是否符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個(gè)條件.解上面6個(gè)語句中，(2)不是陳述句，所以它不是命題；(6)雖然是陳述句，但因?yàn)闊o法判斷它的真假，所以它也不是命題；其余4個(gè)都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中(1)、(4)是真命題，(3)、(5)是假命題.生活中的數(shù)學(xué)若草原荒蕪了，則放牧的牛群過多若放牧的牛群過多，則草原會(huì)荒蕪.若草原沒有荒蕪，則放牧的牛群不是過多的若放牧的牛群不是過多的，則草原不會(huì)荒蕪嘗試分析上面四個(gè)句子之間的關(guān)系.頭腦風(fēng)暴頭腦風(fēng)暴一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們將這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題.如果將其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)就稱為原命題的逆命題.也就是說，如果原命題為”若p,則q”,那么“它的逆命題為“若q,則p”.例如，將命題“若a=b,則a2=b2的條件和結(jié)論互換，就得到它的逆命題“若a2=b2,則a=b.如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們將這樣的兩個(gè)命題稱為互否命題，如果將其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)就稱為原命題的否命題.也就是說，如果原命題為“若p,則q”,那么“它的否命題為“若非p,則非q”.為書寫簡(jiǎn)便，常將否命題記為若"-p,則-q".例如，將命題“若a=b,則a2=b2的條件和結(jié)論互換，就得到它的否命題“若a≠b,則a2≠b2.如果原命題是真命題，那么它的逆命題如果原命題是真命題，那么它的逆命題、否命題和逆否命題一定是真命題嗎?如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們將這樣的兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.如果將其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)就稱為原命題的逆否命題，綜上可知，設(shè)命題“若p,則q”為原命題，則與命題“若q,則p”是原命題的逆命題.命題若"-p,則-q"是原命題的否命題.命題若"-q,則-p"是原命題的逆否命題，解逆命題：否命題：逆否命題：將下列命題改寫成“若p,則q”的形式，并指出條件p和結(jié)論q.(1)對(duì)頂角相等；(2)菱形的四條邊相等；(3)能被6整除的整數(shù)一定能被3整除.之間有什么關(guān)系呢?能獲取那些信息?原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的關(guān)系如圖所示.若p,若p,則q原命題互互否命題互逆若q,則p逆命題逆否命題逆一般地，四種命題真假性之間具有如下關(guān)系.如果兩個(gè)命題互為逆否命題，那么它們具有相同的真假性(即同為真命題或同為假命題),如果兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.知識(shí)精講例如，在以下四個(gè)命題中，若設(shè)命題(1)是原命題，則顯然命題(2)、(3)、(4)分別是它的逆命題、否命題和逆否命題.(1)若a,b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù).(2)若a+b是偶數(shù)，則a,b都是偶數(shù).(3)若a,b不都是偶數(shù)，則a+b不是偶數(shù).(4)若a+b不是偶數(shù)，則a,b不都是偶數(shù).此外，我們發(fā)現(xiàn)，命題命題(2)、(3)互為逆否命題，命題命題(2)、(4)為互否命題，命題命題(3)、(4)為互逆命題.不難判斷，原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)是假命題，它的逆否命題(4)是真命題.為假命題；其他兩兩命題的真假性之間沒有關(guān)系.將下列命題改寫成“若p,則q”的形式，同時(shí)寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.解(1)原命題：若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；逆命題：若一個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)；否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù)；逆否命題：若一個(gè)數(shù)的立方不是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)原命題、逆命題、否命題和逆否命題均是真命題(2)原命題：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字為0,則它能被5整除；逆命題：若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字為0;否命題：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位上數(shù)字不為0,則它不能被5整除；逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被5整除，則它的個(gè)位上數(shù)字不為0原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題，寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)兩條直線平行，同位角相等；(2)若整數(shù)a不能被2整除，則a是奇數(shù)；(3)若m,,1,則方程x2+2x+m=0有實(shí)通過一些示例大家能例如，命題“所有的等邊三角形都相似""對(duì)任是全稱命題.那么，全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用讀作“對(duì)任意的x屬于M,有p(x)成立”任意的k∈Z,2k是偶數(shù)”都是全稱命題.都是特稱命題.簡(jiǎn)記為寫出下列命題的否定.寫出下列命題的否定.(1)所有的菱形都是平行四邊形.(2)每個(gè)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).(3)x∈R,x2-x+1>0.,其真假性與原命題相反.而否命題(2)的否定是“并非每個(gè)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”,即存在一個(gè)質(zhì)數(shù)不是奇數(shù).知識(shí)精講寫出下列命題的否定.(1)有些整數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù).(2)某些矩形是正方形.命題(1)的否定是“不存在一個(gè)整數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”,即所有整數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù).命題(2)的否定是“沒有一個(gè)矩形是正方形”,即每個(gè)矩形都不是正方形，命題(3)的否定是“不存在xo∈R,x?+1<1”即Vx∈R,x^2+1≥1.從命題形式看，這三個(gè)特稱命題的否定都變成了全稱命題.一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論.對(duì)于特稱命題p,有3xo∈M,p(xo),它的否定-p為Vx∈M,-p(x),特稱命題的否定是全稱命題.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷它們的真假.學(xué)以致用判斷下列命題的真假.判斷下列命題的真假.(2)所有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；(4)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)，命題.寫出下列命題的否定.(1)所有的自然數(shù)都是正數(shù)；(2)有的三角形是等腰三角形；(3)所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；解(1)該命題的否定是“存在一個(gè)自然數(shù)不是正數(shù)”.(2)該命題的否定是“所有三角形都不是等腰三角形”.(3)該命題的否定是“存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)”。(4)該命題的否定是“Vx∈R,x1+2x+3...0”.1.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.(1)有的平行線相交；(2)三角形的內(nèi)角和為180度；(3)有的實(shí)數(shù)平方后比原數(shù)要?。?4)一元二次方程都有實(shí)數(shù)解.2.判斷下列命題的真假，(1)直角三角形都是等腰三角形；(2)有些菱形是正方形；3.寫出下列命題的否定.(1)每個(gè)實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；(2)有些