第二章-矢量分析課件

第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理6學(xué)時(shí)0.

矢量及其運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度標(biāo)量場(chǎng)的梯度亥姆霍姿定理12九月20231第一章矢量分析主要內(nèi)容0.矢量及其1.0矢量及其運(yùn)算

直角坐標(biāo)系

矢量表示矢量代數(shù)矢量微積分12九月202321.0矢量及其運(yùn)算直角坐標(biāo)系01八月20232直角坐標(biāo)系三變量xyz

坐標(biāo)表示線元面元體積元

12九月20233直角坐標(biāo)系三變量xyz

標(biāo)量

一個(gè)只用它的大小就能完整的描述的物理量稱為標(biāo)量。如：時(shí)間、質(zhì)量、溫度、功、速率等。

矢量

一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量。如：力、速度、力矩等。矢量表示12九月20234標(biāo)量矢量表示01八月20234幾何法代數(shù)表示矢量表示單位矢量（unitvector）：

的模值：方向余旋：

12九月20235幾何法矢量表示單位矢量（unitvector）矢量加減法矢量代數(shù)12九月20236矢量加減法矢量代數(shù)01八月20236矢量乘積數(shù)乘標(biāo)量積矢量代數(shù)12九月20237矢量乘積矢量代數(shù)01八月20237標(biāo)量積結(jié)論單位矢量交換率分配率兩矢量垂直的充分必要條件：標(biāo)量積等于零。

矢量代數(shù)12九月20238標(biāo)量積結(jié)論矢量代數(shù)01八月20238矢量乘積數(shù)乘標(biāo)量積矢量積矢量代數(shù)12九月20239矢量乘積矢量代數(shù)01八月20239矢量積結(jié)論

單位矢量交換率分配率：兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。矢量代數(shù)12九月202310矢量積結(jié)論矢量代數(shù)01八月202310矢量函數(shù)矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)12九月202311矢量函數(shù)矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)空間矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)的積分

12九月202312矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)1.1矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)

場(chǎng)的概念標(biāo)量場(chǎng)的等值線矢量場(chǎng)的矢量線12九月2023131.1矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng)的概念01八月20231場(chǎng)的概念1.場(chǎng)的概念

任何物理過程總是在一定空間上發(fā)生，對(duì)應(yīng)的物理量在空間區(qū)域按特定的規(guī)律分布。如：

電荷在其周圍空間激發(fā)電場(chǎng)的分布電流在周圍空間激發(fā)磁場(chǎng)的分布地球上太陽及其他原因激發(fā)溫度的分布在空間區(qū)域上每一點(diǎn)有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了該物理量的場(chǎng)12九月202314場(chǎng)的概念1.場(chǎng)的概念01八月202314標(biāo)量場(chǎng)：若所研究的物理量是標(biāo)量，這樣的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)等；矢量場(chǎng)：若所研究的物理量是矢量，這樣的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng)、引力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)12九月202315標(biāo)量場(chǎng)：若所研究的物理量是標(biāo)量，這樣的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)。如溫度場(chǎng)臺(tái)灣海峽表面海水鹽度分布福建省臺(tái)灣島12九月202316臺(tái)灣海峽表面海水鹽度分布福建省臺(tái)灣島01八月20231612九月20231701八月202317場(chǎng)（field）是描述空間中所有點(diǎn)上的某一物理量的函數(shù)。靜態(tài)場(chǎng)動(dòng)態(tài)場(chǎng)

StaticfieldTime-varyingfield

標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)與動(dòng)態(tài)場(chǎng)12九月202318場(chǎng)（field）是描述空間中所有點(diǎn)上的某一物理量的函數(shù)。靜態(tài)等值面空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)的集合所形成的曲面。等值面方程

u（x,y,z）=C

（C

為任意常數(shù)）標(biāo)量場(chǎng)的等值面12九月202319等值面空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)的集合所形成的曲面。標(biāo)量場(chǎng)的等矢量場(chǎng)的矢量線為描述矢量場(chǎng)的方向和數(shù)值，除直接用矢量的數(shù)值和方向來表示矢量場(chǎng)外，還用矢量線來描述矢量場(chǎng)分布。所謂矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)矢量的方向。12九月202320矢量場(chǎng)的矢量線為描述矢量場(chǎng)的方向和數(shù)值，除直接用矢量的數(shù)值和矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場(chǎng)的方向。

矢量線的意義（矢量線的任一點(diǎn)的切向和Ｆ平行）

矢量線方程：12九月202321矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量1.2矢量場(chǎng)的散度

通量散度高斯通量定理12九月2023221.2矢量場(chǎng)的散度通量01八月202矢量在場(chǎng)中某一個(gè)曲面上的面積分，稱為該矢量場(chǎng)通過此曲面的通量。通量flowofflux

12九月202323矢量在場(chǎng)中某一個(gè)曲面上的面積分，稱為該矢量場(chǎng)通過此曲面的通量通量可認(rèn)為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；模1F1等于在某點(diǎn)與1F1垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目，1F1又稱為通量面密度矢量。>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)通量

flowofflux

12九月202324通量可認(rèn)為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；通量是由1S1內(nèi)的通量源決定，而通量是一個(gè)積分量，僅能說明較大范圍內(nèi)的源分布情況，而不能說明每一點(diǎn)的性質(zhì)。引入散度概念。散度divergence定義：散度是通量對(duì)體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。12九月202325通量是由1S1內(nèi)的通量源決定，而通量是一個(gè)積分量，僅能說明較計(jì)算：散度divergence哈密頓（Hamilton）算子,12九月202326計(jì)算：散度divergence哈密頓（Hamil

散度的物理意義

矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)

點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。

?

A=0(無源）

?A=0(負(fù)源)

?A=0(正源)

在矢量場(chǎng)中，若

?A=0，稱之為有源場(chǎng)，

稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處

?A=0，稱之為無源場(chǎng)。散度

divergence12九月202327散度的物理意義矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)?A=高斯通量定理已知：因?yàn)椋簽榈捏w密度所以：高斯通量定理故：因?yàn)椋簽榈捏w密度12九月202328高斯通量定理已知：因?yàn)椋簽榈捏w密度所以：高斯通量定理故：因?yàn)槔?.2-1點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在離其處產(chǎn)生的電通量密度為：其中，求任意點(diǎn)處電通量密度的散度；并求穿出以為半徑的球面的電通量。解同理可得所以12九月202329例1.2-1點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在離其處產(chǎn)生的電通量密度

可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（）外，空間各點(diǎn)的D的散度均為0。接例1.2-1所以12九月202330可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（）外，空間各點(diǎn)的D的散度均為0。接

矢量場(chǎng)的環(huán)量

旋度

斯托克斯定理1.3矢量場(chǎng)的旋度12九月202331矢量場(chǎng)的環(huán)量1.3矢量場(chǎng)的旋度01八月2旋渦12九月202332旋渦01八月202332該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)

=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)

0，有產(chǎn)生渦旋的源環(huán)量矢量F

沿空間有向閉合曲線L

的線積分環(huán)量circulation例：流速場(chǎng)12九月202333該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。水流沿平行于水管軸線方流體做渦

環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為

L，面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

點(diǎn)P時(shí)，存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋度rotation12九月202334環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的

定義旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。它與環(huán)量密度的關(guān)系為：在直角坐標(biāo)系下旋度rotation

計(jì)算12九月202335定義旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲?/p>

旋度的物理意義1

旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最

大值；某點(diǎn)旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度

的方向；在矢量場(chǎng)中，若,稱之為

旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J稱為旋度源

(或渦旋源)；若矢量場(chǎng)處處

稱之為無旋場(chǎng)。旋度rotation12九月202336旋度的物理意義1旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；旋旋度rotation

旋度的物理意義2

扽可得：若那么存在一個(gè)A使得（矢量磁位A）；

扽可得：若那么存在一個(gè)u使得（標(biāo)量電位u）。12九月202337旋度rotation旋度的物理意義2扽可得：斯托克斯定理

(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖斯托克斯定理——斯托克斯定理

在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個(gè)非常重要的公式。12九月202338斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函1.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度

方向?qū)?shù)梯度12九月2023391.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度方向?qū)?shù)01八月202339研究的是標(biāo)量在某點(diǎn)沿某一方向的變化率問題(directionalderivative)。

方向?qū)?shù)lM0U計(jì)算：定義：12九月202340研究的是標(biāo)量在某點(diǎn)沿某一方向的變化率問題(direction在這無窮多個(gè)方向中哪個(gè)方向的變化率最大？

定義：梯度gradient

12九月202341在這無窮多個(gè)方向中哪個(gè)方向的變化率最大？定義：梯度表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在該方向上的方向?qū)?shù)，當(dāng)gradu與L方向一致時(shí)，即：方向?qū)?shù):。梯度gradient

那么，梯度gradu就是u(M)變化率最大的方向。12九月202342表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在哈密頓（Hamilton）算子梯度gradient

12九月202343哈密頓（Hamilton）算子梯度gradie

梯度的物理意義1

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)；梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,

即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。梯度gradient

12九月202344梯度的物理意義1標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)例1

三維高度場(chǎng)的梯度例2

電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度

與過該點(diǎn)的等高線垂直；

數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最

大變化率；

指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度

與過該點(diǎn)的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；

三維高度場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度梯度gradient

梯度的物理意義212九月202345例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與例1.4-1求在M0（1，0，1）點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)。梯度gradient

解：12九月202346例1.4-1求在M0（1，0，例1.4-2求在M0（2，-1，1）點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)。梯度gradient

解：或者：12九月202347例1.4-2求在M0（2，-11.5亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理矢量場(chǎng)的分類亥姆霍茲定理的意義12九月2023481.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理01八月20234亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。（矢量F惟一地確定）電荷密度

電流密度J場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件12九月202349亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：（矢量F惟一地確定）電荷密度在電矢量場(chǎng)的分類無旋場(chǎng) 或無源場(chǎng)或有旋場(chǎng)有源場(chǎng)

對(duì)于一個(gè)既有源又有旋的矢量場(chǎng)，可以看認(rèn)為是一個(gè)有旋無源場(chǎng)和一個(gè)有源無旋場(chǎng)的疊加；12九月202350矢量場(chǎng)的分類無旋場(chǎng)01八月202350以上兩式的含義：矢量場(chǎng)是由場(chǎng)的源所引起的，已知了散度源和旋度源就可以唯一確定續(xù)前12九月202351以上兩式的含義：續(xù)前01八月202351例試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。00000012九月202352例試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。00000001八亥姆霍茲定理的意義亥姆霍茲定理：在有限區(qū)