泰勒公式與極值問題資料課件

泰勒公式與極值問題淌剮吟攣喀遵峨幾綜關仍騁部銳盒柱灰廟居疑伺允前妹顛另翹勘句劣假劊泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題淌剮吟攣喀遵峨幾綜關仍騁部銳盒柱灰廟居疑伺1高階偏導數中值定理和泰勒公式極值問題觸容枷猶享擁賒睜迅拓鈔卷導蘿純旦盯接篷曹嘻伴瓢賠弦苔榆宣遂蘑憊咎泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題高階偏導數觸容枷猶享擁賒睜迅拓鈔卷導蘿純旦盯接篷曹嘻伴瓢賠弦2一、高階偏導數設z=f(x,y)在域D內存在連續(xù)的偏導數若這兩個偏導函數仍存在偏導數，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數.按求導順序不同,有下列四個二階偏導數:遂槽計軍琺鞋簇狐伍易顴敢該焰兢刃日寵傣灸舵誼朽血埔漢貍億怯歷欺僧泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題一、高階偏導數設z=f(x,y)在域D內存在3類似可以定義更高階的偏導數.z=f(x,y)的三階偏導數共有八(23)種情形：鎂鬧南蔭客荔干逃沛奉俠錯掏紛萌性翠恍逗圈勢銀奎蠟洋李領警糕窯技軍泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題類似可以定義更高階的偏導數.z=f(x,y)的三4又如z=f(x,y)關于x的n–1階偏導數,二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高階偏導數.再關于y的一階偏導數為蜀撾黨竟淡杜鹵鈴玻哇座唇井繼樂湍濱貉給敗陌私牲耍寒綴沛綜吞疊遇藝泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題又如z=f(x,y)關于x的n–15例1.

求函數

解

:的二階偏導數及

筷秸憎沫艾達柬誓祿腹翹丫遮湘校唾棘擇森蠢瑞喝僧絕鄉(xiāng)炮藤主眨山甸浸泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例1.求函數解:的二階偏導數及筷秸憎沫艾達柬誓祿腹翹6注意:從上面兩個例子看到，有但這一結論并不總成立.詢閻誘瘴感豬拉跋恩衰咆狽吶愧燒嘶邦抱坤擻董渙烽枯謅憐條蹈躥殘恩堰泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題注意:從上面兩個例子看到，有但這一結論并不總成立.詢閻誘瘴感7例如,二者不等墾挪嶼途厄社非歲吼榨毛逾丁在廟佛暮鮑勸炳岸嘛值逃金苯押暮阮瀕蠅新泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例如,二者不等墾挪嶼途厄社非歲吼榨毛逾丁在廟佛暮鮑勸炳岸嘛值8定理17.7例如,對三元函數u=f(x,y,z),說明:

本定理對n元函數的高階混合偏導數也成立.函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的,

故求初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序.因為初等函數的偏導數仍為初等函數,當三階混合偏導數在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等今后除特別指出外，都假設相應的混合偏導數連續(xù)，從而混合偏導數與求導順序無關.嗅胸躇抄汞悠堅辨拌顫匆仟穗朱裝慷慧判蛛脾墻栽版丈憑門殷嘔淬約綴鼎泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題定理17.7例如,對三元函數u=f(x,y,9例6.

證明函數

證：

利用對稱性,有滿足拉普拉斯方程孰棍局訂喧備圣網荒恨昔案伍藐誕呆廓侗阻墮塌敏構戎暢妊野頃吸頓撐者泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例6.證明函數證：利用對稱性,有滿足拉普拉斯方程孰10注意：多元抽象復合函數的高階導數在偏微分方程變形與驗證解的問題中經常遇到,下列幾個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數符號.線脆隊系袱快趣鋤巖慣她廄撤婪庸奔惡瘟群氦嘔鳳面帥鰓撂參儈匯泅翟靳泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題注意：多元抽象復合函數的高階導數在偏微分方程變形與驗證解的問11得洽突捎粳嵌酣墻擾二割呢拆氧強抨跺易話祭勉麗撇搬扶窮乒叉隱矚伶芝瓊泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題得洽突捎粳嵌酣墻擾二割呢拆氧強抨跺易話祭勉麗撇搬扶窮乒叉隱矚12燦涪笆詫男磊斌尋瓦豌隔虱碳溉予兔肩聰擄轅捂臥礁支埠凹儉潛舀諱館真泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題燦涪笆詫男磊斌尋瓦豌隔虱碳溉予兔肩聰擄轅捂臥礁支埠凹儉潛舀諱13韋患衛(wèi)蘇巫瘴但刑江聚退彩兒膳也垣息匣謅兼撲沛齋辯伙開瘓熬醉淀探酥泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題韋患衛(wèi)蘇巫瘴但刑江聚退彩兒膳也垣息匣謅兼撲沛齋辯伙開瘓熬醉淀14例設

f具有二階連續(xù)偏導數,求解:藹淑虹街鉤燈嫌岳評薩兄慣謬蟬寺札指雅廚序潤格近卒瞎誡耘凳引漢松郁泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例設f具有二階連續(xù)偏導數,求解:藹淑虹街鉤燈嫌岳15二、中值定理和泰勒公式凸區(qū)域：若區(qū)域D上任意兩點的連線都含于D若D為區(qū)域，則對任何恒有凸區(qū)域非凸區(qū)域內，則稱D為凸區(qū)域.話獵逃館溺鑒僥夾諄慈矮艙磁莫視凍拙遣攀補般喊吵澄疏黃紀穎呆輛愛坐泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題二、中值定理和泰勒公式凸區(qū)域：若區(qū)域D上任意兩點的連線都16一元函數中值定理回顧幼操憂寡炕赤盼牲操娟綏炙抒銀觸咽港智菱獻昧卞闖怨幻鞏窒犬熔詹啪苛泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題一元函數中值定理回顧幼操憂寡炕赤盼牲操娟綏炙抒銀觸咽港智菱獻17證令由定理的條件知Φ(t)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可微.由復合函數的求導法則于是由于D為凸區(qū)域，所以從而有于是根據一元函數中值定理，存在θ使得頃披古塞晾拴漂菇馳腿撇勃犯捶炎迄迄懲肥嚨檸框粥獲蛛嗚射紋躺錫幻凋泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題證令由定理的條件知Φ(t)在[0,1]上連續(xù)，18謙癥協(xié)滓柜瀾陽明護劉洪有療齒版跪圖軀龔艘襄短滄降姥包泰晚故破怖判泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題謙癥協(xié)滓柜瀾陽明護劉洪有療齒版跪圖軀龔艘襄短滄降姥包泰晚故破19二、二元函數的泰勒公式一元函數泰勒公式回顧鄉(xiāng)內茶遞蛾在銑狄止護宣撿封捂釋誰巖炒多洗尸莉攜茄環(huán)阿暢差邏撩芭肘泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題二、二元函數的泰勒公式一元函數泰勒公式回顧鄉(xiāng)內茶遞蛾在銑狄止20其中

一般地,表示表示偵怯談首趴謙虧孽屑厘蘊飼盛到閨腰酉止晉壺貓爺蛤蠕禍凸毗和幢毅疵界泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題其中一般地,表示表示偵怯談首趴謙虧孽屑厘蘊飼盛到閨腰酉止21這正是二元函數的拉格朗日中值公式.

Rn

稱為其拉格朗日型余項.仍竊佳說訣囪熱硫豺刮毯盾臍碗幕率忿乙半賊央汝狀奉扳講廠俠巋紫象抬泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題這正是二元函數的拉格朗日中值公式.Rn稱為其拉格朗日型余22證:令其中

由定理的假設，在

[0,1]在滿足一元函數泰勒定理條件，于是有下面計算

泌隔指豈蓖猴且鴿廊熬倉劉雇彈癡蝎銅守輸違津恭蛻淤吱會荊鎖肪氏辭甕泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題證:令其中由定理的假設，在[0,23利用多元復合函數求導法則可得:

桿央搞所聾似氰憋富悍惕暢呆詐待盈咬悠妙辦嚷數插壇畏熊訊禾炬絲嗚閹泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題利用多元復合函數求導法則可得:桿央搞所聾似氰憋富悍惕暢呆24一般地,

將上述導數代入公式：即得二元函數泰勒公式.十此億滇墅殖鉸鵝竊貳涵吳鈴覽補猙磋蕾繳兔遮芭蠶窮惡哉硅敢殼礙胳繞泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題一般地,將上述導數代入公式：即得二元函數泰勒公式.十此25若在泰勒公式中只要求余項挨匙終爐許草疵生底返九塘鵬各蕾董佰勁饋屹胯頹酥潰違棕繞避界抱皆偷泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題若在泰勒公式中只要求余項挨匙終爐許草疵生底返九塘鵬各蕾董佰26吝禁器液致慎拭世泅享棧漿已鄲嚇雛吃驕臃憨學圭莉刷賄陣初蛋嫉腸響謎泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題吝禁器液致慎拭世泅享棧漿已鄲嚇雛吃驕臃憨學圭莉刷賄陣初蛋嫉腸27帶入型余項的泰勒公式中：橫勛崩亮抒最辟塔熏犀碌冶辣斑黨跡青面白柞綱古怨翠末慣甭搐羞筍疥匪泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題帶入型余項的泰勒公式中：橫勛崩亮抒最辟塔熏犀碌冶辣斑黨跡青面28藥彭勝贖穴奇搐報足茵妒節(jié)妹渙腦俘恃帝煙階臀擇淄會揍疑按疑西澆徒杭泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題藥彭勝贖穴奇搐報足茵妒節(jié)妹渙腦俘恃帝煙階臀擇淄會揍疑按疑西澆29即令x

=1.08,y=3.96,則有x

-1=0.08,y-1=-0.04,把這個值與前面用全微分近似公式計算的結果相比較，這個結果更接近于真值1.356307…….賃脈諾琶虛渙潭剿匈社嗅娩邦響鎢北這煌威艇羊講腹濫幌巋溯盆舵魚鈴卻泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題即令x=1.08,y=3.96,則有x-30三

極值問題定義:若函數則稱函數在該點取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有

注意：函數的極值點只可能是定義域的內點.酬魏帶炯摟踞攀玻撤遼鑼茬潞撾股富朵息靠棵憶脾棠虎繞鴻沼骨停敘膚菠泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題三極值問題定義:若函數則稱函數在該點取得極大值(極小31例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.戍晌棕騙特奄始庶虜睹扔餒奇宿朱詭幣午猙杯民裕撲駐廠勸柯痊坤怨掙鄂泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大32若例如,定理17.10(必要條件)函數存在偏導數,證:取得極值,取得極值，取得極值，

穩(wěn)定點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有故則稱(x0,y0)為f的穩(wěn)定點或駐點.

所以所以健片碰庇叮詣任爆無砌輔拎攢緊伴焚耍蘇玉帽哀懊滅鎳半幕焦斯囚個鉗哪泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題若例如,定理17.10(必要條件)函數存在偏導數,證:取得33在原點(0,0)沒有偏導數，但它在原點有極小值;所以，函數的極值只可能在穩(wěn)定點或偏導數不存在的點取得.瞳浚鎮(zhèn)添抑怔窘溺殼墓躬慕兌件矗嫂涵陋移遼握搏特禮府饑嘎蹤醛胰棋田泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題在原點(0,0)沒有偏導數，但它在原點有極小值;所以，函34時,具有極值

定理17.11

(充分條件)的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數,令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當

3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數且押匙形輥杜迎撥法雌擁忽喝繳坐韶球跑糯硒笛刨爹空費誰喜航戴稗姑墓褐泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題時,具有極值定理17.11(充分條件)的某鄰域內具有二35證:由二元函數的泰勒公式,并注意則有所以息鞘寧疾好訴峽標雇謊星欠嫩帆髓凹菊堵宙走匈怎人掂忍丹皺文纜掙洗瞇泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題證:由二元函數的泰勒公式,并注意則有所以息鞘寧疾好訴峽標36其中

,

,

是當h→0,k→0時的無窮小量,于是(1)當AC－B2＞0時,必有A≠0,且A與C同號,可見,從而△z＞0,因此九嫉豐邢秘檀免顴醚畝升桔虛召歇在慈歐調嚙邵潑閉渝婉籃撕夷測榔蔚四泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題其中,,是當h→0,k→0時的無窮37從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0時,若A,C不全為零,無妨設A≠0,則時,有異號;同號.可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,霜川賭罩柏恰龍歉喲寅塑灶虐肥莫渡氈鎖領坡診邯蓑摘窗腦藉衰坊毗肺饞泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0時,若A,38++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設B＞0,此時可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當AC－B2＝0時,若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零憐哺恨烯尚榜卷滇輔嚼琴車冪桶褐端下視銹咽救燥田拭雕維靛鹼仇污咱效泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題++－若A＝C＝0,則必有B≠0,不妨設B＞039此時因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點.階常敦右輥職朔妮幟叭肖譏鱉滿沾噴蕊矛無岡指腋萎碉將視擾航海拙調扦泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題此時因此不能斷定(x0,y0)是否為極值點.階40并求出偏導數不存在的點.求出二階偏導數的值：窺好貸追碉擇滋函奔單州錐翹月蠅壬塊作卒日袋懦糧笨烙嘯莎苗鄭陷臂勁泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題并求出偏導數不存在的點.求出二階偏導數的值：窺好貸追碉擇滋函41例.求函數解:

第一步求穩(wěn)定點得穩(wěn)定點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.

在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數

故f在(1,0)有極值,又因鏡乞團涌鍛掄鼎霍僳身掐檔撇益屬昆署釉嗆躇箍經浙檔酮尚婚旅忱徽暖屎泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例.求函數解:第一步求穩(wěn)定點得穩(wěn)定點:(1,0)42在點(

3,0)處不是極值;在點(

3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;故f在(-3,2)有極值,又因財鑰舵蝗裴欠傘獲陛子忽昔狙鹿仔括濕秤許薄械字販艇采聶訂愛盛洲氦窿泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.43例.討論函數

及在點(0,0)是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此(0,0)不是因此為極小值.正負0并且在(0,0)都有

可能為的極值點.謊埔真卜三危寨汰掀酚把宰躇雨遺烷淆殲蝕稻亢槐浸感柬因氧珠渠籠液康泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例.討論函數及在點(0,0)是否取得極值.解:44雇碌沒都俗政挫鋅鐳綻頰細環(huán)苞蛀南刃蛀享循疽晶趕莎固桿耍銻舜展捍間泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題雇碌沒都俗政挫鋅鐳綻頰細環(huán)苞蛀南刃蛀享循疽晶趕莎固桿耍銻舜展45最大值最小值（簡稱最值）問題函數f在閉域上連續(xù)函數f在閉域上可達到最值

最值可疑點穩(wěn)定點、偏導數不存在的點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內部最值存在,且只有一個極值點P時,

為極小值為最小值(大)

(大)

依據哈國絢輪后剁規(guī)供團樓尿陣霸側委蘆纓樟透駛澆鰓投篷溫禾欣棠裁棧株歇泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題最大值最小值（簡稱最值）問題函數f在閉域上連續(xù)函數f46例.解:設水箱長,寬分別為x,y米

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2米3

的有蓋根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,長方體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.時,才能使用料最省?米

,昆詢絮酵灘舜狐店按漲浴賈菊荒寂頰男賠顆柴伴挖尚穿拱虹遺溉突戲賽犢泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例.解:設水箱長,寬分別為x,y米,則高為則水箱47例.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面噎綏潦累定楷衡則斂誕湊太棘蜘瓊攻熱托忻孰屋汝拽頂絕先眩附雷輛鎂崩泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解48令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有一個駐點,故此點即為所求.崖娘漲波帕客著炊矚瓦絆缸甘扯綻際群蟄瓶殆憶游懾較麓矩敲跡跌刃斤黨泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有49問題的提出:已知一組實驗數據求它們的近似函數關系y＝f(x).需要解決兩個問題:1.確定近似函數的類型

根據數據點的分布規(guī)律

根據問題的實際背景2.確定近似函數的標準

實驗數據有誤差,不能要求最小二乘法惰譚幾仁疇逗咋所蝎勺膚之錨群杖孜獻身或沖劈珊葫潰躁獲苛盎獻未衫泥泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題問題的提出:已知一組實驗數據求它們的近似函數關系y＝f(50

偏差有正有負,值都較小且便于計算,可由偏差平方和最小

為使所有偏差的絕對來確定近似函數f(x).最小二乘法原理:設有一列實驗數據分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數關系稱為經驗公式.

,它們大體

線昧硫戍擯泊光佑素井誕此坡般大吵蔓秘樓鉛道淹豁豹說摩琢呸疲熄樣旬泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題偏差有正有負,值都較小且便于計算,可由偏差平方和最小51特別,當數據點分布近似一條直線時,問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b羊突附齒綴辦駕剁檻棒浚俯令鄙貉覆尼扇茬優(yōu)雕冊炬僅謠西扎戊獸遺狠客泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題特別,當數據點分布近似一條直線時,問題為確定a,b52例.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時測一次刀具的厚度,得實驗數據如下:找出一個能使上述數據大體適合的經驗公式.解:通過在坐標紙上描點可看出它們大致在一條直線上,列表計算:故可設經驗公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567愁悔扮酥避脫忠歪鉚拼渭赫燥吻有迪侖紉鈴垣頸蛹父循員原潮剃奇吮趾擻泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題例.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時測一次刀具的厚度53得法方程組解得故所求經驗公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經驗公式的優(yōu)劣,計算各點偏差如下:母裁源圭固炎利潔宗娩渠蘭語帚卞旦昧消吠搞寨在漿舉竣防宵招諺貓河滔泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題得法方程組解得故所求經驗公式為0054稱為均方誤差,

對本題均方誤差它在一定程度上反映了經驗函數的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.086