高頻金融時間序列模型化研究綜述

高頻金融時間序列模型化研究綜述

1高頻數(shù)據(jù)與非高頻金融時間序列信息技術(shù)的發(fā)展提高了數(shù)據(jù)采集和處理方法的進步。除了從年、月、周、日收集的金融數(shù)據(jù)外，人們變得越來越容易獲得在較小的時間間隔內(nèi)（例如，小時、分鐘、秒等）獲得的觀測數(shù)據(jù)。通常，從小時、分鐘或秒中收集的數(shù)據(jù)稱為高頻數(shù)據(jù)，而在流程中實時交易的數(shù)據(jù)稱為高頻數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)的獲取對于研究市場的微觀結(jié)構(gòu)和運行機制具有重要的理論和實踐意義。一般來說，基于分散采集數(shù)據(jù)序列的信息將不可避免地導(dǎo)致信息損失。數(shù)據(jù)頻率越低，相關(guān)信息的損失越多。因此，高頻數(shù)據(jù)比低頻數(shù)據(jù)更多地包括市場微觀結(jié)構(gòu)和太陽現(xiàn)象信息。在金融低頻時間序列的波動性度量研究領(lǐng)域,ARCH模型及其擴展形式和隨機波動(SV)模型及其擴展形式是兩類非常成功的方法.而研究結(jié)果表明它們并不適合直接用于高頻金融時間序列的建模.例如,金融時間序列的波動率的驅(qū)動因素是GARCH等計量模型難以揭示的,而通過對高頻數(shù)據(jù)的分析,人們發(fā)現(xiàn)許多市場的微觀結(jié)構(gòu)因素和一些交易者的行為因素才是使價格產(chǎn)生波動的真正原因,如實時交易的不等間隔、交易規(guī)則和指令流等.這些發(fā)現(xiàn)無疑具有重要的研究價值.考慮到高頻數(shù)據(jù)和超高頻金融數(shù)據(jù)之間在模型分析上質(zhì)的區(qū)別,下面我們將把它們分開討論.2高頻交易時長數(shù)據(jù)的時序特征(超)高頻金融時間序列的生成以及采集機制決定了其獨有的特征,主要包括以下4個方面:1)超高頻的交易的時間記錄間隔往往不是均等的.金融市場的交易是在隨機的時點上進行的,因而間隔不是均等的.建立在等時間間隔觀測基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)計量經(jīng)濟模型(如ARCH模型和SV模型)將無法精確描述這種非等間隔的時間序列的性質(zhì).而非等間隔時序也突出了交易之間的持續(xù)時間的重要性.2)交易記錄時間的不一致性.隨著交易記錄的時間刻度的精確化和機械化,同一時間的交易可能會因為交易系統(tǒng)或數(shù)據(jù)傳輸?shù)脑蛟诓煌瑫r刻發(fā)布并記錄;而不同時刻的交易則有可能在同一時刻被合并發(fā)布,高頻數(shù)據(jù)的時間間隔的隨機性因而增加.3)離散取值.在時間刻度趨于連續(xù)化的高頻數(shù)據(jù)記錄中,因為交易機制的原因,所記錄的價格數(shù)據(jù)卻是離散觀測值,如中國滬深股市的最小價格變動單位是分,美國NYSE股價變動最小單位是1/8美元.4)海量數(shù)據(jù).高頻數(shù)據(jù)的記錄中,在交易活躍的時段會有多筆交易同時發(fā)生,它們往往伴隨著不同的價格變化,而以秒、分來計量的交易時間則顯著的延長了時間序列的長度.除擁有與日度、周度或者月度等低頻金融時間序列相似的特征如厚尾、非正態(tài)、波動率聚集等之外,高頻金融時間序列也表現(xiàn)出一些典型的統(tǒng)計特征,主要表現(xiàn)如下:1)“日歷效應(yīng)”(CalendarEffects).在成熟市場中,波動率、交易量、買賣價差、交易頻率等金融指標(biāo)在一個交易日內(nèi)表現(xiàn)出穩(wěn)定的、周期性的U型運動模式,即一天中早上、下午開市、閉市時高,中午時間低.2)時間序列峰度遞增性.Anderson和Bollerslev在1998年發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)據(jù)頻率的增加,時間序列的峰度也隨之增加,當(dāng)數(shù)據(jù)頻率取到分鐘數(shù)據(jù)時,峰度就已超過100.3)價格序列一階負(fù)相關(guān)性.Low和Muthuswamy在1996年用5分鐘頻率的數(shù)據(jù)驗證序列的負(fù)相關(guān)性,并進一步證明了這種相關(guān)性具有非線性的特征.4)波動率具有杠桿效應(yīng).正收益對波動率的影響弱于負(fù)收益的影響.5)波動率的斜偏性.Anderson等在2001年通過研究DowJones股票日收益波動率和相關(guān)系數(shù)時發(fā)現(xiàn):已實現(xiàn)的波動率和協(xié)方差的非條件分布高度右偏,已實現(xiàn)波動率和相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)很強的時間依賴性并有移動到一起的趨勢.6)收益率波動與平均交易量具有正相關(guān)性.Xu等在1999年研究表明:收益波動率與平均交易量的正相關(guān)性在交易活躍的股票上表現(xiàn)得很突出.3高數(shù)據(jù)建模研究方法在高頻金融時間序列的研究領(lǐng)域中,形成了許多處理高頻數(shù)據(jù)的分析模型,其中幾類模型由于其代表性而成為該領(lǐng)域研究的重點.3.1基于fff回歸模型的評估除Dacorogna等在1994年提出的時間變換模型(TimeDeformationModels)和Beltratti與Morana在1998年提出了的隨機波動率模型(SV模型)外,在日歷性模型中影響最大的要屬Anderson和Bollerslev的一系列工作.他們1994年提出了用一種FFF回歸建?？蚣?FourierFlexibleFormRegressionFramework),在這種框架下估計量假設(shè)沒有方差,從而可以在二步法分析中得到真實的波動率值.為改進二步分析法對估計量的方差的敏感性,他們于1998年進一步修正和拓展了此估計方法.Bai等人則在2000年拓展了他們的結(jié)果去研究在高頻數(shù)據(jù)波動率估計的依存性和非正態(tài)性問題.Ann等人在2001年利用此方法實證分析了香港證券市場,取得了不錯的效果.3.2高頻金融時間序列的模擬ARCH類模型在低頻時間序列分析中的表現(xiàn)優(yōu)良,人們很自然的考慮如何將其移植到高頻數(shù)據(jù)建模中來.雖然此研究的效果還有待提高,但是依然有一些很具影響的結(jié)論和模型.它們大致可以分為兩大類,一類是異質(zhì)ARCH模型(HARCH);一類則是弱GARCH模型(WeaklyGARCH).針對高頻數(shù)據(jù)的兩個基本特征,即波動的長記憶性(絕對值收益的相關(guān)系數(shù)呈雙曲線形下降)和非對稱性,Müller和Dacorogna等在1997年提出了HARCH模型(HeterogeneousARCH).HARCH模型中,條件方差是過去不同期限長度的收益率的平方和,而GARCH模型是HARCH模型的一種特殊形式.此外,他們在HARCH模型基礎(chǔ)上建立了EMA-HARCH模型(ExponentialMovingAverageHARCH),此模型可以更好的刻畫波動率的長記憶性.由ARCH模型擴展出的另一類研究高頻金融時間序列的模型是弱GARCH模型,其由Drost和Nijman在1993年提出.對不同頻率的數(shù)據(jù),不管是流量,還是存量,弱GARCH模型的參數(shù)之間需滿足一定解析關(guān)系,即在時間聚合(Temporalaggregation)下是封閉的.Drost和Werker在1996年討論了連續(xù)時間GARCH模型與弱GARCH模型的聯(lián)系.弱GARCH模型建立了低頻時間序列和高頻時間序列之間的解析關(guān)系,其參數(shù)封閉性的結(jié)論可以作為評價模型適合性的一個標(biāo)準(zhǔn).3.3應(yīng)用一致性的理想統(tǒng)計在非參數(shù)領(lǐng)域,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、小波變換和數(shù)據(jù)挖掘中近鄰分析技術(shù)等已在高頻數(shù)據(jù)分析中得到一定程度的應(yīng)用.這里需要特別提出的是Zhou在1998年提出F—致性的思想:經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)中一致性是指隨樣本量無限增大時,統(tǒng)計量所具有的一種良好的大樣本性質(zhì);但如果考慮數(shù)據(jù)頻率的不斷細(xì)分而使得樣本量無限增大,F—致性是指統(tǒng)計量的性質(zhì)不會隨著數(shù)據(jù)頻率的變化而改變.4acd模型及其祖先研究中的數(shù)據(jù)延伸4.1模型構(gòu)建和檢驗記錄每筆交易的數(shù)據(jù)就是所謂的超高頻(UltraHighFrequency)時間序列.超高頻數(shù)據(jù)的時間間隔是隨機的,針對這一點,Engle和Rusell在1994年的一篇WorkingPaper中對下一筆交易到達時間的條件分布建立了ACD模型(AutoregressiveConditionalDurationModel)的雛形形式.他們在1998年正式提出ACD模型.ACD模型的核心思想是用隨機標(biāo)值點過程(MarkedStochasticPointProcess)去刻畫交易過程.不同的標(biāo)值點過程得到不同的ACD模型.在實證方面:Engle和Russell在1997年利用ACD模型對外匯報價變化的頻率進行了成功的研究.在金融研究中使用的久期序列通常有價格久期和交易久期.價格久期指的是市場上交易品種的價格發(fā)生變動的時間間隔,交易久期是指兩筆連續(xù)發(fā)生交易的時間間隔.受交易費用的影響,我們更關(guān)注價格久期.前后兩次價格變化超過某一閥值,就定義為一個標(biāo)記事件,把相鄰兩次事件的時間間隔定義為價格久期,即前后兩次價格變化超過該閥值,即|Pi-Pj|≥c所需的時間.通常情況下,價格久期越小,價格變動越頻繁,市場波動越劇烈.價格久期序列存在著顯著的“日內(nèi)效應(yīng)”,即在日內(nèi)呈現(xiàn)出周期性的走勢.為防止日內(nèi)效應(yīng)對模型性數(shù)據(jù)分析產(chǎn)生負(fù)面影響,在建模分析之前一般剔除“日內(nèi)效應(yīng)”.“日內(nèi)效應(yīng)”是時間的函數(shù),可以采用以時間為自變量的線性樣條函數(shù)(LinearSplineFunction)來描述它.用原始的久期序列除以樣條插值擬合而來的久期序列,得到剔除了日內(nèi)效應(yīng)的久期序列.而價格變動時間間隔往往存在著“聚類性”,即短的時間間隔后面也往往跟隨著短的時間間隔,而長的時間間隔后面往往會出現(xiàn)長的時間間隔,這與低頻數(shù)據(jù)的聚類性相似.對時間間隔相關(guān)性進行研究可以檢驗是否存在聚類性,即如果時間間隔表現(xiàn)出顯著的相關(guān)性,那么它往往存在聚類性.我們也可以對剔除日內(nèi)效應(yīng)的久期建立ACD模型,通過觀察模型中的估計系數(shù)來判斷時間間隔是否具有聚類性.ACD模型與GARCH模型具有相似的結(jié)構(gòu)特征.GARCH模型主要描述波動的聚類性,ACD模型則主要描述交易或價格持續(xù)時間的聚類性.GARCH模型是對回報方差的自回歸過程,而ACD模型是對久期的自回歸過程.ACD模型能夠?qū)鹑诋a(chǎn)品交易過程中的久期進行衡量,也可以作為進一步研究波動性密度特征的基礎(chǔ).設(shè){xi}為剔除日內(nèi)效應(yīng)后的價格久期序列,ACD模型把久期表示為:其中ψi=E(xi|Ii-1),Ii-1為ti-1時刻的信息集,過去的信息全部通過ψi影響現(xiàn)在的久期.ACD(p,q)形式如下:其中ω>0,αj≥0,βj≥0,<1.4.2模型構(gòu)建及殘差聚合分析一般情況下,當(dāng){εi}假設(shè)獨立同分布并服從某特定分布的時候,ACD模型稱之為強型ACD模型.此時歷史信息以條件均值ψi的形式進入久期,xi的波動被ψi完全捕捉到.然而,當(dāng){εi}獨立同分布的假設(shè)過強并難以捕捉久期的變化時,則假設(shè){εi-1}是一個鞅差序列,此時的ACD模型被稱之為弱型ACD模型.如同GARCH(1,1)模型可以很好地描述大多數(shù)金融數(shù)據(jù)一樣,ACD(1,1)可以很好地擬合原始數(shù)據(jù).為此,人們往往采用簡單有效的ACD(1,1)模型來實證研究.在諸多ACD模型中,線性ACD是最基礎(chǔ)的模型,不過它存在兩方面的缺陷.首先,線性的條件期望函數(shù)對參數(shù)有限制,即必須確保模型不會預(yù)測到負(fù)的久期,這一條件要求系數(shù)必須為正;其次,基于最近久期的條件期望值的調(diào)整過程,可能用非線性形式來建模相對更合適.于是,在強型ACD模型族中有了相對更具彈性的非線性ACD模型,如對數(shù)ACD模型、BOX-COXACD模型,指數(shù)ACD模型等.一般,ψi是過去久期及其條件期望的函數(shù),根據(jù)函數(shù)形式的不同,分為:1)Engle和Russell在1998年提出的線性ACD模型約束條件:ω>0,α≥0,β≥0,α+β<1.最后一個條件保證了價格久期的非條件均值的存在性和過程的平穩(wěn)性,其他條件則保證價格久期的條件期望為正.2)Bauwens和Giot在2000年提出的對數(shù)ACD模型避免了線性ACD模型隱含的參數(shù)約束,更加方便合理,同時為了檢驗市場微觀結(jié)構(gòu)效應(yīng),還可以方便的加入其它外生的條件變量.3)Dufour和Engle在2000年提出的BOX-COXACD模型也是一種非線性模型,在δ→0時,BOX-COXACD模型就退化為對數(shù)ACD模型.4)Dufour和Engle在2000年提出的指數(shù)ACD模型也是一種非線性模型,可以描述非對稱效應(yīng),若,則此時模型中斜率是α+δ,截距是ω-δ.若,則此時模型中斜率是α-δ,截距是ω+δ.關(guān)于殘差εi的分布,同GARCH模型中的正態(tài)分布一樣,指數(shù)分布是ACD模型的研究起點,復(fù)雜些的還有常見的威布爾分布(Weibull)、Lunde在2000年引入的廣義伽馬分布,和Gramming與Maurer于同年引入的更為復(fù)雜的布爾分布(Burr).不同的分布假設(shè)拓展了模型的適用性.1)標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布(E)指數(shù)分布的生存函數(shù)(S(x)=P(X>x)是常數(shù).2)威布爾分布(W)其中γ>0威布爾分布的生存函數(shù)是單調(diào)的.當(dāng)γ=1時,威布爾分布就退化為指數(shù)分布.γ<1時,生存函數(shù)是遞增的,表示更可能表現(xiàn)出較短的久期值,當(dāng)γ>1時,生存函數(shù)是遞減的,則表示更可能表現(xiàn)出較長的久期值.威布爾分布可以更好的描述出現(xiàn)較短和較長久期出現(xiàn)的可能性.3)廣義伽馬分布(G)其中γ,λ>0當(dāng)λ=1時,廣義伽馬分布就退化為威布爾分布,當(dāng)γ=λ=1時,廣義伽馬分布就退化為指數(shù)分布.當(dāng)λγ<1,γ>1時,生存函數(shù)為U型,表示交易不很活躍.當(dāng)λγ>1,γ<1時,生存函數(shù)為倒U型,表示交易很活躍.4)布爾分布(B)Burr分布可以由Gamma分布和Weibull分布的混合分布導(dǎo)出.指數(shù)分布、Weibull分布可以視為Burr分布的極限分布.ACD模型可以采用極大化似然函數(shù)的方法來估計參數(shù),其數(shù)值算法可采用Berndt等人在1974年提出的BHHH算法.對模型的殘差進行診斷檢驗,可以檢驗各ACD模型是否較好地捕捉久期的動態(tài)性和分布特征及其預(yù)測效果.Engle和Russell在1998年指出,ACD模型捕捉數(shù)據(jù)自回歸結(jié)構(gòu)的程度可以通過考察標(biāo)準(zhǔn)殘差εi=xi/ψi其自相關(guān)的程度來確定:由于殘差是模型無法預(yù)測的,所以如果它是白噪聲,則表明該ACD模型對久期自回歸結(jié)構(gòu)的描述正確.而這可以利用Ljung-Box的Q統(tǒng)計量來檢驗“標(biāo)準(zhǔn)化”久期εi=xi/ψi的自相關(guān)性,若無法拒絕前k階自相關(guān)系數(shù)都為0的原假設(shè),則說明該ACD模型很好地解釋了價格久期的聚集效應(yīng).4.3門限變量zi-1,rj的形式弱型ACD模型則放寬了強型ACD模型的分布函數(shù)的限制條件,使得許多ACD模型更具適用性,其中,應(yīng)用最為廣泛、發(fā)展最為完備的弱型ACD模型為門限ACD模型和Markov變換ACD模型.1)門限ACD模型(TACD模型)Zhang,Russell和Tsay在2001年提出了TACD模型,它允許ψi序列是非線性的.TACD模型作為線性ACD模型的推廣,它允許在時間序列的不同子時期內(nèi)久期的條件均值方程不相同并具有不同形式的分布.TACD(p,q)的形式如下:設(shè)xi為調(diào)整后的久期,定義Rj=[rj-1,rj),j=1,…,J,其中-∞=r0<r1<…<rJ=∞表示門限值,如果門限變量Zi-d∈Rj,則有:其中,為獨立同分布的序列,它們在不同的時間區(qū)間上可以服從不同的分布形式,門限變量為Zi=h(xi,…,xj;Yi,…,Yj),{Yj}為相關(guān)經(jīng)濟變量組成的向量.2)Markov變換ACD模型(MSACD模型)Hujer等在2002年提出了MSACD(MarkovSwitchingACD)模型.該模型久期序列xi依賴于某個潛在的服從Markov過程的隨機變量Si.該模型和Hamilton在1989年推廣的Markov變換自回歸模型(MarkovSwitchingAutoregressiveRegressionModels)相似,它包括了很多已有的ACD模型.以兩階段MSACD為例:Si=1是第一階段,Si=2是第二階段.隨機變量Si的引入對了解市場的微觀結(jié)構(gòu)有一定的幫助.為避免ψi的條件均值由于序列相關(guān)性帶來的計算復(fù)雜性,可采用Gray在1996年提出的方法,將ψi在各個階段的條件期望根據(jù)其在該狀態(tài)的條件概率來平均,即:其中P(Si=j|Ii