【解析】【備考2024】2023年高考數(shù)學(xué)新高考一卷真題變式分層精準(zhǔn)練：第22題

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【備考2024】2023年高考數(shù)學(xué)新高考一卷真題變式分層精準(zhǔn)練：第22題

一、原題

1．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0，)的距離，記動點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于.

【答案】（1）設(shè)，由題意可得，化簡得，

所以動點(diǎn)P的軌跡方程W為

（2）假設(shè)三點(diǎn)在W上，設(shè)且，因?yàn)锳BCD為矩形，所以，

所以，

又，所以，

矩形ABCD周長

不妨設(shè)且

原式

令，，，，

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增。∴

∴原式，即矩形ABCD的周長大于

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（?。┲担黄矫鎯?nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；拋物線的定義

【解析】【分析】(1)利用兩點(diǎn)間距離等于點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離，求軌跡方程。

（2）利用矩形的兩邊垂直向量表示建立等式，尋找等量關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離表示周長進(jìn)而利用不等式的知識進(jìn)行化簡與放縮轉(zhuǎn)化成單變量最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其最值可得.

二、基礎(chǔ)

2．（2022·邯鄲模擬）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸右側(cè)，且到點(diǎn)的距離比其到軸距離多1.

（1）求點(diǎn)軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn).若是正三角形，求直線的斜率.

【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，且.

由題意，

整理得

（2）解：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，AB的中點(diǎn)

聯(lián)立方程得

則，且，

從而，即

設(shè)，由于為正三角形，則

，即，即

又∵，，

，

故，即，

即

即，解得，

直線的斜率

【知識點(diǎn)】軌跡方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由已知條件代入整理即可得出點(diǎn)P的軌跡方程。

(2)根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，結(jié)合斜率公式即可得出a與m的關(guān)系式，并把結(jié)果代入到弦長公式整理化簡計算出m的取值，從而得出斜率的值。

3．（2023高二上·河池期末）已知M，N是橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且直線的斜率為．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）設(shè)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，B為橢圓E上一點(diǎn)，C為橢圓E上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，求直線的斜率．

【答案】（1）解：橢圓的上頂點(diǎn)為和右頂點(diǎn)為，

因?yàn)橹本€的斜率為，

所以，，

所以離心率為，

（2）解：因?yàn)殡x心率，所以，則，

所以橢圓方程為，，

設(shè)，

則，得，則，

因?yàn)樵跈E圓上，所以，，

解得，

則直線的斜率為，

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由橢圓的簡單性質(zhì)即可求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求出直線的斜率，結(jié)合橢圓里a、b、c的關(guān)系以及離心率公式，計算出結(jié)果即可。

(2)根據(jù)題意由離心率公式以及橢圓里a、b、c的關(guān)系，整理化簡即可得出a與b的關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可得出再把之間的關(guān)系，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓的方程，結(jié)合離心率公式整理化簡即可得出答案。

4．（2023高二上·白云期末）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，，請問點(diǎn)P能否為線段的中點(diǎn)，并說明理由.

【答案】（1）解：動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是

則

等式兩邊平方可得：

化簡得曲線C的方程為：

（2）解：點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由如下：

由（1）知，曲線C的方程為：

過點(diǎn)的直線斜率為，，

因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，

所以，兩式作差并化簡得：①

當(dāng)為的中點(diǎn)時，則，②

將②代入①可得：

此時過點(diǎn)的直線方程為：

將直線方程與曲線C方程聯(lián)立得：

，

，無解

與過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)矛盾

所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；軌跡方程；曲線與方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式，整理化簡即可得出曲線的方程。

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式，利用設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)差法以及中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，計算出k的取值由此即可得出直線的方程，再聯(lián)立直線與曲線的方程消元后得到關(guān)于x的方程，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出結(jié)論與已知條件矛盾，從而即可得出結(jié)論。

5．（2023高二上·河池期末）已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時，求的值．

【答案】（1）解：由已知，，所以，

且過點(diǎn)，所以，解得，，

所以雙曲線C的方程為.

（2）解：設(shè)，

由得，

所以，，

即，，所以.

【知識點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出a與b的關(guān)系，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計算出a與b的值，由此即可得出橢圓的方程。

(2)利用設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后把結(jié)果代入到代數(shù)式整理化簡計算出結(jié)果即可。

6．（2023高二上·太原期末）已知定點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．

（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）過的直線，分別與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)M，N（均異于點(diǎn)Q），記直線，的斜率分別為，，若，求證：直線MN的斜率為定值．

【答案】（1）解：由題設(shè)，，則，又，

∴，故動點(diǎn)P的軌跡方程為.

（2）解：由題設(shè)，令為，為，

聯(lián)立拋物線，可得：，若，，

∴，則，同理可得，則，

∴，為定值.

【知識點(diǎn)】直線的斜率；軌跡方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件結(jié)合拋物線的定義，整理化簡即可得出點(diǎn)P的軌跡方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程，由此求解出x的取值，再由斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡計算出結(jié)果即可。

7．（2023高二上·包頭期末）已知拋物線，準(zhǔn)線方程為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若定點(diǎn)，直線l與地物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率.

【答案】（1）解：因?yàn)闇?zhǔn)線方程為.所以，即.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：設(shè)，由可得

，從而有，即，

化簡得

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為，

將其與拋物線C的方程聯(lián)立得，

故，.

而

，即，解得或﹣1，

所以直線l的斜率為或﹣1.

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的簡單性質(zhì)結(jié)合已知條件，計算出P的值從而即可得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式由已知條件計算出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求出直線的方程再聯(lián)立拋物線的方程消元后，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)公式，代入計算出m的取值，由此即可得出斜率的值。

8．（2023高二上·大連期末）已知拋物線C：上的點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4.

（1）求p的值；

（2）設(shè)A，B是拋物線C上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：直線AB過定點(diǎn).

【答案】（1）解：由拋物線定義得，

（2）解：設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立，消去得：，則，

由得：，所以或（舍）

即，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).

【知識點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線；拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義，整理化簡計算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于m和n的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算出n的值，從而得出直線的方程，由此即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

9．（2022高三上·海口）已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．

【答案】（1）虛軸長為4，，即，

直線為雙曲線的一條漸近線，

，，

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意知，，，

由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，

聯(lián)立，得，

，，

，

直線的斜率，直線的斜率，

，為定值．

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由雙曲線的方程求出b的取值，再由雙曲線的漸近線方程計算出a的取值，由此即可得出雙曲線的方程。

(2)由已知條件即可得出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達(dá)定理計算出兩根之和與兩根之積的關(guān)于n的代數(shù)式，然后由直線斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡計算出結(jié)果即可。

三、提高

10．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值.

【答案】（1）解：由橢圓的離心率為，可得，可得，

設(shè)橢圓方程，將點(diǎn)代入方程，可得，

故方程為.

（2）解：設(shè)且，

聯(lián)立方程，整理得，

由，可得，且，，

又由原點(diǎn)到的距離，

由圓錐曲線的弦長公式，可得，

所以

令，可得

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積取到最大值

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由橢圓的離心率為得，設(shè)橢圓方程，將點(diǎn)代入得，即橢圓方程；

(2)設(shè)與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式得結(jié)合基本不等式求面積的最大值.

11．（2023高二下·深圳期末）已知雙曲線的離心率為，且的一個焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，且直線與圓分別交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，的面積為，求的取值范圍.

【答案】（1）解：由題可知是雙曲線的一條漸近線方程，右焦點(diǎn)為，

所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離，

又因?yàn)?，所以，則依題意可得，

由離心率，解得，

所以雙曲線的方程為.

（2）解：如圖所示，

由（1）知，，

設(shè)直線的方程：，

由得，

因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，

所以解得，

，

所以，

設(shè)，且，

所以，即，所以，

又因?yàn)?，所以?/p>

由，得，

所以，同理可得，

由得，

所以，同理可得，

所以

，

令，由，得，

所以，

令，

因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，

所以的取值范圍為，

又因?yàn)椋?/p>

所以的取值范圍為.

【知識點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）首先根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線的距離為可求出b，再根據(jù)離心率可求出a，即可求出雙曲線的方程；

（2）首先將直線PQ與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，可求出，設(shè)，根據(jù)以及，可得，將直線AP與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，可用m表示出和，即可用m表示出，令，將求的取值范圍轉(zhuǎn)化為求，即可求出答案.

12．（2023高二下·安寧期末）已知橢圓，（，），過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若，是橢圓上位于兩側(cè)的動點(diǎn)，當(dāng)，運(yùn)動時，始終保持平分，求證：直線的斜率為定值．

【答案】（1）解：由題意知，點(diǎn)在橢圓上，即，解得：，

所以橢圓的方程為：；

（2）解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，

因?yàn)槠椒?，所以直線的斜率為，

則直線為：，直線為：，

聯(lián)立直線與橢圓：

消得：

解得：，，

同理可得：，，

所以

所以，

即直線的斜率為定值.

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和過橢圓的直線問題，

（1）由題中已知條件可以確定又焦點(diǎn)F2的橫坐標(biāo)為2，又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上聯(lián)立方程即可求出a2、b2的值，從而得到橢圓C的方程；

（2）因?yàn)镸、N是橢圓上位于AB兩側(cè)的動點(diǎn)，所以AM、AN的斜率存在，設(shè)出AM、AN的斜率，寫出AM、AN的方程，聯(lián)立方程組求解即可.

13．（2023高二下·黃浦期末）橢圓的方程為，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）若為直角三角形，求的面積；

（3）線、的斜率分別為、，是否存在位于第一象限的點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）解：由橢圓的方程為，得標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則，故，

所以離心率；

（2）解：設(shè)，，

當(dāng)時，，

此時，

由對稱性，不妨設(shè)，且在第一象限，

令，得，則，

此時，

綜上，的面積為或；

（3）解：設(shè)，則直線，

由已知，

同理：，

因而，是方程的兩根，

所以，得，

又點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，

所以，則，

由在第一象限得，所以，

所以存在，.

【知識點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓C的方程可求出a、b、c的值，根據(jù)可求出橢圓的離心率；

（2）分和兩種情況，求出；

（3）首先設(shè)，則直線，可得，同理，證得，即證明了，是方程的兩根，其次可求出的值，得到，再根據(jù)點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，可求P的坐標(biāo)．

14．（2023高二下·靜安期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；

（2）當(dāng)時，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長度，的面積，求直線的方程.

【答案】（1）解：設(shè)，

因?yàn)?，動點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，

所以，即，

即動點(diǎn)的軌跡的方程為.

討論的形狀與值的關(guān)系如下：

當(dāng)時，的形狀為雙曲線；

當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓；

當(dāng)時，的形狀為圓；

當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓；

（2）解：當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為.

由題意知，直線斜率存在，

聯(lián)立，則，

，

則，

所以，

所以，

設(shè)到直線距離為，直線

則，

所以，平方得，

代入上式得，則，

平方得，即，

所以，得，則，

則，所以，

此時成立，

所以直線的方程為，

即或或或.

【知識點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)、設(shè)，因?yàn)?，動點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，即動點(diǎn)的軌跡的方程為，分情況討論即可求出.

(2)、當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為，求出，設(shè)到直線距離為，直線，求出，求出，根據(jù)判別式求出即可.

15．（2023高二下·安徽月考）已知直線過定點(diǎn)，雙曲線過點(diǎn)，且的一條漸近線方程為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和的方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，試探究：直線，的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）由直線知，，

得定點(diǎn).

則，解得，

故的方程為.

（2）

由（1）知，，設(shè)，.

聯(lián)立，

整理得，

則，且，

∴且，

∴，，

∴

所以直線，的斜率之和是為定值，定值為3.

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)將直線化簡為，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)漸近線方程即可求出C的方程；

(2)聯(lián)立雙曲線和直線由韋達(dá)定理，表達(dá)出代入韋達(dá)定理，即可求出直線，的斜率之和是為定值.

16．（2023高三下·吉林）已知拋物線：與圓：相交于四個點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，求四邊形面積；

（2）當(dāng)四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．

【答案】（1）解：將代入，并化簡得，解得或，代入拋物線方程可得

故；

（2）解：不妨設(shè)與的四個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．

則直線的方程分別為，，兩方程相加可得，故，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

聯(lián)立拋物線與圓的方程有，即，可得.

設(shè)，則，由（1）知由于四邊形為等腰梯形，因而其面積

則將代入上式，并令，得．

求導(dǎo)數(shù)，令，解得：（舍去）．

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故當(dāng)且僅當(dāng)時，此時．

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）將代入求出四點(diǎn)坐標(biāo)利用梯形面積公式求四邊形面積；

（2）求出四點(diǎn)坐標(biāo)利用梯形面積公式寫出四邊形面積，利用導(dǎo)數(shù)判斷四邊形面積最大時圓的半徑的值。

17．（2023·黃埔）直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)．

（1）若，求拋物線的方程；

（2）若直線與坐標(biāo)軸不垂直，，證明：的充要條件是．

【答案】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，

所以拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立方程組，整理得，

則，．

當(dāng)時，直線的斜率之和為

，

因?yàn)?/p>

，

所以，即的傾斜角互補(bǔ)，所以．

反之，當(dāng)時，直線的斜率之和為0，

即，

所以，

即，

因?yàn)?，所以?/p>

即，

所以，可得，

綜上所述，的充要條件是．

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，代入求得p=2，即可得拋物線方程；

(2)設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得，，當(dāng)m+t=0時，求得kAM+kBM=0得到充分性成立，反之由∠TMA=∠TMB時，根據(jù)kAM+kBM=0，求得，可得，得出必要性成立，即可得證的充要條件是．

18．（2023高二下·欽州期中）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、滿足：.試問，是否存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)到點(diǎn)的距離均相等？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)檫^且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，

所以點(diǎn)在橢圓上，即.

又圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，所以，所以.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：由題意可知，直線的方程為：，代入，

整理得.

設(shè)，，則，，

所以由，得，，

所以線段垂直平分線的方程為：，

線段垂直平分線的方程為：.

由，得交點(diǎn).

不妨設(shè)，由，得，

所以，

，

所以，

故存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)到點(diǎn)的距離均相等.

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】(1)、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)檫^且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，所以點(diǎn)在橢圓上，即.又圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，所以，所以.

(2)、由題意可知，直線的方程為：，代入，整理得.設(shè)，，則，，所以由，得，，所以線段垂直平分線的方程為：，線段垂直平分線的方程為：.

19．（2023·浙江模擬）已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線的交點(diǎn)N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，證明為定值，并求出定值．

【答案】（1）解：因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?，所以，?/p>

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為．

（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，即.

因?yàn)闉橹本€和直線的交點(diǎn)，

所以，所以點(diǎn)都在直線上，

所以所在的直線方程為，

將直線與漸近線方程聯(lián)立得，解得，

即，同理得，

所以，

因?yàn)?/p>

，

所以，

所以為定值6.

【知識點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的運(yùn)用，

（1）考生要熟記雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程公式，根據(jù)題意可以計算出，，，即可求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為；

（2）第二小題難度略有增加，此時就要根據(jù)題目進(jìn)行曲線畫圖，將N點(diǎn)假設(shè)，再用N點(diǎn)表示出所在的直線方程，直線與漸近線方程聯(lián)立，算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再計算即可.

20．（2023·義烏模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過作軸的垂線分別交于，問是否存在常數(shù)，使得.

【答案】（1）解：因?yàn)?、，?/p>

所以點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)的橢圓，

這里，，，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）解：

設(shè)，代入，得，

即，得：，

設(shè)，代入，得，

即，得：，

，

由得，得，

得

.

代入，得，代入，得，

因?yàn)?，所?

所以存在常數(shù)，使得.

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)M的軌跡為橢圓，根據(jù)題意得a，c，進(jìn)而求出b，可得橢圓的方程；

(2)設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，求出E的坐標(biāo)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，求出F的坐標(biāo)，再求出G，R，T的坐標(biāo)，由此可得的值.

21．（2023·溫州模擬）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).

（1）設(shè)，求證：是定值；

（2）求的取值范圍.

【答案】（1）證明：由是直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，

顯然直線不垂直y軸，點(diǎn)，

故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，

所以為定值.

（2）解：由（1）知，直線的斜率，方程為，

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，

由消去得，

，

，

而直線的方程為，依題意，

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)

，

因此，

所以的取值范圍是.

【知識點(diǎn)】雙曲線的定義；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出直線的方程為，直線與拋物線的方程聯(lián)立方程組即可求解；

（2）由（1）求出直線斜率以及直線的方程，并求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線的方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列式求出范圍即可.

22．（2023·宜賓模擬）已知點(diǎn)A在y軸右側(cè)，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為，，直線AB，AC的斜率之積是3.

（1）求點(diǎn)A的軌跡D的方程；

（2）若拋物線與點(diǎn)A的軌跡D交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過B作于H，是否存在定點(diǎn)G使為常數(shù)？若存在，求出G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，

因?yàn)锳B，AC的斜率之積是3，所以.

所以點(diǎn)A的軌跡D的方程為.

（2）解：由

得，，，

設(shè)，，則，，

又因?yàn)椋?，所以?/p>

因?yàn)椋?/p>

所以直線EF的方程為，

即，

所以直線EF過定點(diǎn)，

當(dāng)G為BP的中點(diǎn)時，因?yàn)橛贖，所以，

所以存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡可得出點(diǎn)A的軌跡D的方程；

（2）設(shè)，，將拋物線C的方程與曲線D聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線EF的方程并化簡，即可求得直線EF過定點(diǎn)，進(jìn)而求出G的坐標(biāo)，使為常數(shù).

四、巔峰

23．（2023高二下·聯(lián)合期末）已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為3，最小距離為1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為，在上有一動點(diǎn)，連接分別和橢圓交于兩點(diǎn)，與的面積分別為．是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到的最大距離為3，最小距離為1，

所以，，又，

解得，，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）解：由（1）可得，

假設(shè)存在點(diǎn)，使得，

設(shè)，則，

設(shè)橫坐標(biāo)為，

則，

所以，

整理得，①

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線斜率為，斜率為，

故，設(shè)直線的斜率為，

故直線方程為，直線方程為，

將直線和橢圓聯(lián)立

可得，

由韋達(dá)定理可得，解得，

將直線和橢圓聯(lián)立

可得，

由韋達(dá)定理可得，解得，

將橫坐標(biāo)代入①式可得，，

整理得，

化簡得，解得，即，

當(dāng)時，直線的方程為，

代入點(diǎn)可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，直線的方程為，

代入點(diǎn)可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故點(diǎn)坐標(biāo)為或．

【知識點(diǎn)】直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)橫坐標(biāo)為，根據(jù)面積關(guān)系分析可得，再證明，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立方程求，代入運(yùn)算求解即可.

24．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．

（1）寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；

（2）證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．

【答案】（1）解：由橢圓方程可知：，，所以

右焦點(diǎn)坐標(biāo)，該橢圓的離心率；

（2）證明：斜率均存在，

設(shè)，直線AB方程為，

則，

聯(lián)立，

則有，

將上式中換為，可得，

若，則直線MN斜率不存在，此時直線MN過點(diǎn)，

下證動直線MN過定點(diǎn)，

若直線MN斜率存在，則，

直線MN方程為，

令得，所以此時直線MN也過定點(diǎn)，

當(dāng)兩條直線其中一條斜率不存在，一條直線斜率為0時，

不妨設(shè)斜率不存在，斜率為0，

此時，

則直線的方程為，過點(diǎn)，

綜上，動直線MN過定點(diǎn)；

（3）解：由（2）可知直線MN過定點(diǎn)，

，

令，

，

因?yàn)?，所以在上遞減，

所以時，取得最大值，此時.

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)方程求出，進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而求MN的方程，即可得結(jié)果，注意對斜率不存在的討論；

(3)結(jié)合(2)中的結(jié)論可得，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

25．（2023·上海市模擬）貝塞爾曲線是計算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點(diǎn)，根據(jù)對應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．

如圖所示，拋物線，其中為一給定的實(shí)數(shù).．

（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

證明：．

【答案】（1）解：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為

（2）解：將代入，

化簡得（*），

方程（*）的判別式，化簡得，即．

（3）證明：設(shè)，

設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，

由消去并化簡得，

，

，，

解得，故切線方程為，

，，即，

同理可求得拋物線上過點(diǎn)B，C的切線方程分別為：

，，

由過的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為：

，，，

注意到結(jié)論中線段長度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，

得，命題得證．

【知識點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)；拋物線的應(yīng)用；圓錐曲線的綜合

【解析】【分析】（1）直接根據(jù)拋物線方程寫出焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程即可；

（2）聯(lián)立方程，由即可得解；

（3）設(shè)，設(shè)拋物線在A點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)求得斜率，進(jìn)而可求得三條切線方程，從而可求得點(diǎn)D、E、F的橫坐標(biāo)，再根據(jù)結(jié)論中線段長度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，即可得證.

26．（2023·廣州模擬）已知雙曲線，直線過的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)．

（1）若兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，求證：為定值；

（2）試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

【答案】（1）解：如圖，

由，設(shè)，直線，

代入，整理得：，

由解得：

由韋達(dá)定理：，

由，

同理，．

為定值．

另法：由，

同理，．

由于，不妨設(shè)，

則．

由，

得．

所以為定值．

（2）解：由題意：圓的方程為

即

由對稱性可知：若存在定點(diǎn)，則必在軸上

令，有

由（1）可知，

代入方程后有：，

即，

令即．故圓過定點(diǎn)．

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式表示為|MF|，|NF|，再代入求得結(jié)果.

（2）表示圓的方程，由對稱性可知定點(diǎn)在x軸上，令y=0進(jìn)行求解即可.

27．（2023·廣州模擬）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點(diǎn)，若.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，

①過直線上一點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求證：直線恒過定點(diǎn)；

②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）解：據(jù)題意，，

從而可得，

由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，

所以所求的橢圓的方程為

（2）解：①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，

則切線方程分別為，

又兩切線均過點(diǎn)，即，

從而點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程，

而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線的方程是，

顯然對任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)都適合這個方程，故直線恒過定點(diǎn).

②將直線的方程，代入橢圓方程，得，

即，

不妨設(shè)，

同理.

所以

故存在實(shí)數(shù)，使得

【知識點(diǎn)】橢圓的定義；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意分析可得，結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解，注意；

(2)①根據(jù)題中的切線方程分析證明；②結(jié)合①中的結(jié)果，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

28．（2023高三下·杭州模擬）坐標(biāo)平面中，是橢圓上一點(diǎn)，經(jīng)過的直線（不過點(diǎn)）與交于兩點(diǎn)，直線與的斜率乘積為.

（1）求的方程；

（2）直線與交于點(diǎn)，且.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，求直線的方程.

【答案】（1）解：由題意，在中，經(jīng)過的直線（不過點(diǎn)）與交于兩點(diǎn)

設(shè)，則，且，

∵在上，

∴，兩式相減得，，

∵，

∴，即，

代入中解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）解：由題意及（1）得，

當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線方程為：，

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，

設(shè)，

當(dāng)，

即時，有，

∵，∴，

∵

，

∴，

整理得，，

，

∵直線不過點(diǎn)，

∴，

∴，

∴直線經(jīng)過定點(diǎn)，

當(dāng)直線垂直于軸時，設(shè)方程為：，

則，且，①

由得，，②

由①②解得，或（舍），

∴此時直線也經(jīng)過定點(diǎn)，

綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn)，

當(dāng)垂直于直線時，點(diǎn)到直線的距離最大，此時，

∴直線的斜率為，直線方程為：，

故所求直線方程為：.

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）設(shè)，則，且，，

兩式相減得，，即，得，代入中求解出，即可得橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，求解可得m的值，求出直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)垂直于直線時，點(diǎn)到直線的距離最大，此時，再利用點(diǎn)斜式可求出直線的方程.

29．（2023·遂寧模擬）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．

【答案】（1）解：由題設(shè)因?yàn)椋?/p>

所以：

，所以，

所以橢圓方程為

（2）解：由（1）知的坐標(biāo)為，

①當(dāng)直線的斜率不存在時，，，則；

②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為且，

聯(lián)立，得，

設(shè)，，則，，

，

設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，

解得，，所以，

所以，

又，所以的取值范圍是．

綜上所述，的取值范圍是．

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由題設(shè)，由于，得圓心(0，0)到直線A2G距離平方為，由橢圓的離心率為，得，求解出a，b，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分兩種情況：①當(dāng)直線的斜率不存在時；②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為且，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求出，設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程可得，進(jìn)而求出的取值范圍.

30．（2023·潮州模擬）已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)，的上頂點(diǎn)到直線的距離為2，如圖過點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且.

（1）求的長度；

（2）求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）解：的上頂點(diǎn)到直線的距離，解得，

又橢圓過點(diǎn)，

則，解得，

所以橢圓方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

由題意直線的斜率存在，

設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，

令，則，令，則，

即，

由，得，

所以，所以，

所以

；

（2）解：由（1）得直線的斜率，

因?yàn)椋裕?/p>

所以直線的方程為，即，

聯(lián)立，解得，所以，

所以，

點(diǎn)到直線的距離，

又因，所以，

由橢圓的對稱性可得四邊形，

所以四邊形面積，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

則，，所以，

即四邊形面積的最大值為.

【知識點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出，再根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)求出，即可求出橢圓方程為，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，所以，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，分別求出兩點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可得解；

（2）根據(jù)，結(jié)合（1）可得直線的方程為，聯(lián)立方程，求出，再利用弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)四邊形面積，化簡整理即可得解.

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【備考2024】2023年高考數(shù)學(xué)新高考一卷真題變式分層精準(zhǔn)練：第22題

一、原題

1．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0，)的距離，記動點(diǎn)P的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于.

二、基礎(chǔ)

2．（2022·邯鄲模擬）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸右側(cè)，且到點(diǎn)的距離比其到軸距離多1.

（1）求點(diǎn)軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn).若是正三角形，求直線的斜率.

3．（2023高二上·河池期末）已知M，N是橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且直線的斜率為．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）設(shè)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，B為橢圓E上一點(diǎn)，C為橢圓E上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，求直線的斜率．

4．（2023高二上·白云期末）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，，請問點(diǎn)P能否為線段的中點(diǎn)，并說明理由.

5．（2023高二上·河池期末）已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時，求的值．

6．（2023高二上·太原期末）已知定點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．

（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）過的直線，分別與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)M，N（均異于點(diǎn)Q），記直線，的斜率分別為，，若，求證：直線MN的斜率為定值．

7．（2023高二上·包頭期末）已知拋物線，準(zhǔn)線方程為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若定點(diǎn)，直線l與地物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率.

8．（2023高二上·大連期末）已知拋物線C：上的點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4.

（1）求p的值；

（2）設(shè)A，B是拋物線C上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：直線AB過定點(diǎn).

9．（2022高三上·海口）已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．

三、提高

10．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最大值.

11．（2023高二下·深圳期末）已知雙曲線的離心率為，且的一個焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，且直線與圓分別交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，的面積為，求的取值范圍.

12．（2023高二下·安寧期末）已知橢圓，（，），過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若，是橢圓上位于兩側(cè)的動點(diǎn)，當(dāng)，運(yùn)動時，始終保持平分，求證：直線的斜率為定值．

13．（2023高二下·黃浦期末）橢圓的方程為，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，為橢圓上的動點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）若為直角三角形，求的面積；

（3）線、的斜率分別為、，是否存在位于第一象限的點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

14．（2023高二下·靜安期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；

（2）當(dāng)時，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長度，的面積，求直線的方程.

15．（2023高二下·安徽月考）已知直線過定點(diǎn)，雙曲線過點(diǎn)，且的一條漸近線方程為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和的方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，試探究：直線，的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

16．（2023高三下·吉林）已知拋物線：與圓：相交于四個點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，求四邊形面積；

（2）當(dāng)四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．

17．（2023·黃埔）直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)．

（1）若，求拋物線的方程；

（2）若直線與坐標(biāo)軸不垂直，，證明：的充要條件是．

18．（2023高二下·欽州期中）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、滿足：.試問，是否存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)到點(diǎn)的距離均相等？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19．（2023·浙江模擬）已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線的交點(diǎn)N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，證明為定值，并求出定值．

20．（2023·義烏模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過作軸的垂線分別交于，問是否存在常數(shù)，使得.

21．（2023·溫州模擬）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).

（1）設(shè)，求證：是定值；

（2）求的取值范圍.

22．（2023·宜賓模擬）已知點(diǎn)A在y軸右側(cè)，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為，，直線AB，AC的斜率之積是3.

（1）求點(diǎn)A的軌跡D的方程；

（2）若拋物線與點(diǎn)A的軌跡D交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過B作于H，是否存在定點(diǎn)G使為常數(shù)？若存在，求出G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

四、巔峰

23．（2023高二下·聯(lián)合期末）已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為3，最小距離為1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓左右頂點(diǎn)為，在上有一動點(diǎn)，連接分別和橢圓交于兩點(diǎn)，與的面積分別為．是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

24．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．

（1）寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；

（2）證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．

25．（2023·上海市模擬）貝塞爾曲線是計算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點(diǎn)，根據(jù)對應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．

如圖所示，拋物線，其中為一給定的實(shí)數(shù).．

（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

證明：．

26．（2023·廣州模擬）已知雙曲線，直線過的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)．

（1）若兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，求證：為定值；

（2）試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

27．（2023·廣州模擬）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點(diǎn)，若.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，

①過直線上一點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求證：直線恒過定點(diǎn)；

②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

28．（2023高三下·杭州模擬）坐標(biāo)平面中，是橢圓上一點(diǎn)，經(jīng)過的直線（不過點(diǎn)）與交于兩點(diǎn)，直線與的斜率乘積為.

（1）求的方程；

（2）直線與交于點(diǎn)，且.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，求直線的方程.

29．（2023·遂寧模擬）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．

30．（2023·潮州模擬）已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)，的上頂點(diǎn)到直線的距離為2，如圖過點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且.

（1）求的長度；

（2）求四邊形面積的最大值.

答案解析部分

1．【答案】（1）設(shè)，由題意可得，化簡得，

所以動點(diǎn)P的軌跡方程W為

（2）假設(shè)三點(diǎn)在W上，設(shè)且，因?yàn)锳BCD為矩形，所以，

所以，

又，所以，

矩形ABCD周長

不妨設(shè)且

原式

令，，，，

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增。∴

∴原式，即矩形ABCD的周長大于

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；拋物線的定義

【解析】【分析】(1)利用兩點(diǎn)間距離等于點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離，求軌跡方程。

（2）利用矩形的兩邊垂直向量表示建立等式，尋找等量關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離表示周長進(jìn)而利用不等式的知識進(jìn)行化簡與放縮轉(zhuǎn)化成單變量最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其最值可得.

2．【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，且.

由題意，

整理得

（2）解：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，AB的中點(diǎn)

聯(lián)立方程得

則，且，

從而，即

設(shè)，由于為正三角形，則

，即，即

又∵，，

，

故，即，

即

即，解得，

直線的斜率

【知識點(diǎn)】軌跡方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由已知條件代入整理即可得出點(diǎn)P的軌跡方程。

(2)根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，結(jié)合斜率公式即可得出a與m的關(guān)系式，并把結(jié)果代入到弦長公式整理化簡計算出m的取值，從而得出斜率的值。

3．【答案】（1）解：橢圓的上頂點(diǎn)為和右頂點(diǎn)為，

因?yàn)橹本€的斜率為，

所以，，

所以離心率為，

（2）解：因?yàn)殡x心率，所以，則，

所以橢圓方程為，，

設(shè)，

則，得，則，

因?yàn)樵跈E圓上，所以，，

解得，

則直線的斜率為，

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由橢圓的簡單性質(zhì)即可求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求出直線的斜率，結(jié)合橢圓里a、b、c的關(guān)系以及離心率公式，計算出結(jié)果即可。

(2)根據(jù)題意由離心率公式以及橢圓里a、b、c的關(guān)系，整理化簡即可得出a與b的關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可得出再把之間的關(guān)系，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓的方程，結(jié)合離心率公式整理化簡即可得出答案。

4．【答案】（1）解：動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是

則

等式兩邊平方可得：

化簡得曲線C的方程為：

（2）解：點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由如下：

由（1）知，曲線C的方程為：

過點(diǎn)的直線斜率為，，

因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，

所以，兩式作差并化簡得：①

當(dāng)為的中點(diǎn)時，則，②

將②代入①可得：

此時過點(diǎn)的直線方程為：

將直線方程與曲線C方程聯(lián)立得：

，

，無解

與過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)矛盾

所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；軌跡方程；曲線與方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式，整理化簡即可得出曲線的方程。

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式，利用設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)差法以及中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，計算出k的取值由此即可得出直線的方程，再聯(lián)立直線與曲線的方程消元后得到關(guān)于x的方程，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得出結(jié)論與已知條件矛盾，從而即可得出結(jié)論。

5．【答案】（1）解：由已知，，所以，

且過點(diǎn)，所以，解得，，

所以雙曲線C的方程為.

（2）解：設(shè)，

由得，

所以，，

即，，所以.

【知識點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出a與b的關(guān)系，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計算出a與b的值，由此即可得出橢圓的方程。

(2)利用設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后把結(jié)果代入到代數(shù)式整理化簡計算出結(jié)果即可。

6．【答案】（1）解：由題設(shè)，，則，又，

∴，故動點(diǎn)P的軌跡方程為.

（2）解：由題設(shè)，令為，為，

聯(lián)立拋物線，可得：，若，，

∴，則，同理可得，則，

∴，為定值.

【知識點(diǎn)】直線的斜率；軌跡方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件結(jié)合拋物線的定義，整理化簡即可得出點(diǎn)P的軌跡方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程，由此求解出x的取值，再由斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡計算出結(jié)果即可。

7．【答案】（1）解：因?yàn)闇?zhǔn)線方程為.所以，即.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：設(shè)，由可得

，從而有，即，

化簡得

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為，

將其與拋物線C的方程聯(lián)立得，

故，.

而

，即，解得或﹣1，

所以直線l的斜率為或﹣1.

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的簡單性質(zhì)結(jié)合已知條件，計算出P的值從而即可得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式由已知條件計算出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可求出直線的方程再聯(lián)立拋物線的方程消元后，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)公式，代入計算出m的取值，由此即可得出斜率的值。

8．【答案】（1）解：由拋物線定義得，

（2）解：設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立，消去得：，則，

由得：，所以或（舍）

即，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).

【知識點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線；拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義，整理化簡計算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于m和n的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算出n的值，從而得出直線的方程，由此即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

9．【答案】（1）虛軸長為4，，即，

直線為雙曲線的一條漸近線，

，，

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意知，，，

由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，

聯(lián)立，得，

，，

，

直線的斜率，直線的斜率，

，為定值．

【知識點(diǎn)】斜率的計算公式；雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由雙曲線的方程求出b的取值，再由雙曲線的漸近線方程計算出a的取值，由此即可得出雙曲線的方程。

(2)由已知條件即可得出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達(dá)定理計算出兩根之和與兩根之積的關(guān)于n的代數(shù)式，然后由直線斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡計算出結(jié)果即可。

10．【答案】（1）解：由橢圓的離心率為，可得，可得，

設(shè)橢圓方程，將點(diǎn)代入方程，可得，

故方程為.

（2）解：設(shè)且，

聯(lián)立方程，整理得，

由，可得，且，，

又由原點(diǎn)到的距離，

由圓錐曲線的弦長公式，可得，

所以

令，可得

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積取到最大值

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由橢圓的離心率為得，設(shè)橢圓方程，將點(diǎn)代入得，即橢圓方程；

(2)設(shè)與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式得結(jié)合基本不等式求面積的最大值.

11．【答案】（1）解：由題可知是雙曲線的一條漸近線方程，右焦點(diǎn)為，

所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離，

又因?yàn)椋?，則依題意可得，

由離心率，解得，

所以雙曲線的方程為.

（2）解：如圖所示，

由（1）知，，

設(shè)直線的方程：，

由得，

因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，

所以解得，

，

所以，

設(shè)，且，

所以，即，所以，

又因?yàn)椋裕?/p>

由，得，

所以，同理可得，

由得，

所以，同理可得，

所以

，

令，由，得，

所以，

令，

因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，

所以的取值范圍為，

又因?yàn)椋?/p>

所以的取值范圍為.

【知識點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）首先根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線的距離為可求出b，再根據(jù)離心率可求出a，即可求出雙曲線的方程；

（2）首先將直線PQ與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，可求出，設(shè)，根據(jù)以及，可得，將直線AP與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，可用m表示出和，即可用m表示出，令，將求的取值范圍轉(zhuǎn)化為求，即可求出答案.

12．【答案】（1）解：由題意知，點(diǎn)在橢圓上，即，解得：，

所以橢圓的方程為：；

（2）解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，

因?yàn)槠椒郑灾本€的斜率為，

則直線為：，直線為：，

聯(lián)立直線與橢圓：

消得：

解得：，，

同理可得：，，

所以

所以，

即直線的斜率為定值.

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和過橢圓的直線問題，

（1）由題中已知條件可以確定又焦點(diǎn)F2的橫坐標(biāo)為2，又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上聯(lián)立方程即可求出a2、b2的值，從而得到橢圓C的方程；

（2）因?yàn)镸、N是橢圓上位于AB兩側(cè)的動點(diǎn)，所以AM、AN的斜率存在，設(shè)出AM、AN的斜率，寫出AM、AN的方程，聯(lián)立方程組求解即可.

13．【答案】（1）解：由橢圓的方程為，得標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則，故，

所以離心率；

（2）解：設(shè)，，

當(dāng)時，，

此時，

由對稱性，不妨設(shè)，且在第一象限，

令，得，則，

此時，

綜上，的面積為或；

（3）解：設(shè)，則直線，

由已知，

同理：，

因而，是方程的兩根，

所以，得，

又點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，

所以，則，

由在第一象限得，所以，

所以存在，.

【知識點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓C的方程可求出a、b、c的值，根據(jù)可求出橢圓的離心率；

（2）分和兩種情況，求出；

（3）首先設(shè)，則直線，可得，同理，證得，即證明了，是方程的兩根，其次可求出的值，得到，再根據(jù)點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，可求P的坐標(biāo)．

14．【答案】（1）解：設(shè)，

因?yàn)?，動點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，

所以，即，

即動點(diǎn)的軌跡的方程為.

討論的形狀與值的關(guān)系如下：

當(dāng)時，的形狀為雙曲線；

當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓；

當(dāng)時，的形狀為圓；

當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓；

（2）解：當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為.

由題意知，直線斜率存在，

聯(lián)立，則，

，

則，

所以，

所以，

設(shè)到直線距離為，直線

則，

所以，平方得，

代入上式得，則，

平方得，即，

所以，得，則，

則，所以，

此時成立，

所以直線的方程為，

即或或或.

【知識點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)、設(shè)，因?yàn)?，動點(diǎn)滿足：，分別為直線的斜率，即動點(diǎn)的軌跡的方程為，分情況討論即可求出.

(2)、當(dāng)時，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為，求出，設(shè)到直線距離為，直線，求出，求出，根據(jù)判別式求出即可.

15．【答案】（1）由直線知，，

得定點(diǎn).

則，解得，

故的方程為.

（2）

由（1）知，，設(shè)，.

聯(lián)立，

整理得，

則，且，

∴且，

∴，，

∴

所以直線，的斜率之和是為定值，定值為3.

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)將直線化簡為，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)漸近線方程即可求出C的方程；

(2)聯(lián)立雙曲線和直線由韋達(dá)定理，表達(dá)出代入韋達(dá)定理，即可求出直線，的斜率之和是為定值.

16．【答案】（1）解：將代入，并化簡得，解得或，代入拋物線方程可得

故；

（2）解：不妨設(shè)與的四個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．

則直線的方程分別為，，兩方程相加可得，故，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

聯(lián)立拋物線與圓的方程有，即，可得.

設(shè)，則，由（1）知由于四邊形為等腰梯形，因而其面積

則將代入上式，并令，得．

求導(dǎo)數(shù)，令，解得：（舍去）．

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故當(dāng)且僅當(dāng)時，此時．

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）將代入求出四點(diǎn)坐標(biāo)利用梯形面積公式求四邊形面積；

（2）求出四點(diǎn)坐標(biāo)利用梯形面積公式寫出四邊形面積，利用導(dǎo)數(shù)判斷四邊形面積最大時圓的半徑的值。

17．【答案】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，

所以拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立方程組，整理得，

則，．

當(dāng)時，直線的斜率之和為

，

因?yàn)?/p>

，

所以，即的傾斜角互補(bǔ)，所以．

反之，當(dāng)時，直線的斜率之和為0，

即，

所以，

即，

因?yàn)?，所以?/p>

即，

所以，可得，

綜上所述，的充要條件是．

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，代入求得p=2，即可得拋物線方程；

(2)設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得，，當(dāng)m+t=0時，求得kAM+kBM=0得到充分性成立，反之由∠TMA=∠TMB時，根據(jù)kAM+kBM=0，求得，可得，得出必要性成立，即可得證的充要條件是．

18．【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)檫^且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，

所以點(diǎn)在橢圓上，即.

又圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，所以，所以.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：由題意可知，直線的方程為：，代入，

整理得.

設(shè)，，則，，

所以由，得，，

所以線段垂直平分線的方程為：，

線段垂直平分線的方程為：.

由，得交點(diǎn).

不妨設(shè)，由，得，

所以，

，

所以，

故存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)到點(diǎn)的距離均相等.

【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】(1)、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)檫^且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為2，所以點(diǎn)在橢圓上，即.又圓經(jīng)過橢圓短軸頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)，所以，所以.

(2)、由題意可知，直線的方程為：，代入，整理得.設(shè)，，則，，所以由，得，，所以線段垂直平分線的方程為：，線段垂直平分線的方程為：.

19．【答案】（1）解：因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?，所以，?/p>

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為．

（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，即.

因?yàn)闉橹本€和直線的交點(diǎn)，

所以，所以點(diǎn)都在直線上，

所以所在的直線方程為，

將直線與漸近線方程聯(lián)立得，解得，

即，同理得，

所以，

因?yàn)?/p>

，

所以，

所以為定值6.

【知識點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的運(yùn)用，

（1）考生要熟記雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程公式，根據(jù)題意可以計算出，，，即可求得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為；

（2）第二小題難度略有增加，此時就要根據(jù)題目進(jìn)行曲線畫圖，將N點(diǎn)假設(shè)，再用N點(diǎn)表示出所在的直線方程，直線與漸近線方程聯(lián)立，算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再計算即可.

20．【答案】（1）解：因?yàn)?、，?/p>

所以點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)的橢圓，

這里，，，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）解：

設(shè)，代入，得，

即，得：，

設(shè)，代入，得，

即，得：，

，

由得，得，

得

.

代入，得，代入，得，

因?yàn)?，所?

所以存在常數(shù)，使得.

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)M的軌跡為橢圓，根據(jù)題意得a，c，進(jìn)而求出b，可得橢圓的方程；

(2)設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，求出E的坐標(biāo)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，求出F的坐標(biāo)，再求出G，R，T的坐標(biāo)，由此可得的值.

21．【答案】（1）證明：由是直線與拋物線的兩個交點(diǎn)，

顯然直線不垂直y軸，點(diǎn)，

故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，

所以為定值.

（2）解：由（1）知，直線的斜率，方程為，

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，

由消去得，

，

，

而直線的方程為，依題意，

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)

，

因此，

所以的取值范圍是.

【知識點(diǎn)】雙曲線的定義；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡單性質(zhì)；雙曲線的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出直線的方程為，直線與拋物線的方程聯(lián)立方程組即可求解；

（2）由（1）求出直線斜率以及直線的方程，并求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線的方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列式求出范圍即可.

22．【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，

因?yàn)锳B，AC的斜率之積是3，所以.

所以點(diǎn)A的軌跡D的方程為.

（2）解：由

得，，，

設(shè)，，則，，

又因?yàn)?，，所以?/p>

因?yàn)椋?/p>

所以直線EF的方程為，

即，

所以直線EF過定點(diǎn)，

當(dāng)G為BP的中點(diǎn)時，因?yàn)橛贖，所以，

所以存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡可得出點(diǎn)A的軌跡D的方程；

（2）設(shè)，，將拋物線C的方程與曲線D聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線EF的方程并化簡，即可求得直線EF過定點(diǎn)，進(jìn)而求出G的坐標(biāo)，使為常數(shù).

23．【答案】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到的最大距離為3，最小距離為1，

所以，，又，

解得，，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）解：由（1）可得，

假設(shè)存在點(diǎn)，使得，

設(shè)，則，

設(shè)橫坐標(biāo)為，

則，

所以，

整理得，①

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線斜率為，斜率為，

故，設(shè)直線的斜率為，

故直線方程為，直線方程為，

將直線和橢圓聯(lián)立

可得，

由韋達(dá)定理可得，解得，

將直線和橢圓聯(lián)立

可得，

由韋達(dá)定理可得，解得，

將橫坐標(biāo)代入①式可得，，

整理得，

化簡得，解得，即，

當(dāng)時，直線的方程為，

代入點(diǎn)可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，直線的方程為，

代入點(diǎn)可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故點(diǎn)坐標(biāo)為或．

【知識點(diǎn)】直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)橫坐標(biāo)為，根據(jù)面積關(guān)系分析可得，再證明，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立方程求，代入運(yùn)算求解即可.

24．【答案】（1）解：由橢圓方程可知：，，所以

右焦點(diǎn)坐標(biāo)，該橢圓的離心率；

（2）證明：斜率均存在，

設(shè)，直線AB方程為，

則，

聯(lián)立，