廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學2024屆高三第一次月考數(shù)學試題

梅州中學2024屆高三第一次月考（數(shù)學）一．選擇題（8小題共40分）1．已知集合，，則A．， B．， C．， D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知以原點為頂點，軸的非負半軸為始邊的角的終邊經(jīng)過點，則A．B．C． D．4．已知為遞減等比數(shù)列，，，，則A． B． C． D．5．某單位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三個勞動教育基地進行社會實踐，每個人去一個基地，每個基地至少安排一個人，則乙被安排到基地的排法總數(shù)為A．6 B．12 C．18 D．366．已知平面向量，的夾角為，且，，則A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為，，，則A． B． C．4 D．8．已知數(shù)列的前項和為，且，，則使得成立的的最小值為A．32 B．33 C．44 D．45二．多選題（4小題共20分）9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是A． B． C．向量的夾角為 D．在方向上的投影向量是10．已知函數(shù)，則（）A．f（x）在[0，π]內(nèi)有2個零點 B．f（x）在上單調(diào)遞增 C．f（x）的圖象可由y＝2sin2x的圖象向左平移個單位長度得到 D．f（x）在上的最大值為111如圖，在正方體中，為的中點（

）

A．平面B．C．若正方體的棱長為1，則點到平面的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為12．在數(shù)學課堂上，教師引導學生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，；第次得到數(shù)列1，，，，，，2；．記，數(shù)列的前項和為，則A．B． C．D．三．填空題（4小題，共20分）13．在的二項展開式中，第4項的系數(shù)為．14．已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a5成等比數(shù)列，且a2＝﹣1，則數(shù)列{an}的通項公式是．15．設(shè)三角形是等邊三角形，它所在平面內(nèi)一點滿足，則向量與夾角的余弦值為．16．數(shù)列中，，，記為中在區(qū)間，中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前150項和四．解答題（6小題共70分）17．（2）若在上恰有兩個零點，求的取值范圍。18．在直三棱柱中，、、、分別為，，，中點，．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．20．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．21．梅州是偉人故里，生態(tài)宜居之城，市民幸福感與日俱增．某機構(gòu)為了解市民對幸福感滿意度，隨機抽取了120位市民進行調(diào)查，其結(jié)果如下：回答“滿意”的“工薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“工薪族”人數(shù)是30人，回答“滿意”的“非工薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“非工薪族”人數(shù)是10人．（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，分析能否認為市民對于幸福感滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)？滿意不滿意合計工薪族非工薪族合計（2）用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計概率，機構(gòu)欲隨機抽取部分市民做進一步調(diào)查．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過，若隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達到時，抽樣結(jié)束．記此時抽樣次數(shù)為．①若，求的分布列和數(shù)學期望；0.0500.0100.0053.8416.6357.879②請寫出的數(shù)學期望的表達式（不需證明），根據(jù)你的理解說明的數(shù)學期望的實際意義．附：參考公式：，其中．22．已知數(shù)列的前項和為，，是與的等差中項．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．（3）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：．

2024屆高三數(shù)學月考一（答案）一．選擇題（共8小題）1．解：，解得或，所以或，所以，所以，．故選：．2．解：，則，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限．故選：．3．解：因為以原點為頂點，軸的非負半軸為始邊的角的終邊經(jīng)過點，所以，則．故選：．4．解：由題意，設(shè)遞減等比數(shù)列的公比為，，，又，，，解得，，，解得，，．故選：．5．解：分以下兩種情況討論：若基地只安排乙一人，將其余3人分為2組，人數(shù)分別為2、1，此時不同的排法種數(shù)為種；若基地安排兩人，則需從甲、丙、丁中再選擇一人安排至基地，此時不同的排法種數(shù)為．綜上所述，乙被安排到基地的排法總數(shù)為種．故選：．6．解：根據(jù)題意，，則，又由向量，的夾角為，且，則．則，故．故選：．7．解：因為的面積為，，所以，即．所以，所以．故選：．8．解；①，當時，②，兩式相減得，當為奇數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為4，公差為4，所以，中，令得，故，故當為偶數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為2，公差為4，所以，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，令，解得，當為偶數(shù)時，令，解得，所以成立的的最小值為45．故選：．二．多選題（共4小題）9．解：對，，，，，正確；對，，，錯誤；對，，，正確；對，在方向上的投影向量是，錯誤．故選：．10解：．對于A，令，則．當k＝1時，；當k＝2時，，故f（x）在[0，π]內(nèi)有2個零點，故A正確．對于B，令，則．當k＝0時，可得f（x）在上單調(diào)遞增，所以f（x）在上單調(diào)遞增正確，故B正確．對于C，由y＝2sin2x的圖象向左平移個單位長度得到，故C錯誤．對于D，若，則，，所以f（x）在上的最大值為1，故D正確．故選：ABD．對于A項，連接BD交AC于O點，連接OE，易知OE為的中位線，即∵面，面，∴平面，故A正確；對于B項，連接，由正方體的性質(zhì)易知，又面，∴面，而面，即，故B正確；對于C項，由正方體的性質(zhì)知：點到平面的距離等于點D到平面的距離，設(shè)該距離為，若正方體棱長為1，則，，故C正確；對于D項，假設(shè)D點在面ACE的投影為M，連接AM，則AD與面ACE的夾角為，由C選項結(jié)論可知若正方體棱長為1，則有，故D錯誤.故選：ABC12解：由，，，，，，，由有3項，有5項，有9項，有17項，，故有項．故錯誤；所以，即，故正確；由，可得，故正確；由，故正確．故選：．三．填空題（共4小題）13．解：在的二項展開式中，由通項公式求得第4項為，故第4項的系數(shù)為，故答案為．14．解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，且a2，a3，a5成等比數(shù)列，∴，即，解得a1＝0，又∵a2＝﹣1，∴公差d＝a2﹣a1＝﹣1，則an＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n．答案為：an＝1﹣n．15．解：設(shè)邊長為1，，則，所以，，設(shè)向量與夾角為，則．故答案為：．16．解：由題意，令，，則，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，，依題意，當時，；當，3時，；當，5，6，7時，；當時，，．故答案為：803．四．解答題（共6小題）17．.....1.......3.............4...........5.......8.......1018．解：（Ⅰ）證明：取中點，連接，，易知，，，分別是，的中點，，.......3，，四邊形為平行四邊形，，.....5不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，平面．......6（Ⅱ）取的中點，連接，，以為坐標原點，，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，...7則，故，設(shè)平面的一個法向量為，.....9則，則可取，易知平面的一個法向量為，....10，二面角的余弦值為．.........1219．（1）證明：，，又，，數(shù)列為首項、公比均為2的等比數(shù)列，.......4，；......6（2）解：由（1）可得：，即，.........7又當時，，.....9又當時，也適合上式，，，........11．.........1220．解：（1），化簡可得，........1，，，......3，，.......4即，又，........5則，，則；.........6（2）由正弦定理可得......7因為，所以，則，......10所以，故，.....11所以的取值范圍為，．......12滿意不滿意合計工薪族403070非工薪族401050合計804012021．解：（1）由題意可得，列聯(lián)表為：，..........3根據(jù)的獨立性檢驗，認為市民對幸福感的滿意度與是否為工薪族有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01；............4（2）①當時，的取值為1，2，3，4，5．由（1）可知市民的滿意度和不滿意度分別為和，所以，，，.，，所以的分布列為：12345所以；........8②由①得，令，①，，②，①②得，，，............11當趨向于正無窮大時趨向于3，可以理解為平均每抽取3個人，就會有一個不滿意的市民．............1222．（1）證明：由題意，可得，則當時，，解得，..........1當時，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，兩邊同時減去1，可得，........2，，也滿足上式，數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，.........3，，．............4（2）解：由（1）可得，，則，，數(shù)列是遞增數(shù)列，，即，...........5①當為奇數(shù)時，則有，即恒成立，構(gòu)造數(shù)列：令，則，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當時，數(shù)列取得最小值，且，，.........6②當為偶數(shù)時，則有，即恒成立，由①可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)