2022-2023學(xué)年河北省滄州市高二年級下冊學(xué)期4月清北班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省滄州市高二下學(xué)期4月清北班聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若名學(xué)生報名參加天文、計算機、文學(xué)、美術(shù)這個興趣小組，每人選報組，則不同的報名方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】分析可知每個人都有種選擇，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】名學(xué)生報名參加天文、計算機、文學(xué)、美術(shù)這個興趣小組，每人選報組，每個人都有種選擇，則不同的報名方式種數(shù)為種.故選：D.2．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．155 B．165 C．290 D．310【答案】A【分析】依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，在由等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】因為，，則，解得，所以．故選：A．3．小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過2個紅綠燈，經(jīng)過一段時間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式求解即可【詳解】設(shè)“小明在第一個紅綠燈處遇到紅燈”為事件，“小明在第二個紅綠燈處遇到紅燈”為事件，則由題意可得，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為.故選：.4．已知，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.【詳解】對于A，因為，所以成立，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，所以，故D正確．故選：B．5．若函數(shù)在上存在極值，則正整數(shù)a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得有兩個不等實數(shù)根，再由求出實數(shù)的取值范圍，即可得到正整數(shù)的最小值．【詳解】，由函數(shù)在上存在極值，則有兩個不等實數(shù)根，得，解得或，又a為正整數(shù)，所以a的最小值為5．故選：B．6．中國空間站已經(jīng)進(jìn)入正式建造階段，天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙將在2022年全部對接，形成“T"字結(jié)構(gòu).在中國空間站建造階段，有6名航天員共同停留在空間站，預(yù)計在某項建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內(nèi)同時進(jìn)行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種【答案】D【分析】根據(jù)分組分配問題的處理步驟，先將6人分成三組，再將三組分到三個艙內(nèi)即可.【詳解】方案一：每個艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案.所以共有（種）不同的安排方案.故選：.7．已知等比數(shù)列的公比為，其前項和為，且，，成等差數(shù)列，若對任意的，均有恒成立，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求得，為奇數(shù)時，，根據(jù)單調(diào)性可得：，為偶數(shù)時，，根據(jù)單調(diào)性可得：，可得的最大值與最小值分別為2，，考慮到函數(shù)

在上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．【詳解】等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，易得單調(diào)遞減，且，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，，易得單調(diào)遞增，且，所以．所以的最大值與最小值分別為2，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．．所以的最小值．故選：B．【點睛】思路點睛：由已知條件求得等比數(shù)列的前n項和，通過分類討論并利用函數(shù)單調(diào)性求得的最大值和最小值，再由函數(shù)在上單調(diào)遞增且，可求取值范圍.8．已知，且，則下列不等式一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)運算把式子化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式.【詳解】由，得，即，令，則．，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以．故選:D．二、多選題9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在處取得極小值 D．在處取得極大值【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，由圖可知時，，單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故B錯誤；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，故D正確.故選：ACD.10．若，則（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用賦值法，令，求出，判斷A；令和，將得到的兩式相加、相減，可判斷B、C；令計算，可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以B正確，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以，D正確．故選：BD．11．設(shè)、為隨機事件，且、，則下列說法正確的是（

）A．若，則、可能不相互獨立B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】BCD【分析】利用條件概率公式以及獨立事件的定義可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)條件概率公式及，得，即，所以，、相互獨立，A錯；對于B選項，由A知，當(dāng)時，，所以，，B對；對于C選項，由，得，所以，C對；對于D選項，，，所以，，D對.故選：BCD．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極小值點為B．的最小值為C．過原點且與曲線相切的直線有條D．若，、且，則的最小值為【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義可判斷A選項；由可判斷B選項；設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線的方程，再將原點代入切線方程，可得出關(guān)于的等式，判斷關(guān)于的方程的解的個數(shù)，可判斷C選項；由已知可得出，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域是，，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以的極小值點為，A對；對于B選項，，故函數(shù)的最小值不可能為，B錯；對于C選項，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，又切線過原點，則有，即，無解，即過原點且與曲線相切的直線不存在，C錯；對于D選項，由，得，即，又、，且，所以，又，則，則，，令，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為，D對．故選：AD．三、填空題13．某班從5名男同學(xué)和4名女同學(xué)中選取4人參加學(xué)校的“辯論大賽”，要求男、女生都有，則不同的選法共有種．【答案】120【分析】利用間接法：在所有組合中排除全為男生和全為女生的情況，利用組合數(shù)計算求解．【詳解】從9名同學(xué)中選取4人，有種不同的選法，其中全為男生，全為女生的情況分別有種，種，所以男、女生都有的不同的選法共有（種）．故答案為：120.14．某防空導(dǎo)彈系統(tǒng)包含3輛防空導(dǎo)彈發(fā)射車，其中8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車各1輛，當(dāng)警戒雷達(dá)車發(fā)現(xiàn)敵機后通知指揮車，指揮車指揮防空導(dǎo)彈發(fā)射車發(fā)射導(dǎo)彈，每次只選擇1輛防空導(dǎo)彈發(fā)射車.已知指揮車指揮8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車發(fā)射導(dǎo)彈的概率分別為，且8聯(lián)裝，6聯(lián)裝，4聯(lián)裝防空導(dǎo)彈發(fā)射車命中敵機的概率分別為.在某次演習(xí)中警戒雷達(dá)車發(fā)現(xiàn)一架敵機，則此防空導(dǎo)彈系統(tǒng)發(fā)射導(dǎo)彈命中敵機的概率為.【答案】0.66.【分析】此防空導(dǎo)彈系統(tǒng)發(fā)射導(dǎo)彈命中敵機分為3類：指揮8聯(lián)裝發(fā)射導(dǎo)彈且命中、指揮6聯(lián)裝發(fā)射導(dǎo)彈且命中及指揮4聯(lián)裝發(fā)射導(dǎo)彈且命中.【詳解】由題意知，此防空導(dǎo)彈系統(tǒng)發(fā)射導(dǎo)彈命中敵機的概率為.故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的前n項和．【答案】【分析】利用累乘法求得，可得，再利用裂項相消法得答案.【詳解】由，得，，…，（），以上各式相乘，得（），又，所以（），當(dāng)時，，滿足上式，所以，，所以．故答案為：.16．對于函數(shù)，若存在，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若時，函數(shù)的圖象上只有1對“隱對稱點”，則.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于與函數(shù)的圖象只有1個交點，分別判定與的單調(diào)性，結(jié)合圖象分析運算.【詳解】由題意可得：關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，故原題意等價于與函數(shù)的圖象只有1個交點，對于函數(shù)可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；對于，則，由于，則有：令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為；分別作出與的圖象（如圖所示）.若與的圖象只有1個交點，則，即，解得.故答案為：.【點睛】方法定睛：對于方程的根的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解．四、解答題17．已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為.(1)求；(2)求展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)；(2).【分析】（1）寫出前三項二項式系數(shù)，根據(jù)和為，列方程求出的值；（2）利用通項，并令的指數(shù)為0，求出常數(shù)項．【詳解】（1）因為的展開式中前三項的二項式系數(shù)分別是，，，所以，即，解得或（2）的展開式中通項為，由時，可得，即第7項為常數(shù)項，所以展開式中的常數(shù)項為.18．已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得的值，結(jié)合可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點值和極值可求得的最值，由此可得的值域.【詳解】（1），，解得：，，則，在點處的切線方程為：，即.（2）由（1）知：，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，，，的值域為.19．某校舉辦元旦晩會，現(xiàn)有4首歌曲和3個舞蹈需要安排出場順序.（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場順序?(2)如果3個舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場順序?(3)如果歌曲甲不在第一個出場，舞蹈乙不在最后一個出場，那么有多少種不同的出場順序?【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)捆綁法：先將4首歌曲捆綁，然后與3個舞蹈排序，有（種）不同的出場順序.（2）插空法：先將4首歌曲排好，再將3個舞蹈排入4首歌曲隔開的5個空中，（種）不同的出場順序.（3）有條件限制類排列：可用排除法，7個節(jié)目全排列，有種情況，其中歌曲甲在第一個出場時，有種情況，舞蹈乙在最后一個出場時，有種情況，其中都包含了歌曲甲在第一個出場且舞蹈乙在最后一個出場的情況，有種情況，故共有（種）不同的出場順序.【詳解】（1）先將4首歌曲捆綁，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲與3個舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個舞蹈排入4首歌曲隔開的5個空中，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（3）方法一：7個節(jié)目全排列，有種情況，其中歌曲甲在第一個出場時，有種情況，舞蹈乙在最后一個出場時，有種情況，其中都包含了歌曲甲在第一個出場且舞蹈乙在最后一個出場的情況，有種情況，故共有（種）不同的出場順序.方法二：歌曲甲在最后一個出場時，其他節(jié)目可全排，有種情況；歌曲甲不在最后一個出場時，可從余下的5個位置任選一個，有種情況，而舞蹈乙可排在除去最后一個位置后剩下的5個位置中，有種情況，其余節(jié)目全排列，有種情況，共有（種）不同的出場順序.20．已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，在和之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知令得出，并得出時，，結(jié)合已知式子做減即可得出，化簡即可得出，再驗證時是否符合式子，即可得出答案；（2）根據(jù)（1）得出的，即可得出，再根據(jù)已知得出，即可得出數(shù)列的通項，觀察通項特點，選取錯位相減法求前項和即可得出答案.【詳解】（1）數(shù)列滿足，，當(dāng)時，得，得時，，由得，，所以，而也適合此式，所以.（2）由（1）得，所以，則，所以，所以，兩式相減得：，所以．21．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）對求導(dǎo)后，問題轉(zhuǎn)化為在[1,4]上恒成立，進(jìn)而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需證明，令，求導(dǎo)后求得；令，求導(dǎo)后求得，從而可得，問題得證.【詳解】（1），因為函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）因為，所以要證，只需證，令，則.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以時，取最小值,則,所以時，，因此.所以.22．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2).【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，再次求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最值確定，，得到極值點個數(shù).（2）變換得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，考慮和兩種情況，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，再次構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用隱零點代換得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，，令，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以，，所以存在唯一的，，使