2022-2023學(xué)年河南省開(kāi)封市杞縣高中高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省開(kāi)封市杞縣高中高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可得，再由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出，由共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，所以.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選:C.2．圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)都等于球的直徑，則圓錐與球的表面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由球的表面積公式得出其表面積，再由圓錐的展開(kāi)圖求出圓錐的表面積，即可得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的表面積為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為則圓錐的表面積為即圓錐與球的表面積之比為故選：C3．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底長(zhǎng)均為的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)出原圖，計(jì)算原圖的面積即可求解.【詳解】由題意知：，，所以，將直觀圖還原成平面圖形如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上截取，在軸上截取，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，截取，順次連接各點(diǎn)可得：平面圖形是上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為，高為的直角梯形，所以其面積為.故選：C.4．下列命題中正確的是（

）A．若、都是單位向量，則＝B．若=，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形C．若∥，且∥，則∥D．與是兩平行向量【答案】D【分析】按照向量的概念及共線向量依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A中單位向量方向可以不同，故不一定成立；選項(xiàng)B中A、B、C、D四點(diǎn)可能共線，不能組成四邊形；選項(xiàng)C中當(dāng)時(shí)，、為任意向量；選項(xiàng)D正確，相反向量是一對(duì)平行向量.故選：D.5．為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；②如果規(guī)定年收入在500萬(wàn)元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；③樣本的中位數(shù)為480萬(wàn)元.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根據(jù)直方圖求出，求出的頻率，可判斷①；求出的頻率，可判斷②；根據(jù)中位數(shù)是從左到右頻率為的分界點(diǎn)，先確定在哪個(gè)區(qū)間，再求出占該區(qū)間的比例，求出中位數(shù)，判斷③.【詳解】由，，的頻率為，①正確；的頻率為，②正確；的頻率為，的頻率為，中位數(shù)在且占該組的，故中位數(shù)為，③正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全直方圖，由直方圖求頻率和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題6．若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法即得.【詳解】取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，，所以,，，設(shè)為平面的法向量，由，得，令，得，設(shè)直線AD與平面所成的角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為．故選：D.7．設(shè)向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，再根據(jù)數(shù)量積求解.【詳解】，，，，設(shè)向量與的夾角為，，則=，；故選：D.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先過(guò)點(diǎn)畫(huà)出與平面平行的平面，然后得出點(diǎn)的軌跡，最后計(jì)算的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】如圖，分別作的中點(diǎn)，連接，如圖，

易得，又平面，平面，故平面，在正方體中，易得，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槊?，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以?dòng)點(diǎn)在正方形的軌跡為線段，在三角形中，，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為等腰三角形在邊上的高為，所以線段的長(zhǎng)度范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是過(guò)作出面的平行面，從而求得的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此得解.二、多選題9．年上半年，中國(guó)養(yǎng)豬企業(yè)受豬價(jià)高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報(bào)業(yè)績(jī)，部分企業(yè)半年報(bào)營(yíng)業(yè)收入同比增長(zhǎng)超過(guò)倍．某養(yǎng)豬場(chǎng)抓住機(jī)遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測(cè)生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場(chǎng)對(duì)頭生豬的體重（單位：）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這頭生豬體重的眾數(shù)為B．這頭生豬中體重不低于的有頭C．這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)D．這頭生豬體重的平均數(shù)為【答案】BCD【分析】利用最高矩形底邊的中點(diǎn)值作為眾數(shù)可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出生豬中體重不低于所占的頻率，乘以可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由頻率分布直方圖可知，這一組的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形最高，所以這頭生豬的體重的眾數(shù)為，A錯(cuò)誤；這頭生豬中體重不低于的有（頭），B正確；因?yàn)樯i的體重在內(nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為，且，所以這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，C正確；這頭生豬體重的平均數(shù)為，D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：從頻率分布直方圖中得出相關(guān)數(shù)據(jù)的方法（1）頻率：頻率分布直方圖中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，頻率=組距，即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．（2）眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)．（3）中位數(shù)：平分頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（4）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和．10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等【答案】ABC【分析】證明平面，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；判斷到線段的距離與到線段的距離的關(guān)系，即可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，平面，平面，，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，因此，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)榈拿娣e為，點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，由A選項(xiàng)可知，平面，即平面，平面，則，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，故且，所以四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，故四邊形為矩形，所以，平面，所以平面，平面，，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=4，sinA=，tanC=7，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．△ABC中的面積為【答案】BC【分析】對(duì)于A，由tanC=7可求出，，再結(jié)合sinA=，可得角為銳角，從而可求出的值，對(duì)于B，利用兩角和的余弦公式可求得的值，從而可求出角，對(duì)于C，利用正弦定理求解即可，對(duì)于D，利用三角形的面積公式直接求解即可【詳解】對(duì)于A，由題意得，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以B正確，對(duì)于C，由正弦定理，得，所以C正確，對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤，故選：BC12．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．若復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可求得答案.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足可得，所以,故答案為：.14．從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為.分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010【答案】/【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：15．已知，，，，，，則．【答案】/【分析】依題意得到，從而利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解．【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，，，所以，即，故.故答案為：．16．正方體中，M是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為．

【答案】/【分析】在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，從而得到與所成角，再利用余弦定理即可得解.【詳解】在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，連接，如圖，

易知，所以四邊形是平行四邊形，則，所以是與所成角的平面角或補(bǔ)角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則在正方體中，，在中，，在中，，所以在中，，所以與所成角的余弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是找到與所成角的平面角，解決方法是在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，由此得解.四、解答題17．已知在中，點(diǎn)在線段上，且，延長(zhǎng)到，使.設(shè)，.(1)用、表示向量、；(2)若向量與共線，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析可知為的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，結(jié)合平面向量的減法可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）分析可知，存在，使得，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，結(jié)合圖形可知為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則，所以，.（2）解：因?yàn)椋驗(yàn)橄蛄颗c共線，則存在，使得，即，所以，，解得.18．某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．(1)求直方圖中x的值；(2)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若該學(xué)校有600名新生，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；(3)由頻率分布直方圖估計(jì)該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值．【答案】(1)(2)72名(3)33.6分鐘.【分析】（1）利用概率和為列方程即可得解．（2）計(jì)算出新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，問(wèn)題得解．（3）直接利用均值計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：（1）由直方圖可得：，解得.（2）新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，因?yàn)?，所?00名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.（3）由題可知分鐘.故該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值為33.6分鐘.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的知識(shí)，考查了概率的應(yīng)用，還考查了平均值的計(jì)算公式，屬于中檔題．19．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【答案】(1)見(jiàn)證明(2)【分析】（1）利用余弦定理求得的長(zhǎng)，利用勾股定理證得，結(jié)合，證得平面，由此證得.(2)連接，利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，根據(jù)（1）得到是三棱錐的高，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴平面，∴；（2）連接，由（1）得平面，，∵是的中點(diǎn)，，∴．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查余弦定理解三角形，考查等體積法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝c2，求sinC的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式即得A=.(2)先根據(jù)△ABC的面積S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sinC的值．【詳解】(1)因?yàn)閍sinB＝－bsin，所以由正弦定理得sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化簡(jiǎn)得tanA＝－，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.(2)因?yàn)锳＝，所以sinA＝，由S＝c2＝bcsinA＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sinC＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（Ⅱ）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)詳解.【詳解】（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則==，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?/p>

（II）設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則，故，，，即，解得，又時(shí)，，故時(shí)，t取最小值，且最小值等于，此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.22．如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合).