2022年中考數(shù)學(xué)：銳角三角函數(shù)（二）

2022年中考數(shù)學(xué)專題：銳角三角函數(shù)（二）

1.如圖，從點(diǎn)C觀測(cè)點(diǎn)D的仰角是（）

水平地面B

A./.DABB.Z.DCEC./.DCAD./.ADC

2.如圖，在AABC中，AB=AC,ADBC和AABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，連接

4。，與BC相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CE_LCO,垂足為C,AD相交于

點(diǎn)E,若AD=8,BC=6,則駕些的值為（）

AB

3.如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)P在4B的延長(zhǎng)線上，PC,PD與。。相

切，切點(diǎn)分別為C,。.若AB=6,PC=4,則sin“A。等于（

C-1

4.如圖，AABC內(nèi)接于。。，/.BAC=120°,AB=AC,BD是。0的直

徑，若AD=3,則BC=()

D

A.2A/3

cos60°的值等于（

A.V3

6.若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin36°18',按鍵順序正確的是

（）

A.|sin|[~3~||~6~||?|D-l1~^~1E3

B.國[T|回|DMS||"r|[T]H

C.|2ndf||sin||"T1回|DMS||T~||T~||^]

D-國E回|DMS|\T]@IDMSI□

7.如圖是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC與地面BC的夾角為a,

則兩梯腳之間的距離BC為（）

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.士米

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O48C的04邊在％軸的正半軸上，0C邊

在y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=j（x>0）的圖象與

BC交于點(diǎn)。，與對(duì)角線0B交于點(diǎn)E,與力B交于點(diǎn)尸，連接0D,DE,EF,

DF.下列結(jié)論：

①sinZ-DOC=cosZ.BOC；②0E=BE；（3）SAD0E=SABEF；④0D:DF=2:3.

其中正確的結(jié)論有（）

9.如圖，在AABC中，"=90。，NB=42。，BC=8,若用科學(xué)計(jì)算器求

AC的長(zhǎng)，則下列按鍵順序正確的是（）

A.國田國同回三］

B-HEH0H

c-HEHinH

D.國三?四國日m

10.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，若將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'的位置，連接BB',過點(diǎn)D作DELBB',交BB'的延

11.如圖，正方形4BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)?在C8的延

長(zhǎng)線上，^EAF=45°,AE交BD于點(diǎn)、G,tan^BAE=BF=2,則FG=

12.如圖，區(qū)中，□,岡，將回繞點(diǎn)岡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)S得到S，連

接回，則叵］的值是.

13.如圖，在矩形4BCD中，AB=4,4。=5,點(diǎn)E,F分別是邊4B,BC上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A,B重合，且EF=AB,G是五邊形4EFCD內(nèi)滿足GE=

GF且4EGF=90。的點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①4GEB與4GFB一定互補(bǔ)；

②點(diǎn)G到邊AB,BC的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點(diǎn)G到邊48的距離的最大值為2&

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

15.如圖，在AABC中，^BAC=30°,AACB=45°,AB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP,點(diǎn)4關(guān)于直線CP

的對(duì)稱點(diǎn)為A',連結(jié)A'C,A'P.在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A'到直線AB距離

的最大值是；點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A'P掃過的面積為

16.數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)無人機(jī)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知無人機(jī)的飛行高度為40

米，當(dāng)無人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30。，

則旗桿的高度約為_____________

米.

（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,V3-1.73）

廿

<<頂。-

17.在RtZ\ABC中，ZC=90°,3cosB=2,AC=2^，則AB=.

18.如圖，在矩形4BCD中，AD=^3AB,對(duì)角線相交于點(diǎn)0,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向

點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)4即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足4MON=90。,連

結(jié)MN.在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，則以下結(jié)論正確的是—.（寫出所有

正確結(jié)論的序號(hào)）

①點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；

②存在某一時(shí)亥U使SAAMN—S^MONi

③S^MN逐漸減?。?/p>

（4）MN2=BM2+DN2.

19.在/ABC中，/.ABC=90°,AB=2,BC=3.點(diǎn)。為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，^ADB=

45。，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為.

20.如圖.在邊長(zhǎng)為6的正方形4BCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，BC=3BE

且BE=CF,AE1BF,垂足為G,。是對(duì)角線B。的中點(diǎn)，連接OG、則OG

的長(zhǎng)為—.

21.一架無人機(jī)沿水平直線飛行進(jìn)行測(cè)繪工作，在點(diǎn)P處測(cè)得正前方水平地面

上某建筑物AB的頂端力的俯角為30。，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測(cè)

得該建筑物底端B的俯角為45。，已知建筑物AB的高為3米，求無人機(jī)

飛行的高度(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,國。1.732).

22.如圖，4C是。。的直徑，BC,BD是。。的弦，M為BC的中點(diǎn)，

OM與BD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DEJ.BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且

CO平分AACE.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)求證：乙CDE=ADBE；

(3)若DE=6,tanzCDE=|,求BF的長(zhǎng).

23.在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測(cè)得

辦公樓底部D處的俯角是53。，從綜合樓底部A處測(cè)得辦公樓頂部C處

的仰角恰好是30。，綜合樓高24米.請(qǐng)你幫小明求出辦公樓的高度.(結(jié)

果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)tan37°?0.75,tan53°工1.33,V3?1.73)

24.如圖，在RPABC中，U=90。，作BC的垂直平分線交4c于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AC

至點(diǎn)E,使CE=AB.

(1)若4E=1,求ZL4BD的周長(zhǎng)；

(2)若AD=gBD,求tan/JlBC的值.

25.如圖，一艘輪船離開4港沿著東北方向直線航行60或海里到達(dá)B處，然后

改變航向，向正東方向航行20海里到達(dá)C處，求4c的距離.

26.拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1,水平操作臺(tái)為I,底座AB固定，

高力B為50cm,連桿BC長(zhǎng)度為70cm,手臂CD長(zhǎng)度為60cm.點(diǎn)B,

C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB,BC與CD始終在同一平面內(nèi).

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,手臂CD,使^ABC=143°,CD//1,如圖2,求手

臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)I的高度DE的長(zhǎng)(精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin53。

0.8,cos53°?0.6)?

(2)物品在操作臺(tái)I上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,

手臂CD,手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M?請(qǐng)說明理由.

27.如圖，四邊形4BCD中，AD//BC,ADLAB,AD=AB=1,DC=縣,以

A為圓心，AD為半徑作圓，延長(zhǎng)CD交。4于點(diǎn)F,延長(zhǎng)D4交于點(diǎn)E,

連結(jié)BF,交DE于點(diǎn)G.

(1)求證：BC為。A的切線；

(2)求cos"DF的值；

(3)求線段BG的長(zhǎng).

28.如圖，在一座山的前方有一棟住宅，已知山高AB=120m，樓高CO=99m,

某天上午9時(shí)太陽光線從山頂點(diǎn)A處照射到住宅的點(diǎn)E外.在點(diǎn)A處測(cè)

得點(diǎn)E的俯角NE4M=45。，上午10時(shí)太陽光線從山頂點(diǎn)A處照射到住宅

點(diǎn)F處，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)F的俯角AFAM=60°,已知每層樓的高度為

3m,EF=40m，問：以當(dāng)天測(cè)量數(shù)據(jù)為依據(jù)，不考慮季節(jié)天氣變化，至

少要買該住宅的第幾層樓，才能使上午10時(shí)太陽光線照射到該層樓的外墻？

(V3=1.73)

29.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E為力。的中點(diǎn).連接BE,將41BE沿

BE折疊得到4FBE,BF交4c于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

30.已知，在A4BC中，ABAC=90°,AB=AC.

(1)如圖1,已知點(diǎn)。在BC邊上,ADAE=90°,AD=AE,連結(jié)CE.試

探究BD與CE的關(guān)系;

(2)如圖2,已知點(diǎn)D在BC下方,ADAE=90°,AD=AE,連結(jié)CE.若

BDLAD,AB=2V10,CE=2,4。交BC于點(diǎn)F,求”的長(zhǎng);

(3)如圖3,已知點(diǎn)。在BC下方，連結(jié)AD,BD、CD.若ACBD=30°,

NBA。＞15。，AB2=6,AD2=4+V3,求sin/BCO的值.

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參考答案

1.B

[※解析※]

1.根據(jù)仰角的定義進(jìn)行解答便可.

解：???從點(diǎn)C觀測(cè)點(diǎn)D的視線是CD，水平線是CE,

???從點(diǎn)C觀測(cè)點(diǎn)D的仰角是Z.DCE,

故選：B.

本題主要考查了仰角的識(shí)別，熟記仰角的定義是解題的關(guān)鍵.仰角是向上看

的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

2.D

[※解析※]

2.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得4c=CD,AB=BD,可證四邊形ABDC是菱形，由

菱形的性質(zhì)推出4。BC,AO=DO=4,BO=CO=3,乙4C0=NCC0,在

Rt^BOD中，根據(jù)勾股定理可求BD的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求EO,4E的長(zhǎng)，

即可求解.

解:和448C關(guān)于直線BC對(duì)稱，

:.AC=CD,AB=BD,

-AB=AC9

???AC=CD=AB=BD,

???四邊形ABDC是菱形，

???ADLBC,AO=￡)0=4,BO=CO=3,乙ACO=乙DCO,

：.BD=y/DO2+BO2=V9+16=5,

vCE1CD9

???NOCO+乙ECO=90°=Z.CAO+Z.ACO,

A乙CAO=乙ECO,

rccEOCO

???tanz.FCO=——=—,

coAO

?_E_O___3

一3-4，

EO=

4

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：?AE=4

.20E+AE_2X/3_5

----=----=—，

BD54

3.D

[※解析※]

3.如圖，連接。。、OD、CD,CD交P4于E,

■■PC,PD與。。相切，切點(diǎn)分別為C,D,

OCLCP,PC=PD,OP平分NCPD,

OPLCD,

???CB=DB，

???乙COB=乙DOB,

"ACAD=^Z-COD,

:.乙COB=乙CAD,

在Rt』OCP中，OP=VOC24-PC2=停+42=5,

SIYIZ-COP=—OP=—5,

4

:.sinZ-CAD=

4.C

[※解析※]

4.首先過點(diǎn)。作OFLBC千F,由垂徑定理可得BF=CF=：BC,然后由^BAC=120°,

AB=AC,利用等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得NC與/加。的度

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數(shù)，由劭為。。的直徑，即可求得4％9與的度數(shù)，又由4D=3,即可

求得做的長(zhǎng)，繼而求得比'的長(zhǎng).

解：過點(diǎn)。作OF1BC于F,

：.BF=CF=3BC,

■：AB=AC,ABAC=120°,

??.“=42"=(180°-Z.BAC)+2=30。,

?.?NC與N〃是同弧所對(duì)的圓周角，

4D=NC=30°,

,.?應(yīng)?為。。的直徑，

^BAD=90°,

???AABD=60°,

4OBC=4ABD-/.ABC=30°,

-：AD=3,

BD=AD+cos300=3+?=2遮，

???OB=：=BD=V3,

BF=OB?cos30°=V3xy=|,

:.BC=3.

5.D

[※解析※]

5.根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

解：cos60°=:,

故選：D.

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

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6.D

[※解析※]

6.根據(jù)用計(jì)算器算三角函數(shù)的方法確定按鍵順序即可得到結(jié)果.

解：采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin36°18\按鍵順序正確的是。選項(xiàng)中的順序,

7.A

[※解析※]

7.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=DC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出0C的

長(zhǎng)，即可得出答案.

解：過點(diǎn)4作4D_LBC于點(diǎn)D,

???AB=AC=2米，AD1BC,

BD=DC,

DCDC

：?cosa=—=—,

AC2

??.DC=2cosa（米）,

???BC=2DC=2x2cosa=4cosa（米）.

A

Ay-

H沙c

BDC

8.A

[※解析※]

8.根據(jù)矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可.

解：①矩形。力BC中，

:.0A=4,0C=2,

由勾股定理得：0B=422+42=2遮，

當(dāng)y=2時(shí)，2=:,

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?**X=1,

ACD=1,

由勾股定理得：0。=、22+#=V5,

???sinZ-DOC=—=7==

0D\[Ss

COSNBOC=^=3

???sin乙DOC=cosZ.BOC,

故①正確；

②設(shè)0B的解析式為：y=kx(kKO),

把(4,2)代入得：4k=2,

1

???y=產(chǎn)

當(dāng)=：時(shí)，尤=±2,

??.E是0B的中點(diǎn)，

???0E=BE,

故②正確；

③當(dāng)x=4時(shí),y=|,

13

**?BF=2—=—,

22

133

???S.EF=：x久4-2)=日

111

SADOE=,X2X4—/X1X2—，x3xl

3

=1-2

_3

=29

SADOE=SABEF,

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故③正確；

④由勾股定理得：DF=J32+(|)2=三

v0D=V5,

.op__

"DF~迪9

~~2~

即OD:DF=2:3.

故④正確；

其中正確的結(jié)論有①②③④，共4個(gè).

9.D

10.A

[※解析※]

10.分別延長(zhǎng)AD和BE交于點(diǎn)F,利用銳角三角函數(shù)求出EF的長(zhǎng)，推出AABB,

是等邊三角形，求出B'E=BF-BB'-

分別延長(zhǎng)4。和BE交于點(diǎn)F,

由題知，AB=2,^ABF=60°,

???BF=ABcos60°=24-i=4,AF=BF-cos60°=4x—=2V3,4F=90°-

N2

乙ABF=30°,

DF=AF-AD=2V3-2,

EF=DF-coszF=(2V3-2)xf=3—遮，

由題知，448夕是等邊三角形，

二B'E=BF-BB'-EF=4-2-(3-遮)=四一1,

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11.2V5

[※解析※]

11.過點(diǎn)E作于點(diǎn)乩推出4EHC是等腰直角三角形，由等腰直角三角

形的三邊關(guān)系及tan/BAE的值，再求出tan^EAH,可求出各個(gè)邊的長(zhǎng)度；由

EF:GE=AE:BE=V5:/-GEF=/.BEA,AGEF-ABEA,則LEGF=

^ABE=90°,推出4AGF是等腰直角三角形，即可求出FG的長(zhǎng)度.

解：如圖，過點(diǎn)E作EH14C于點(diǎn)H,

則4EHC是等腰直角三角形，

設(shè)EH=a,則CH=a,CE=V2a,

在RpABE中，〃BE=90。，

???tanZ-BAE=AB—=2

???BE=^AB,

???BE=CE=V2a,

???AB=BC=2&Q,

:.AC=4a,AH=3a,

pu1

??

?tanZ-EAH=A—H=3’

v/LEAF=Z.BAC=45°,

???Z.BAF=Z.EAH,

???tanz.BAF=tanZ-EAH=

vBF=2,

???AB=6,BE=CE=3,

：?AE—3V5,AF—25/T0,

???EF=5,

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-AD//BC,

???AD:BE=AG:GE=2:1,

???GE=V5,

vEF:GE=5：V5=V5:l,

AE-.BE=3V5:3=遍:1,

Z-GEF=乙BEA,

:.EF:GE=AE\BE,

AGEF-ABEA,

???乙EGF=LABE=90°,

???^AGF=90°,

???2L4GF是等腰直角三角形,

FG=—AF=2V5.

2

12.0

[※解析※]

12.連接0,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得區(qū)，區(qū)，得到S為等邊三角形，由S,

國，得出國垂直平分S，于是求出區(qū)，區(qū)1,可得區(qū)，即可求解.

解：如圖，連接岡，設(shè)區(qū)與回交于點(diǎn)□,

國將岡繞點(diǎn)S逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)S得到□,

s,□

S為等邊三角形，

區(qū)，□;

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區(qū)］,國，

a，

兇，回，

s垂直平分s，

回，國，

□

□，

故答案為S

本題考查了圖形的變換s旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.①②④

[※解析※]

13.?:乙EGF=9BGE=GF

乙GEF=45°

①???四邊形ABCD是矩形

乙B=90°

乙EGF=90°,四邊形內(nèi)角和為360。

???&GEB+乙GFB=180°

二①正確.

②如圖：過G作GM1AB,GN1BC

BNFC

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4GME=Z.GNF=90°

vZ.GEB+Z.GFB=180°,/.GEM+Z.GEB=180°

NGFN=GEM

又???GE=GF

△GME=△GNF(AAS)

???GM=GN

即點(diǎn)G到邊的距離一定相等

二②正確.

③如圖：過G作GNA.AD.GMLCD

11

NG<AB--EF=2,GM<AD--EF=3

22

NG>AB-EFxsin450=4-2企，

GM>AD-EFxsin45°=5-2A/2

???4-2V2</VG<2,5-2V2<GM<3

而v2<5-2V2

所以點(diǎn)G到邊A。,DC的距離不可能相等

二③不正確.

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④如圖:

當(dāng)GE：B時(shí)，點(diǎn)G到邊力B的距離的最大

V2廠

GE=EFxsin45°=4x—=2V2

二④正確.

綜上所述：①②④正確.

[※解析※]

14.根據(jù)sin3(T=掰答即可.

解：sin30°=i.

15.等；（l+^>-l-V3.

[※解析※]

15.作于H.解直角三角形求出CA,當(dāng)C41AB時(shí)，點(diǎn)d到直線4B的

距離最大，求出CA',CK.可得結(jié)論.如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段

4P掃過的面積=S蜀熟C4-2s44BC,由此求解即可.

解：如圖1中，過點(diǎn)B作BH14C于H.

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在RpABH中，BH=AB-sin30°=1,AH=V3BH=V3,

在Rt」BCH中，NBC"=45。，

CH=BH=1,

AC=CA'=1+y/3,

當(dāng)CAUAB時(shí)，點(diǎn)A到直線4B的距離最大，

設(shè)CA交4B的延長(zhǎng)線于K.

在RpACK中，CK=AC-sin30°=等，

A'K=CA'-CK=1+^3--=—.

22

如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段4P掃過的面積=S扇形A2A^AABC=

t鬻更_2x；x(l+8)x1=(1+9兀-1-6.

圖2

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16.14

[※解析※]

16.作0C14B于C點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的解法得出0C,進(jìn)而解答即可.

解：過。點(diǎn)作008于C點(diǎn)，

C

一尸羽......「

???當(dāng)無人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30。，

4C=45米，4a4。=30。，

0C=AC-tan30°=x45=15V3（米），

???旗桿的高度=40-15V3?14（米），

17.6

[※解析※]

17.

試題分析：在RtZXABC中，ZC=90°,因?yàn)?cosB=2,所以CQS5=——

AB3

設(shè)BC=2x,則AB=3x,又AC=2后，所以（242+（垢尸=。力2,所以x=2,所

以AB=6.

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)2.勾股定理.

18.①②③④

[※解析※]

18.取M與B重合時(shí)和M在4B中點(diǎn)時(shí)兩種特殊情況，判斷運(yùn)動(dòng)情況和面積相等

情況；

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令48=1,則AD=遮，設(shè)BM=x,根據(jù)ZL4MN的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式即可判斷面積大小的增減；根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度判斷和DN的關(guān)系，再根據(jù)勾

股定理寫出MN與BM和DN的關(guān)系式即可.

解:如圖，當(dāng)M與B點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)NO1BD,

「在矩形48C。中，AD=V3AB,

???乙ADB=Z.DAC=30°,

4AOD=180°-30°-30°=120°,

???乙NAO=LAOD-乙NOD=120°-90°=30°,

???乙DAO=4NOA=30°,

AN=ON=DN?sin30°=|D/V,

???AN+DN=AD,

AN=-AD,

3

當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，此時(shí)OM，14B,N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了N,,

???AC和BD是矩形4BCD的對(duì)角線，

???M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是MM'=\AB,

N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是NN'=^AD-AN^^AD-^AD=^AD,

ZZoo

又VAD=聞B,

NN'=-Xy/3AB=—AB=—MM\

663

??.N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是M點(diǎn)的?，

故①正確，

當(dāng)M在位置時(shí)，

???AOM'A=90°,乙FAB=90°,xM'0N'=90°,

???四邊形4"。"是矩形，

二此時(shí)^AAMN—^AMON'

故②正確，

令48=1,則AD=^3,設(shè)BM=x,則N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為gx,

???AN=-AD+—x=—+—x,

3333

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???SAAMN=.AN=148-BM).AN=-x)w+*)=1—,

vO<x<l,在x的取值范圍內(nèi)函數(shù)￥一￡好的圖象隨％增加而減小，

66

S^AMN逐漸減小，

故③正確，

???MN2=(AB-BM)2+(AD-DN)2,

=AB2-2AB-BM+BM24-AD2-2AD-DN+DN2=(AB2-2AB-BM+3AB2-

2V3AB-DN)+BM2+DN2?:AN=^AD+=4AB+

???DN=AD-AN=y/3AB-(gAB+gBM)=手力B—*BM,

v2V3AB-DN=2小,ABx(誓4B-亨BM)=4AB2-2AB-BM,

MN2=(44B2-2AB-BM-2aAB-DN)+BM2+DN2=BM24-DN2,

故④正確，

方法二判定④：如圖2,延長(zhǎng)M。交CD于M',

.:4MOB=LM'OD,OB=0D,4DBA=LBDC,

AOMBOM'D(ASA),

???BM=DM',OM=OM',

連接NM',

???NO1MM',

則MN=NM',

NM'2=DN2+DM'2,

???MN2=BM2+DN2,

故④正確，

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19.V5—V2

[※解析※]

19.根據(jù)已知條件AADB=45°,AB=2,作的外接圓0,連接0C,當(dāng)。、

D、C三點(diǎn)共線時(shí)，CD的值最小.將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓最值.可證得A40B為

等腰直角三角形，。8=。4=近，同樣可證40BE也為等腰直角三角形，0E=

BE=1,由勾股定理可求得0c的長(zhǎng)為V5,最后CD最小值為0C-0D=近-

V2.

如圖所示：???^ADB=45°,AB=2,作/ABO的外接圓。（因求CD最小值，

故圓心。在4B的右側(cè)），連接0C,

當(dāng)。、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，CD的值最小.

?:AADB=45°,

???Z.AOB=90°,

???2L4OB為等腰直角三角形，

AO=BO=sin45°xAB=>/2.

??/.OBA=45°,AABC=90°,

^OBE=45°,作OE1BC于點(diǎn)E,

???40BE為等腰直角三角形.

OE=BE=sin45°-OB=1,

CE=BC-BE=3-1=2,

在R-OEC中，

OC=<OE2+CE2=V1T4=V5.

當(dāng)。、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，

CD最小為CD=OC-0D=遮一五.

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20.延

5

[※解析※]

20.根據(jù)AE1.BF,AOLBD,則4B、0、。四點(diǎn)共圓，則可以得到〃GO=45。,

解直角三角形即可得結(jié)果.

如圖，連接。4以為半徑，4B的中點(diǎn)M作圓，過。作ONLAG

???4BCD是正方形，BD是對(duì)角線

乙480=45°

???AO^AO

???Z.AGO=Z.ABO=45°,

1

AN=NE=-AE

2

???4BCD是正方形，BC=3BE

AB=BC=6,

???BE=2

AE=^AB2+BE2

=V624-22=2A/T0

11

v-ABxBE=-AExBG

22

AB?BE6x23-

???BG=———=——=7VIO

AE2V105

在Rt△力BE中

BE_2_1

tmZ-EABAB=6=3

BG9「

AG=-----——=-Vio

tanZ.GAB

vNG=AG-AN

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1

=AG——71E

2

=^9VLio-VTLo

=45VL10

在Rt4ONG中

21.無人機(jī)飛行的高度約為14米.

[※解析※]

21.過4作AC1PQ,交PQ的延長(zhǎng)線于C,設(shè)4C=x米，由銳角三角函數(shù)定義

求出PC=V^4C=V5x(米)，QC=BC=(x+3)米，再由PC-QC=PQ=5米

得出方程，求解即可.

解：過4作AC1PQ,交PQ的延長(zhǎng)線于C,如圖所示：

設(shè)AC=x米，

由題意得：PQ=5米，/.APC=30°,乙BQC=45°,

在RpAPC中，tanzJlPC=隼=tan30。=，，

PC=V3AC=V3x(米),

在RpBCQ中9tanZ_BQC=—=tan45°=1,

???QC=BC=4C+=(%+3)米，

???PC-QC=PQ=5米，

:.y/3x—(x+3)=5,

解得：x=4(V3+1),

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BC=4(V3+1)+3=4V3+7?14(米)，

答：無人機(jī)飛行的高度約為14米.

D-Qc

“30"布---------V

、、、、'、\：!

、、、?

a

\、:

蟲

22.(1)見解析；

(2)見解析；

(3)BF=風(fēng)更

6

[※解析※]

22.⑴連OD,由CO平分/.ACE,OC=OD,可得乙DCE=LODC,OD//BC,

從而可證DE是。。的切線；

(2)連AB,根據(jù)由4C是。。的直徑得Z.ABD+^DBC=90°,又4ABD=

Z.ACD,乙ABD=AODC,可得AODC+乙DBC=90°,結(jié)合Z.ODC+ACDE=90°,

即可得結(jié)論；

(3)求出CE=4,BE=9,即可得BC=5,由M為BC的中點(diǎn)，可得OMJ.BC,

BM=I，RPBFM中，求出尸時(shí)的長(zhǎng)，再用勾股定理即得答案.

(1)證明：連接0D,如圖：

?.9平分^LACE,

???Z.OCD=乙DCE,

???OC=0D9

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???Z.OCD=Z.ODC,

???乙DCE=Z.ODC,

???OD//BC,

vDE1BC,

???DE10D,

??.DE是。。的切線；

(2)證明：連接AB,如圖:

7AC是。。的直徑，

/.ABC=90°,即乙4BD+ND8C=90。，

vAD=AD9

???Z.ABD=Z-ACD,

???Z.ACD=Z.ODC,

-乙ABD=Z.ODC,

AzODC+zDBC=90°,

vZ-ODC4-Z-CDE=90°,

:'乙CDE=CDBC,BP乙CDE=CDBE；

(3)解：RpCDE中，OE=6，tanzCDF=|,

,CE_2

**V-3?

ACE=4,

由(2)知乙CDE=^DBE,

Rt^BDE中，DE=6,tanZ-DBE=

—6=2

BE3

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BE=9,

???BC=BE-CE=5,

rM為BC的中點(diǎn)，

二0M1BC,BM==|,

Rt“BFM中’BM=I，tanZDBE=|,

.FM_2

??~-3,

2

FM=

3

BF=y/BM2+FM2=—.

6

23.辦公樓的高度約為10.4米.

[※解析※]

23.由題意可知48=24米，^BDA=53°,因?yàn)閠an/BOA=黑可求出AD,又

由330。=器,可求出CD,即得到答案.

解：由題意可知48=24米，^BDA=53°,

???tan^BDA=—=—=1.33,

：.AD=—?18.05.

?CD_CD_V3

??tan4c40=tan30°AD-18.05-3

???CD=18.05xy?10.4（米）.

故辦公樓的高度約為10.4米.

24.(1)1；(2)V2

[※解析※]

24.(1)作出員的垂直平分線，連接劭，由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)

的距離相等得到D氏DC,由此即可求出△/物的周長(zhǎng)；

⑵設(shè)=BD=3x,進(jìn)而求出AC=AD+CD=4x,在Rt/XABD中使用

勾股定理求得AB=2缶,由此即可求出tan乙4BC的值.

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解：⑴如圖，連接BD,設(shè)BC垂直平分線交BC于點(diǎn)F,

：.BD=CD,

C&ABD=AB+AD+BD

=AB+ADDC=AB+AC

AB=CE,

/.CMBD=4c+CE=AE=1.

⑵設(shè)AD=%,BD=3%,

又＜BD=CD,：.AC=AD+CD=4x,

在RSABD中，AB=y/BD2-AD2=7（3x）2-x2=2y[2x.

tan"BC=Q藕=叵

25.100海里

[※解析※]

25.延長(zhǎng)CB交AD于點(diǎn)D,則^ADB=90°,

由題意可知^DAB=45°,

AB=60V2,

AD=BD=4Bsin45°

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=60V2x—=60,

2

,/BC=20,

DC=60+20=80,

在RtaADC中，由勾股定理得

AC=y/AD2+DC2

=V602+802=100(海里)

答：AC的距離為100海里.

26.(1)106cm；

(2)能碰到，見解析

[※解析※]

26.(1)作CP_LAE于點(diǎn)P,作BQLCP于點(diǎn)Q,在R^BCQ中，CQ=BC?sin53。，

再根據(jù)DE=CP=CQ+PQ可得答案；

(2)當(dāng)B,C,。共線時(shí)，根據(jù)勾股定理可得力。的長(zhǎng)，進(jìn)而可進(jìn)行判斷.

解：(1)過點(diǎn)C作CPJ.AE于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作BQJ.CP于點(diǎn)Q,如圖：

v乙ABC=143°,

???“BQ=53°,

在Rt”BCQ中，CQ=BC-sin53°?70x0.8=56cm,

???CD//I,

：.DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.

(2)當(dāng)B,C,。共線時(shí)，如圖：

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BD=604-70=130cm,AB=50cm,

在RPABD中，AB2+AD2=BD2,

:.AD=120cm>110cm.

???手臂端點(diǎn)。能碰到點(diǎn)M.

27.(1)見解析；(2)迪；(3)回

53

28.至少要買該住宅的第9層樓

[※解析※]

28.根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出ME、MF,根據(jù)EF=MF-ME=40/n可得

AM=54.6m,求出DF,除以每層樓的高度即可得出答案.

根據(jù)題意可知：

四邊形4BDM是矩形，

???AB=MD=120m,

在Rt”AME中，ME=4Mtan45。=,

在Rt4AMF中，"尸=AMtan60°=代人”，

vEF=MF-ME=40m,

何M-力M=40,

???AM?54.6(m),

:.MF?54.6x1.73?94.46(m),

:.DF=120-94.46=25.54(m),

25.54+3x8.5,

;至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時(shí)太陽光線照射到該層樓的外

墻.

答：至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時(shí)太陽光線照射到該層樓的

外墻.

29.CG=2

[※解析※]