系統(tǒng)辨識基礎

系統(tǒng)辨識基礎第1頁第四講系統(tǒng)辨識基礎一、 自校正控制與系統(tǒng)辨識1、自校正控制自校正控制是一類重要的自適應控制方案。自校正的概念最早是由Kalman在1958年首先提出的，主要用于信號去噪。而自校正控制是由瑞典學者阿斯特羅姆(K.J.Astrom)和威特馬克(B.Wittenmark)在1973年首次提出的，并在工業(yè)上得到了廣泛的應用。在自校正控制系統(tǒng)中，被控對象的參數被在線地辨識，然后經過控制器的在線設計過程，對控制器參數進行在線調整，使其始終能適應被控對象模型的變化。必須注意的是：自校正調節(jié)過程是一個迭代優(yōu)化的過程，通過邊辨識、邊綜合，使得控制器參數能夠逐步趨向于最優(yōu)值。自校正控制的實現需要滿足以下假定：?被控對象的模型時變速度緩慢?被控對象可辨識?由控制器和被控對象構成的系統(tǒng)是穩(wěn)定的因此，可認為在自校正調節(jié)過程中，被控對象的模型是不變的，在此條件下，自校正控制的過程為：(1)在t時刻根據u(t)和y(t)估計被控對象參數?()t0；(2)根據?()t0設計控制器參數?()ct0;(3)由?()ct0和r(t+1)，可計算出t+1時刻的控制量u(t+1);(4)根據t+1時刻的u(t+1)和y(t+1)再次估計被控對象參數?(1)t0+； (5)返回步驟2，繼續(xù)進行遞推，直至被控對象參數估計值?()t0收斂到其真值0。第2頁2、系統(tǒng)辨識由自校正控制的原理可知，系統(tǒng)辨識是自校正控制的基礎。系統(tǒng)辨識是根據一個系統(tǒng)的輸入/輸出數據建立系統(tǒng)最優(yōu)數學模型的理論和方法，它不能確保獲得系統(tǒng)“真實”的數學模型，但可以在輸入/輸出關系，也即系統(tǒng)動態(tài)響應的意義上獲得一個與系統(tǒng)等價的最優(yōu)的數學模型，而“最優(yōu)”需要有確定的準則來評判。系統(tǒng)辨識的內容可以劃分為以下三個層次：層次一：模型結構的選擇層次二：系統(tǒng)階次的確定層次三：系統(tǒng)參數的估計由于系統(tǒng)的輸入/輸出信息都只能依靠測量技術采集，而采集到的數據總是包含各種干擾因素的影響，所以系統(tǒng)辨識是一個“不確定”的過程，具有隨機性特征，只能用統(tǒng)計方法來進行研究。3、分離性原理和確定性等價原理由于自校正控制中，只是用被控對象參數的估計值?e而不是真值e來進行控制器設計，由此帶來的隨機性使得自校正控制系統(tǒng)成為典型的“隨機控制系統(tǒng)”。而對于隨機控制系統(tǒng)，有兩條重要的原理：（1）分離性原理所謂分離性原理，是指在隨機控制系統(tǒng)的設計中，可以將隨機部分和確定部分分離開來，單獨進行處理。例如在自校正控制中，被控對象的參數估計是一個具有隨機性的部分，而控制器的設計則是確定性的部分，如果這兩部分任務可以分離進行，同時得到的控制器參數是最優(yōu)的，則稱自校正控制系統(tǒng)的設計過程是可分離的。遺憾的是，只有少量系統(tǒng)，例如采用線性二次型為控制器設計的性能指標的自校正控制系統(tǒng)，滿足分離性原理。（2）確定性等價原理在分離性原理的基礎上，需要有確定性等價原理才能實現自校正控制系統(tǒng)。確定性等價原理是指采用參數估計得到的被控對象參數?e,來設計出的控制器參數?ce,與用被控對象真實參數e來設計的控制器參數ce是完全等價的，都是使性能指標能取得最優(yōu)值的最優(yōu)控制律。即隨機變量?e在控制器設計中的作用確定性地等價于對象真實參數eo同樣的，確定性等價原理并未得到一般性的證明，目前只證明了對于白噪聲、可疊加的測量噪聲和具有線性二次型性能指標的自校正控制系統(tǒng)中，確定性等價原理成立。二、 隨機過程基礎第3頁因為系統(tǒng)辨識是在采樣系統(tǒng)輸入/輸出信息的基礎上估測系統(tǒng)的模型，又因為系統(tǒng)輸入/輸出信息的采集值是具有隨機性的序列，所以需要首先學習了解描述序列性的隨機信號的隨機過程的有關知識。1、隨機變量及其分布(1)隨機變量定義：設隨機試驗E的樣本空間S二{e},若對每個試驗結果e，都有確定的實數X(e)與之對應，則稱實值變量X(e)為隨機變量，簡記為Xo隨機變量就是定義在隨機樣本空間上的變量。(2)分布函數設X是隨機變量，對于任意實數x，令(){}FxPXx=<則稱()Fx為X的分布函數，即()Fx是X在區(qū)間(,]x-8內取值的概率o(3)概率密度函數設隨機變量X的連續(xù)的分布函數為()Fx，若存在非負函數()fx,使得：()()xFxftdt-8=?則稱()fX為X的概率密度函數。概率密度反映了X在某個區(qū)間內取值的概率大小，即{[,]}()bPXabfxdxe=?但()fx不一定存在。(4)常見概率分布(0-1)分布：{1},{0}(1)PXpPXp====-二項分布：{},1,0,1,kknknPXkCpqpqkn-==+==泊松分布：{},0,1,!kePXkknk入入-二二二均勻分布：1,(,)()0,(,)xabfxbaxab?e?指數分布：,0()0,0xexfxx入入-?>=?<?第4頁正態(tài)分布：22()22(),(,)xfxNpopo--=記為2、隨機變量的數字特征(1)數學期望離散隨機變量：1()iiiEXxp+8==2連續(xù)隨機變量：()()EXxfxdx+8-8=?數學期望是隨機變量可取的各值的加權平均值，權值系數是各值的取值概率，也稱為概率均值。(2)方差設隨機變量X的數學期望是E(X)，若2[()]EXEX-存在，則稱為X的方差，記為D(X)離散隨機變量：21()[()]iiiDXxEXp+8==-2連續(xù)隨機變量：2()[()]()DXxEXfxdx+8-8=-?也可用此公式計算方差：222()[()]()[()]DXEXEXEXEX=-=-方差是隨機變量取值分布的分散程度的度量。(5)常見概率分布的數字特征(0-1)分布：(),()(1)EXpDXpp==-二項分布：(),()(1)EXnpDXnpp==-泊松分布：(),()EXDX入入二二均勻分布：2()(),()212abbaEXDX+-==指數分布：211(),()EXDX入入正態(tài)分布：2(),()EXDXg二二第5頁3、隨機過程及其數字特征(1)隨機過程的概念定義：設有定義在樣本空間S二｛e｝上的無窮多個隨機變量序列，按參數C)tTee-8+8排列，稱｛(),｝XttT丘為隨機過程。t—般是時間，如不是時間，則稱X(t)為隨機函數；如t離散，則稱為隨機序列。例如：對—系列產品進行抽樣檢查，其合格性構成—個隨機序列(隨機函數)；江河的水位變化構成—個隨機過程；對人每小時測—次體溫，其值構成一個隨機序列。對于每個時刻ItTG,對應的1()Xt是一個隨機變量，稱為隨機過程X(t在1tt時刻的狀態(tài)；當在一系列連續(xù)試驗中x(t取得一系列具體值時，這些值構成一個僅依賴于t的確定性函數X(t)，稱為隨機過程x(t的一條樣本函數，也稱為樣本曲線。若一個隨機過程x(t中任意兩個時刻12,ttT€,都有()Xt、2()Xt相互獨立，則稱X(t為獨立隨機過程。(2)隨機過程的數字特征定義1：設{(),}Xt€是一個隨機過程，對于任意給定的tT6,隨機過程在該點的狀態(tài)X(t的數學期望構成一個t的函數，稱為X(t)的均值函數，記為m(t)對于連續(xù)的隨機過程，均值函數()[()](；)mtEXtxfxtdx+8一8==?(；)fx是t時刻X(t的概論密度函數。定義2：設{(),}XttT6是一個隨機過程，對于任意給定的6,隨機過程在該點的狀態(tài)X(t的方差構成一個t的函數，稱為X(t的方差函數，記為D(t。對于連續(xù)的隨機過程,方差函數22(){[()()]}[()()](;)DtEXtmtxtmtfxtdx+8一8=一=一?定義3：設{(),}XttT6是一個隨機過程，對于任意給定的ttT61()Xt、2()Xt之間的協(xié)方差構成一個12,tt的函數，稱為X(t的協(xié)方差函數,記為12(,)ttr。第6頁對于連續(xù)的隨機過程，協(xié)方差函數1212112211222121212(,)cov[(),()]{[()()][()()]}[()()][()()](,;,)ttXtXtEXtmtXtmtxtmtxtmtfxxttdxdx+8+8-8-8「二二__=__?其中21212(,;,)fxxtt是1()Xt、2()Xt的二維聯合概論密度函數。協(xié)方差表示了兩個隨機變量之間的線性相關程度，當協(xié)方差為0時，兩個隨機變量不相關。獨立的隨機變量一定不相關，但不相關的隨機變量不一定互相獨立。方差函數是協(xié)方差函數的特例。定義4：設{(),}XttT丘是一個隨機過程，對于任意給定的12,ttTe,1()Xt、2()Xt之間的自相關函數(簡稱為相關函數)是12,tt的函數，記為12(,)Rtt，定義為1212122121212(,)[()()]()()(,;,)RttEXtXtxtxtfxxttdxdx+8+8_8_8==?也可將相關函數表示為：C)[()()]RtEXtXttt=+o協(xié)方差函數、均值函數和相關函數之間有如下關系：12112212121212(,){[()()][()()]}[()()][()][()](,)()()ttEXtmtXtmtEXtXtEXtEXtRttmtmt「二--=-=-對于不相關的隨機過程，有121212(,)(,)()()0ttRttmtmt「二-二即有1212(,)()()Rttmtmt=4、平穩(wěn)過程及各態(tài)遍歷性(1)矩的概念矩就是指隨機變量的各種數字特征，其中()kEX稱為隨機變量X的k階原點矩，{[()]}kEXEX-稱為隨機變量X的k階中心矩。顯然：數學期望是一階原點矩，方差是二階中心矩。如隨機過程的均值函數和方差函數均存在，則稱該過程為二階矩過程。(2)平穩(wěn)過程若隨機過程X(t)有12121212(〃;〃)(〃;〃)nnnnFxxxtttFxxxtttttt二+++第7頁即X(t)的有限維概率分布與t無關，則稱X(t)為嚴平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。若二階矩過程X(t)有122121(,)()(),0[()],RttRttRttEXtmtt=-==->=即X(t)的均值為常數，相關函數僅與t有關，則稱X(t)為寬平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程表示隨機過程的概率分布情況和數字特征與所研究的時間點無關，因此可以從平穩(wěn)過程中任取一段來進行研究和分析。注意：嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，因為二階矩不一定存在；寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程，因為其條件僅是嚴平穩(wěn)過程的必要條件。(3)各態(tài)遍歷性隨機過程X(t)的數字特征，可以用n個樣本函數12(),(),,()nxtxtxt去計算，例如求均值函數和相關函數，即112121211()[()]()1(,)[()()][()()]nkknkkkmtEXtxtnRttEXtXtxtxtn二二二u二違乂依據大數定律，當n-8時，就得到了準確的均值函數和相關函數，這稱為隨機過程的空間均值和空間相關函數。但有許多隨機過程的樣本函數是無法重復取得的，因此，只能從單個的樣本函數去試求隨機過程的數字特征。當隨機過程X(t)不是平穩(wěn)過程時，從單個的樣本函數無法獲得隨機過程的數字特征。當隨機過程X(t雇平穩(wěn)過程時，其均值函數()mt是與t無關的常數m，相關函數12(,)Rtt是只與時間間隔t有關的函數()Rt如果有如下極限存在：1()lim()21()()lim()()2TTTTTTXtXtdtTXtXtXtXtdtTtt--8--8<>=<+>=+?則稱其為隨機過程X(t)的時間均值和時間相關函數，它們都是隨機變量。如果隨機過程X(t)的時間均值概率為1地等于空間均值，時間相關函數概率為1地等于空間相關函數，則稱該隨機過程具有各態(tài)遍歷性。即(),(..)()()()(.)mXtasRXtXtastt=<>二<+>第8頁a.s的意思是allmostsure，幾乎可以確定。具有各態(tài)遍歷性的隨機過程，隨時間的延續(xù)各種取值都可能取到，并且取值分布也幾乎與單個時間點上的狀態(tài)的取值分布一致，因此可以用一條或者幾條樣本曲線來計算隨機過程的數字特征。5、隨機過程的譜分解(1)平穩(wěn)隨機過程的譜分解設()Rn為平穩(wěn)隨機序列{(),0,12}Xkk二士士的相關函數，則可表示為：()()jnRnfedn3n33-二？稱為()Rn的譜分解，其中()f3稱()Xk的譜密度函數。設()Rt為平穩(wěn)隨機過程{(),}XttT丘的相關函數，則可表示為：()()jRfedT3T33+8_8=？稱為()RT的譜分解，其中()f3稱()Xt的譜密度函數。隨機過程的譜分解是按諧波分量的頻率將隨機過程的功率進行分解發(fā)(傅立葉分解)，因此也稱為功率譜。譜密度函數的計算方法為1()(),21()(),2jnnjfRnefRed3T33n3TTn+8_=_8+8__8I?隨機序列隨機過程白噪聲若隨機序列()Xk滿足2,00,()0,0nmRnno?===?H?則稱()Xk為白噪聲。白噪聲是平穩(wěn)過程，同時具有各態(tài)遍歷性，其譜密度函數為：21()(),22jnnfRne3ownwnnn+8-=-8=-<<I因此，白噪聲的功率在各個頻率上是均勻的，類似于“白光”，因此稱為“白”噪聲。白噪聲是最理想的純隨機信號，也是考查系統(tǒng)干擾影響的基礎。不符合白噪聲特點的噪聲稱為有色噪聲，它可以由白噪聲的函數來表達。第9頁三、 最小二乘法參數估計的原理1、離散系統(tǒng)的輸入輸出模型根據對系統(tǒng)辨識的分析，它是在測量得到的離散的系統(tǒng)輸入輸出數據的基礎上來進行系統(tǒng)結構和參數辨識的，因此首先要研究離散系統(tǒng)的數學描述。設單輸入單輸出系統(tǒng)的差分方程為：101()(1)()()(1)()abnanbytaytaytnbutkbutkbutkn+—+-=-+—++—k是輸出延時。設單位后移算子為1z-,即有1()(1)zytyt-=-則可令11101()1()aabbnnnnAzazazBzbbzbz---=+++=+++則單輸入單輸出系統(tǒng)的差分方程可表示為：()()()()AzytBzutk=-也可寫為：()()()()BzytutkAz=-當系統(tǒng)受噪聲干擾時，假定噪聲源是白噪聲，則可將噪聲引起的輸出擾動定義為：()()()()CztwtAzE二則含有單輸入單輸出系統(tǒng)的差分方程可表示為：()()()()()()()BzCzytutkwtAzAz=-+也可寫為：()()()()()()AzytBzutkCzwt=-+其中()()Azyt表示輸出y(t)的歷史值對當前值的影響，稱為自回歸部分，AR()()Bzutk-表示輸入u(t)對輸出y(t)當前值的影響，稱為受控部分，C第10頁()()Czwt表示干擾對輸出y(t)的影響，稱為滑動平均部分，MA因此，上述模型稱為：受控自回歸滑動平均模型，CARMA其它的單輸入單輸出系統(tǒng)模型還有：()()()()()AzytBzutkwt=-+,受控自回歸模型，CAR1()()()()()()AzytBzutkwtDz=-+，動態(tài)模型，DA對于多輸入多輸出時變離散系統(tǒng)，可用差分狀態(tài)空間模型表示為：(1)()()()()()()()()()()xtAtxtBtutDtwtytCtxtwt+=++??=+?2、最小二乘法參數估計的原理設有一待辨識的系統(tǒng)模型為()yfxw=+xyw0和是可測量的輸入輸出數據是白噪聲待辨識的參數為若有一系列輸入輸出的測量值112233,;,;,;;,nnyxyxyxyx則稱能使準則函數21()[()]niiiJyfx9==-J取得最小值的參數估計值?e為最小二乘法參數估計，簡記為LS估計。最小二乘法參數估計本質上是求測量點到估計模型的歐氏距離和最小的參數估計結果。3、參數估計的評價指標對于不同的參數估計算法，其估計結果的評價有以下常用指標：(1)無偏性設?e是參數9的估計值，若()E99=則稱?9為參數9的無偏估計。無偏估計是參數估計的基本要求，即估計值以真值為中心波動，如果重復多次估計，則依據大數定律，估計值的均第11頁值會趨近于真值。(2)均方誤差設?9是參數9的估計值，均方誤差定義為2??(,)[)]MSEE9999=-(均方誤差反映了估計值波動的幅度大小。若?9是參數9的無偏估計，則均方誤差就是估計值?9的方差；若?9不是參數9的無偏估計，則均方誤差為2222222??(,)[)]{[()()]}{[()]}2{[()][()]}{[()]}{[()]}[()]??()[()]MSEEEEEEEEEEEEEEEDE99999999999999999999999=-=-+-=-+--+-=-+-=+-((3)收斂性如t—8時，有?limt99—8=,a.s.則稱?e收斂于eo四、 基本最小二乘法參數估計1、系統(tǒng)模型設系統(tǒng)模型為CAR模型(受控自回歸)，且無輸出延時()()()()(),()AzytBzutwtwt=+是白噪聲11101()1()aabbnnnnabAzazazBzbbzbznn---=+++=+++＞且也可將模型寫為：()()()Tyttwt?e=+其中12012[,,,;,,,,]()[(1),(2),,();(),(1),(2),,()]abnnTabaaabbbbtytytytnututututne?== ，稱為參數向量，稱為信息向量2、辨識算法第12頁在t時刻，有t個測量結果，表示為：tttyHwe=+其中[(1),(2),,()][(1),(2),,()][(1),(2),,()]TTTTTTtttyyyytHtwwwwt=== ，，設最小二乘準則函數為21()[()()]tTiJyii0?0==-2則參數估計值?e應能使該準則函數取得極小值。設()je在?e處可微，則()0Jeeee=?=?因為[()()]()()()2()tTiTttttTtttyiiJyHyHHyH00ee00ee?eeee0000=====?-?==--!所以有()0TtttHyH0-=即1??()TTttttTTttttHyHHHHHy00-==條件是TttHH非奇異，可以求逆?？梢宰C明，當輸入信號是是an階持續(xù)激勵信號，當t-8時，1abtnn>>++,TttHH非奇異。持續(xù)激勵信號持續(xù)激勵信號是指能夠持續(xù)激勵待辨識系統(tǒng)的動態(tài)特性，以獲得充分的信息第13頁來進行辨識的輸入信號。對于無輸出延時的受控自回歸(CAR)模型，需要辨識的參數有1abnn++個，因此輸入信號至少要包含12abnn++個線性無關的頻率成份，才能夠獲得足夠的數據進行辨識。白噪聲和有色噪聲都是持續(xù)激勵信號，因此用白噪聲作為輸入來進行系統(tǒng)辨識是最理想的，但一般系統(tǒng)對白噪聲都不能做出有效的響應，且白噪聲也難以在物理上實現。1?()TTLSttttHHHy0-=就是基本最小二乘法參數估計公式，它是離線估計算法，需要一次采集足夠多的輸入輸入信號，計算量比較大，并且需要對高階矩陣進行求逆計算。3、估計質量評價(1)無偏性111111?()[()][()()][()][()][()][()]()0?(TTLSttttTTtttttTTttttTTttttttTTTTttttttttLSEEHHHyEHHHHwEHHHwEHHHwwHEHHHwEHHHEwE999999 ==+=+=+.?.==.?.=由白噪聲構成，與之間線性不相關)所以，基本最小二乘法參數估計是無偏估計。(2)均方誤差基本最小二乘法參數估計的均方誤差為1111211??(,)()[()][][()][()]{[()]}[()()]LSLSTTttttTTttttTTttttTTttttTTTTttttttttMSEDDHHHwDDHHHwDHHHwEHHHwEHHHwwHHH09999 ==+=+===收斂性第14頁1121121lim(,)lim[()()]lim()()lim()TTTTLSttttttttttTTTtttttttTtttMSEEHHHwwHHHHHHHHHHH99oo--f8—8——一8-—>8212121lim()..111?lim(,)lim()lim0?lim[()]0?lim,..TtttTLStttttLStLStHHRastMSEHHRtttEas99oo9999>8-->8>8>8>8>8====-==若存在則則有即可以證明，當輸入信號是是an階持續(xù)激勵信號，1lim()..TtttHHRast>8=條件滿足。五、 遞推最小二乘法參數估計1、基本最小二乘法參數估計的問題?計算量大?需要求大型矩陣的逆?不能實現在線參數估計?不能無法預估所需的數據量2、最小二乘法參數估計遞推公式遞推最小二乘法利用逐漸采集到的輸入輸出數據來遞推估計系統(tǒng)參數?e時刻的，即求取t時刻的參數估計值?()te與1t-時刻的參數估計值?(i)te-和t時刻的信息向量()tt?之間的關系。設11()()()tTTttiPtHHii??-===2貝則11()(1)()()TPtPttt??--=-+1?()TTttttHHHye-=第15頁1111111?()()()[()()]()[(1)(1)()()]()[(1)(1)()()]?(){[()()()](1)()()}??(1)()()[()()(1)]TttTttTttTTtPtHyPtHytytPtPtPtHytytPtPtttytPtPtttttyttPttyttte??eeee .?.==+=—+=—+=—二-—即遞推最小二乘法公式為：11()(1)()()[()()(1)]()(1)()()TTttPttytttPtPtttee??e??--?=-+--??=-+??其中(1)?()()(1)()()TtytttPtt00?---是上一時刻的參數估計值是利用上一時刻參數估計值得到的輸出偏差為修正因子為避免矩陣求逆運算，可對以上遞推最小二乘法參數估計進行進一步改進。111111111()()()[(1)()()](1)(1)()[()(1)()]()(1)TTTAbcAAbIcAbcAPtPtttPtPttItPtttPt-1()(1)()111[()(1)()]1()(1)()TTTtPttItPtttPtt-- ????+-二+-是維的標量(1)()()(1)()(1)1()(1)()(1)()[()](1)1()(1)()TTTTPtttPtPtPttPttPttItPttPtt-- ?=--+--=--+-同時，有1()(1)()()()(1)()()(1)()1()(1)()()()()(1)()()()(1)()(1)1()(1)()(1)()1()(1)()TTTTTTTtPttttPtPttPtttPtttttPttttPttPttPttPtttPtt+---=-+-+---=-+--=+-設(1)()()1()(1)()TPttLttPtt-=+-則遞推最小二乘法參數估計公式可寫為第16頁()(1)()[()()(1)](1)()()1()(1)()()[()()](1)TTT11LtytttPttLttPttPtILttPt99?9= -+-?=?+-?=--?3、遞推最小二乘法參數估計的算法過程第一步：選取?(o)e和(o)p的初值,一般？(o)e取很小的實向量,(o)p取22610,10?101aaa二為充分大的正數，一般取，t=1；第二步：增加一組測量數據，獲得()Tt?;第三步：求()Lt;第四步：求?()t0，若滿足精度要求??()(1)tt00￡--＜，則停止遞推；第五步：計算()Pt八加1,返回第二步。課后作業(yè)：設待辨識系統(tǒng)為1212134)()(23)()(),()zzytzzutwtwt ++=++(是白噪聲在Matlab中編程，用偽隨機序列作為持續(xù)激勵的輸入()ut產生信息向量，然后用遞推最小二乘法對參數進行估計。六、 其它最小二乘法參數估計1、遺忘因子遞推最小二乘法參數估計當采用遞推最小二乘法時，已有的所有信息向量都會在遞推過程中發(fā)揮作用，因此隨著時間的推移，新采集到的信息向量對參數估計值的修正作用會逐漸減弱，稱為“數據飽和”現象，也就是說遞推算法的計算效率逐漸降低。當被辨識的系統(tǒng)參數緩慢時變時，遞推最小二乘法參數估計不能很好地實現系統(tǒng)辨識。遺忘因子遞推最小二乘法參數估計是在遞推公式中加入遺忘因子，逐漸減小舊信息向量在參數估計中的權重，以加強新信息向量的作用，跟隨系統(tǒng)參數的時變。令11()(1)()()TPtPttt入??--二-+，入為遺忘因子，一般取0.951入5＜。入越大，遺忘作用越小，參數估計的精度越高；入越小，遺忘作用越大，參數估計的跟蹤能力越強。遺忘因子遞推最小二乘法參數估計公式為第17頁()(1)()[()()(1)](1)()()()(1)()1()[()()](1)TTTttLtytttPttLttPttPtILttPt99?9?AA?=-+--?-?=?+-?=--?2、增廣最小二乘法參數估計(1)系統(tǒng)模型增廣最小二乘法針對受控自回歸滑動平均模型(CARMA),()()()()()()AzytBzutCzwt=+其中1110111()1()()1aabbccnnnnnnAzazazBzbbzbzCzczcz =+++=+++=+++令噪聲干擾為()()()etCzwt=則待辨識系統(tǒng)模型為()()()()()AzytBzutet=+定義參數向量為：

1201212[,,,;,,,,][,,,],abcTTsnnnnaaabbbbccc00==,信息向量為：()[(1),(2),,();(),(1),(2),,()]()[(1),(2),,()]TsabTnctytytytnututututntwtwtwtn--，，則系統(tǒng)模型可寫為：[]sttttnyHLw00??=+其中(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)()()()()TTsnTTsnttttTTsnywywyHt====????????????????，，，(2)一次完成算法第18頁由最小二乘法參數估計的原理可得，1TTTsttttttTTTtttttnHHHLHyLHLLL00-=但該