數(shù)學(xué)攻略大一輪復(fù)習(xí)新高考精練11-3條件概率二項(xiàng)分布及正態(tài)分布（試題部分）

條件概率、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布1.某個(gè)電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍,已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為12,兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為15,則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(A.110B.15C.25答案C2.甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽,甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為23和34,甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為(A.34B.23C.57答案D3.“石頭、剪刀、布”又稱“猜丁殼”,是一種流行多年的猜拳游戲,起源于中國(guó),然后傳到日本、朝鮮等地,隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展,它傳到了歐洲,到了近代逐漸風(fēng)靡世界.其游戲規(guī)則是:出拳之前雙方齊喊口令,然后在語(yǔ)音剛落時(shí)同時(shí)出拳,握緊的拳頭代表“石頭”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸開(kāi)代表“布”.“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,而“布”又勝“石頭”.若所出的拳相同,則為和局.小軍和大明兩位同學(xué)進(jìn)行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽,則小軍和大明比賽至第四局小軍勝出的概率是()A.127B.227C.281答案B4.某個(gè)部件由三個(gè)元件按如圖所示的方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為()A.15B.12C.35答案D5.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為()答案C6.某次考試共有12個(gè)選擇題,每個(gè)選擇題的分值為5分,每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,A學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握,最后選擇題的得分為X分,B學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,對(duì)其他三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握,最后選擇題的得分為Y分,則D(Y)D(X)=()A.12512B.3512C.274答案A7.拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子,設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”,事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”.當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí),兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為.

答案5考點(diǎn)二正態(tài)分布8.設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X,且X~N(800,502).則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為()(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),有P(μσ<X≤6,P(μ2σ<X≤4,P(μ3σ<X≤4)2644答案A9.甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)σ2答案D10.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)得變量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8,則ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率為()答案D11.已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,則P(2<x<4)=()答案B12.近年來(lái)“雙十一”已成為中國(guó)電子商務(wù)行業(yè)的年度盛事,并且逐漸影響到國(guó)際電子商務(wù)行業(yè).某商家為了準(zhǔn)備2018年“雙十一”的廣告策略,隨機(jī)調(diào)查了1000名客戶在2017年“雙十一”前后10天內(nèi)網(wǎng)購(gòu)所花時(shí)間T(單位:時(shí)),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這10天網(wǎng)購(gòu)所花的時(shí)間T近似服從N(μ,σ2),其中μ用樣本平均值代替,σ2=0.24.(1)計(jì)算μ,并利用該正態(tài)分布求P(1.51<T<2.49);(2)利用由樣本統(tǒng)計(jì)獲得的正態(tài)分布估計(jì)整體,將這10天網(wǎng)購(gòu)所花時(shí)間在(2,2.98)小時(shí)內(nèi)的人定義為目標(biāo)客戶,對(duì)目標(biāo)客戶發(fā)送廣告提醒.現(xiàn)若隨機(jī)抽取10000名客戶,記X為這10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù).(i)求EX;(ii)問(wèn):10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù)X為何值的概率最大?附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則3.0.24解析(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,從而T服從N(2,0.24),又σ=0.24從而7.(2)(i)任意抽取1名客戶,該客戶是目標(biāo)客戶的概率為P(2<T<2.98)=P(μ<T<μ+2σ)=12P(μ2σ<T<μ+2σ)=12由題意知X服從B(1025),所以EX=1025=4772.5.(ii)X服從B(1025),P(X=k)=C10000k25k25)=C10000k25k·7510000k(k=0,1,2,設(shè)當(dāng)X=k(k≥1,k∈N)時(shí)概率最大,則有P得0解得k=4772.故10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù)為4772的概率最大.解題關(guān)鍵對(duì)于(2),得出X服從B(1025)是解題的關(guān)鍵.綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布問(wèn)題的求解方法1.(2018山東濰坊模擬,6)某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核,規(guī)則是:①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃;②每個(gè)輪次每人投籃2次,若至少投中1次,則本輪通過(guò),否則不通過(guò),已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為23,如果甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個(gè)輪次通過(guò)的次數(shù)X的期望是(B.83D.答案B2.(2018福建廈門(mén)二模,6)袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.25B.35C.18125答案D3.(2018廣東珠海一中等六校第一次聯(lián)考)一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4a5,其中A的各位數(shù)字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13,出現(xiàn)1的概率為23.若啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=10101,則稱這次試驗(yàn)成功,若成功一次得2分,失敗一次得1分,則100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的總得分X的方差為答案304.(2019河北模擬,19)某種植戶對(duì)一塊地的n(n∈N*)個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播種3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為12,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立,對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種(1)當(dāng)n取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)n=4時(shí),用X表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)對(duì)于一個(gè)坑而言,要補(bǔ)播種的概率為123+C31123=12.有3個(gè)坑需要補(bǔ)播種的概率為Cn3×12n,要使Cn3×12n(2)n=4時(shí),要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)X的所有可能的取值為0,1,2,3,4,X~B4,12,P(X=0)=C40124=116,P(X=1)=C41×124=1所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P11311因?yàn)閄~B4,12,所以5.(2020屆遼寧阜新中學(xué)10月月考,18)某市政府為了節(jié)約生活用電,計(jì)劃在本市試行居民生活用電定額管理,即確定一戶居民月用電量標(biāo)準(zhǔn)a,用電量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi).超出a的部分按議價(jià)收費(fèi),為此,政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖所示,用電量在[240,260)的居民戶數(shù)比用電量在[160,180)的居民戶數(shù)多11戶.(1)求直方圖中x,y的值;(2)①用樣本估計(jì)總體,如果希望至少85%的居民用電量低于標(biāo)準(zhǔn),求月用電量的最低標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少度,并說(shuō)明理由;②若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市所有居民中隨機(jī)抽取3戶,其中月用電量低于①中最低標(biāo)準(zhǔn)的居民戶數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).解析(1)由題意,得(所以x(2)①樣本中月用電量不低于260度的居民戶數(shù)為5)×20×100=15,占樣本總量的15%,用樣本估計(jì)總體,要保證至少85%的居民月用電量低于標(biāo)準(zhǔn),故最低標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為260度.②將頻率視為概率,設(shè)A(單位:度)代表居民月用電量,易知P(A<260)=1720,由題意得,ξ~B3P(ξ=i)=C3所以ξ的分布列為ξ0123P2745924所以E(ξ)=0×278000+1×4598或由ξ~B3,1720及二項(xiàng)分布的期望公式可得E(ξ)=3×考法二正態(tài)分布問(wèn)題的解題方法6.(2018山東淄博一模,5)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a3)=P(ξ>a+2),則a的值為()A.73B.53答案A7.(2019河北冀州期末,4)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,則P(ξ≤3)=()答案D8.(2019江西南昌模擬,6)在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測(cè)試中,學(xué)生成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)內(nèi)的概率為0.75,則任意選取一名學(xué)生,該生成績(jī)高于115分的概率為()答案C9.(2019山西運(yùn)城一模,19)2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來(lái)全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位:小時(shí))并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,則Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μ②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù),求P(Z≥2)(結(jié)果精確到1)以及Z的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):178≈403419≈6.若Y~N(0,1),則P(Y≤解析(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(69)2×0.03+(79)2×0.1+(89)2×0.2+(99)2×0.35+(109)2×0.19+(119)2×0.09+(129)2×0.04=1.78.(2)①由題知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=1.78=178100∴P(X≤10)=PY≤10-9②由①知P(X>10)=1P(X≤6,由題意得6),P(Z≥2)=1P(Z=0)P(Z=1)420C201419≈6≈Z的數(shù)學(xué)期望6=4.532.【五年高考】考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布1.(2018課標(biāo)Ⅲ,8,5分)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()答案B2.(2015課標(biāo)Ⅰ,4,5分)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()答案A3.(2019課標(biāo)Ⅰ,15,5分)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是.

答案4.(2015廣東,13,5分)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=.

答案15.(2019課標(biāo)Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.解析本題主要考查獨(dú)立事件概率的求解.考查學(xué)生的邏輯推理及數(shù)據(jù)處理能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析和邏輯推理.(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束,則這2個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(10.5)×(10.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束,且這4個(gè)球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(10.4)+(10.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.思路分析(1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分類求出獨(dú)立事件的概率,求和即可.(2)X=4且甲獲勝,即又打了4個(gè)球,且后兩球甲得分,前兩個(gè)球甲、乙各得1分,由獨(dú)立事件的概率公式可求解.6.(2019天津,16,13分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.解析本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P1248隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×23(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}與{Y=1},事件{X=2}與{Y=0}均相互獨(dú)立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×1思路分析(1)觀察關(guān)鍵詞“均”“互不影響”“相互獨(dú)立”,判斷X~B(n,p),從而利用二項(xiàng)分布求出分布列與期望.(2)先將“天數(shù)恰好多2”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示,即X=3,Y=17.(2016北京,16,13分)A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)):A班678B班6789101112C班36912(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率;(3)再?gòu)腁,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位:小時(shí)).這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結(jié)論不要求證明)解析(1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來(lái)自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100×820(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人”,i=1,2,…,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人”,j=1,2,…,8.由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5,設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=3(3)μ1<μ0.考點(diǎn)二正態(tài)分布8.(2015湖北,4,5分)設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)答案C9.(2015山東,8,5分)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B10.(2017課標(biāo)Ⅰ,19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:經(jīng)計(jì)算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ^,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ^,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.剔除(μ^3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù),附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則4.416≈2,0.008解析本題考查正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的概念和性質(zhì)、概率的計(jì)算以及數(shù)學(xué)期望的求法,考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為4,從而零件的尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率為6,故6).因此P(X≥416≈8.X的數(shù)學(xué)期望為6.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率只有6,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有8,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估計(jì)值為μ^=9.97,σ的估計(jì)值為σ^=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(μ^3σ^,μ^+3σ剔除(μ^3σ^,μ^+3σ^115×(16×9.97因此μ的估計(jì)值為10.02.∑i=116xi2剔除(μ^3σ^,μ^+3σ^115×(122)≈因此σ的估計(jì)值為0.008教師專用題組考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布1.(2014課標(biāo)Ⅱ,5,5分)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()答案A考點(diǎn)二正態(tài)分布2.(2014課標(biāo)Ⅰ,18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果,求EX.附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),則P(μσ<Z<6,P(μ2σ<Z<4.解析(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(30)2×0.02+(20)2×0.09+(10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),從而6.(ii)由(i)知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為6,依題意知6),所以6=68.26.思路分析(1)根據(jù)直方圖求得樣本平均數(shù)x和樣本方差s2;(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),從而得出概率.(ii)依題意知6),從而求得EX.【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共35分)1.(2020屆福建南安僑光中學(xué)第一次階段考,3)已知隨機(jī)變量ξ~B3,12,則C.32D.答案C2.(2019安徽安慶二模,7)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳等四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”,則P(A|B)=()A.14B.34C.29答案C3.(2018廣東茂名一模,6)設(shè)X~N(1,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是()(注:若X~N(μ,σ2),則P(μσ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ2σ<X<μ+2σ)=95.44%)539038028587答案D4.(2019福建寧德二模,6)某校有1000人參加某次模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15,則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為(答案C5.(2020屆山西大學(xué)附中第二次診斷,9)已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍為()A.0,12B.0,712答案A6.(2020屆廣東深圳七中第二次月考,5)某班有60名學(xué)生,一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為()答案B7.(2020屆廣東廣州執(zhí)信中學(xué)10月月考,5)社區(qū)開(kāi)展“建軍90周年主題活動(dòng)——軍事知識(shí)競(jìng)賽”,甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為35和23,兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為(A.35B.215C.1315答案C二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分)8.(改編題)下列對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是()A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是13,那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為B.甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一份密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分別為15,13,14,假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的C.甲袋中有8個(gè)白球,4個(gè)紅球,乙袋中有6個(gè)白球,6個(gè)紅球,從每袋中各任取一個(gè)球,則取到同色球的概率為1D.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率是答案AC9.(改編題)已知隨機(jī)變量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0<Y<2)=p,則()答案AC三、填空題(每題5分,共15分)10.(2020屆湖北十堰二中月考,13)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.88,則P(0<X<4)=.

答案11.(2019上海金山二模,9)若生產(chǎn)某種零件需要經(jīng)過(guò)兩道工序,在第一、二道工序中生產(chǎn)出廢品的概率分別為、0.02,每道工序生產(chǎn)廢品相互獨(dú)立,則經(jīng)過(guò)兩道工序后得到的零件不是廢品的概率是.(結(jié)果用小數(shù)表示)

答案212.(2020屆廣東珠海9月摸底測(cè)試,15)研究珠海市農(nóng)科奇觀的某種作物,其單株生長(zhǎng)果實(shí)個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,從中隨機(jī)抽取10株,果實(shí)個(gè)數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機(jī)變量X,假設(shè)X服從二項(xiàng)分布,則X的方差為.

答案四、解答題(共35分)13.(2020屆廣東湛江9月調(diào)研考試,18)某市一所高中為備戰(zhàn)即將舉行的全市羽毛球比賽,學(xué)校決定組織甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球?qū)官悓?shí)戰(zhàn)訓(xùn)練.每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員,并統(tǒng)計(jì)了以往多次比賽成績(jī),按由高到低進(jìn)行排序分別為第一名、第二名、第三名、第四名.比賽規(guī)則為甲、乙兩隊(duì)同名次的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行對(duì)抗,每場(chǎng)對(duì)抗賽都互不影響,當(dāng)甲、乙兩隊(duì)的四名隊(duì)員都進(jìn)行一次對(duì)抗賽后稱為一個(gè)輪次.按以往多次比賽統(tǒng)計(jì)的結(jié)果,甲、乙兩隊(duì)同名次進(jìn)行對(duì)抗時(shí),甲隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率分別為12,23,13(1)進(jìn)行一個(gè)輪次對(duì)抗賽后一共有多少種對(duì)抗結(jié)果?(2)計(jì)分規(guī)則為每次對(duì)抗賽獲勝一方所在的隊(duì)得1分,失敗一方所在的隊(duì)得0分.設(shè)進(jìn)行一個(gè)輪次對(duì)抗賽后甲隊(duì)所得分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析(1)因?yàn)榧?、乙兩?duì)的四名隊(duì)員每進(jìn)行一次對(duì)抗賽都會(huì)有2種情況產(chǎn)生,所以進(jìn)行一個(gè)輪次對(duì)抗賽后一共有24=16種對(duì)抗結(jié)果.(2)X的可能取值分別為4,3,2,1,0,P(X=4)=12×23×13×12=P(X=3)=12×23×13×12+12×13×13×12+12×23×23×12+P(X=2)=12×13×13×12+12×13×23×12+12×23×23×12+12×23×23×12+12×2P(X=1)=12×13×23×12+12×23×23×12+12×13×13×12+P(X=0)=12×13×23×12=所以X的分布列為X43210P11711E(X)=4×118+3×14+2×718+1×114.(2019江西紅色七校第二次聯(lián)考,19)當(dāng)前,以“立德樹(shù)人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試,是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開(kāi)展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.某地區(qū)2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,得到如圖所示的頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表.每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞)得分17181920(1)現(xiàn)從