數(shù)學(xué)模型植物生長(zhǎng)課件

植物生長(zhǎng)模型植物生長(zhǎng)模型1問題的提出像人和動(dòng)物生長(zhǎng)依靠食物一樣，植物生長(zhǎng)主要依靠碳和氮元素。植物需要的碳主要有大氣提供，通過光合作用由葉吸收；而氮有土壤提供，通過植物的根部吸收。植物吸收著這些元素，在植物體內(nèi)輸送、結(jié)合導(dǎo)致植物生長(zhǎng)。通過對(duì)植物生長(zhǎng)過程的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)基本事實(shí)：（1）碳由葉吸收，氮由根吸收；（2）植物生長(zhǎng)對(duì)碳氮元素的需求大致有一個(gè)固定比例；（3）碳可由葉部送到根部，氮也可又根部送到葉部；（4）在植物生長(zhǎng)的每一時(shí)刻補(bǔ)充的碳元素的多少和它葉系的尺寸有關(guān)，補(bǔ)充的氮與根系的尺寸有關(guān)；問題的提出像人和動(dòng)物生長(zhǎng)依靠食物一樣，2（5）植物生長(zhǎng)過程中，葉系尺寸和根系尺寸維持著某種均衡的關(guān)系。依據(jù)上述基本事實(shí)，避開其它復(fù)雜因素，我們考慮能否建立一個(gè)描述單枝植物在光合作用和從土壤吸收養(yǎng)料情形下的生長(zhǎng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。（5）植物生長(zhǎng)過程中，葉系尺寸和根系尺寸維3植物生長(zhǎng)過程中的能量轉(zhuǎn)換植物組織生長(zhǎng)所需要的能量是由促使從大氣中獲得碳和從土壤中獲得氮相結(jié)合的光合作用提供的。我們建立的模型主要考慮這兩種元素，不考慮其他的化學(xué)物質(zhì)。葉接受光照同時(shí)吸收二氧化碳通過光合作用形成糖，糖是能量的來源。有以下幾方面的用途：工作能——根部吸收氮和在植物內(nèi)部輸送碳和氮需要的能量；轉(zhuǎn)化能——將氮轉(zhuǎn)化為蛋白質(zhì)和將葡萄糖轉(zhuǎn)化為其他糖類和脂肪所需的能量；結(jié)合能——將大量分子結(jié)合成為組織需要的能量；維持能——用來維持很容易分解的蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的能量。植物生長(zhǎng)過程中的能量轉(zhuǎn)換植物組織生長(zhǎng)所4

植物的每個(gè)細(xì)胞中，碳和氮所占的比例大體上是固定的新產(chǎn)生的細(xì)胞中碳和氮也保持相同的比例。碳和氮在植物的其他部分之間運(yùn)動(dòng)。通常植物被分為根、莖、葉三部分，但我們將其簡(jiǎn)化為兩部分，生長(zhǎng)在地下的根部和生長(zhǎng)在地上的葉部?，F(xiàn)在我們分三階段，又淺入深的逐步建立和完善模型每一階段都建立一個(gè)獨(dú)立的模型。

植物的每個(gè)細(xì)胞中，碳和氮所占的比例大體上是固定5初步模型

若不區(qū)分植物的根部和葉部，也不分碳和氮、籠統(tǒng)地將生長(zhǎng)過程視作植物吸收養(yǎng)料長(zhǎng)大，就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。設(shè)植物的質(zhì)量為W,體積為V,植物吸收的養(yǎng)料和體積成正比，即：(3.1)

其解為(3.2)

其中為初始時(shí)植物的質(zhì)量初步模型若不區(qū)分植物的根部和葉6解（3.2)是個(gè)指數(shù)函數(shù)，隨時(shí)間的增長(zhǎng)可無限地增長(zhǎng)，這是不符實(shí)際的。為了反映著現(xiàn)象，我們將k取為變量，隨著植物的長(zhǎng)大而變小。如k=a-bW，a,b為正數(shù)。方程化為(3.3)

令上式可寫為(3.4)

若初值為,(3.4)的解為解（3.2)是個(gè)指數(shù)函數(shù)，隨時(shí)間的增長(zhǎng)可無限地7

顯然，W(t)是t的單調(diào)增加函數(shù)，且當(dāng)t→∞時(shí)，W(t)→,即的實(shí)際意義是植物的極大質(zhì)量。數(shù)學(xué)模型植物生長(zhǎng)課件8考慮碳氮需求比例的模型基本假設(shè)

上節(jié)的初步模型不分別考察根葉的功能，也不區(qū)分植物生長(zhǎng)對(duì)碳氮的需求。為了改進(jìn)模型，我們放松上述第二個(gè)假設(shè)，既考慮生長(zhǎng)過程中對(duì)碳和氮需求的比例。假設(shè)：（1）將植物視作一個(gè)整體，不區(qū)分根和業(yè)的功能；（2）植物生長(zhǎng)不能缺少碳和氮；（3）植物生長(zhǎng)消耗的碳不僅依賴于供給的碳，也取決于供給的氮；（4）總能量的一定百分比用于結(jié)合產(chǎn)生新的組織?？紤]碳氮需求比例的模型基本假設(shè)9建立生長(zhǎng)方程設(shè)C(t)和N(t)分別為時(shí)刻t植物中碳和氮的濃度。設(shè)植物消耗碳的速率是Vf(C,N),，V為植物的體積。進(jìn)一步假設(shè)任何新生的植物的組織中碳和氮的比例與老的組織中的比例相同。設(shè)碳和氮的比例1：λ，那么植物消耗氮的速率為λVf(C,N)。另為結(jié)合能在總能量中所占比例，設(shè)r為植物干組織含碳的千摩爾轉(zhuǎn)化為植物質(zhì)量的轉(zhuǎn)化系數(shù)，那么生長(zhǎng)方程為：=rf(C(t),N(t))(4.1)建立生長(zhǎng)方程10f(C,N)的形式和質(zhì)量守恒方程

函數(shù)f應(yīng)該滿足兩個(gè)條件：（1）當(dāng)碳和氮之一的供給量減少時(shí)，消耗速度也隨之下降；（2）當(dāng)碳和氮的供給十分充足時(shí)，植物消耗碳的速率是確定的。若取f恒等于常數(shù)，此時(shí)模型實(shí)質(zhì)上退化為上節(jié)的初步模型，則我們?nèi)?4.2)

由于(4.2)式包含了時(shí)刻t碳和氮的濃度，生長(zhǎng)方程中又f(C,N)的形式和質(zhì)量守恒方程11

出現(xiàn)了兩個(gè)未知數(shù)，這就需要用質(zhì)量守恒在建立C(t)N(t）的兩個(gè)方程。有質(zhì)量守恒律，時(shí)刻t+?t碳的數(shù)量應(yīng)等于時(shí)刻t碳的數(shù)量加上這一段時(shí)間通過光合作用的到的碳并減去通過轉(zhuǎn)化為能量消耗的碳。有前面的假設(shè)，時(shí)段內(nèi)消耗的碳數(shù)量為Vf(C,N)?t。單位時(shí)間內(nèi)光合作用形成的碳的數(shù)量與植物的表面積成正比，也就是與植物的質(zhì)量成正比。設(shè)是比例系數(shù)，該時(shí)段內(nèi)光合作用形成的碳數(shù)量為W(t)?t。所以碳的數(shù)量為V(t+?t)C(t+?t)=V(t)C(t)+W(t)?t–Vf(C,N)?t（4.3)即：出現(xiàn)了兩個(gè)未知數(shù)，這就需要用質(zhì)量守恒在建立C(t)N12

（4.4)v(t)=，令?t→0，則

(4.5)同樣，有氮的質(zhì)量守恒可得：V(t+?t)N(t+?t)=V(t)N(t)+W(t)?t-λVf(C,N)?t(4.6)其中第三項(xiàng)是根部吸收的氮，最后一項(xiàng)是轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰肯牡牡窍奶荚氐摩吮丁?/p>

13(4.6)式可化為(4.7)這樣，模型就成為一個(gè)常微分方程組(4.8)其中f(C,N)由(4.2)式定義，r,λ,ρ,均為正數(shù)。

(4.6)式可化為14要使模型符合實(shí)際，參數(shù)必須恰當(dāng)選取。約為0.5，約為0.0002,為0.00002.ρ的典型值為100kg/,r約為30。

α、β使模型中兩個(gè)重要的參數(shù)，他們表示碳和氮的消耗速率。當(dāng)碳和氮十分豐富是，f(C,N)→,因而有：(4.9)解得：(4.10)要使模型符合實(shí)際，參數(shù)必須恰當(dāng)選取。約為0.5，約15求解和模型的驗(yàn)證設(shè)初始條件為W(0)=0.6,C(0)=0.35,N(0)=0.49(4.11)引入新的未知函數(shù)(t)=W(t)，(t)=W(t)C(t)，(t)=W(t)N(t)(4.12)常微分方程組(4.8)化為

(4.13)求解和模型的驗(yàn)證16

采用參數(shù)值：r=30，ρ=100，λ=0.22，α=0.08，β=1.6=0.5，=0.0002，=0.00002。用matlab求得數(shù)值解0501001502002503000.50.60.70.80.911.1時(shí)間質(zhì)量采用參數(shù)值：r=30，ρ=100，λ=0.22，17若碳或氮的攝入水平較低，植物生長(zhǎng)緩慢。下圖對(duì)應(yīng)的就是日照充分但土壤中氮肥不足的情況。設(shè)=0。植物開始生長(zhǎng)很快，但后來缺乏氮生長(zhǎng)變慢并逐漸停頓。0501001502002503000.550.60.650.70.750.80.850.9時(shí)間質(zhì)量若碳或氮的攝入水平較低，植物生長(zhǎng)緩慢。下圖對(duì)應(yīng)的18下圖則是缺碳的情形，取=0?？梢钥吹街参锷L(zhǎng)很快停止0501001502002503000.60.6050.610.6150.620.6250.630.6350.64時(shí)間質(zhì)量下圖則是缺碳的情形，取=0?？梢钥吹街参锷L(zhǎng)很快19根葉模型現(xiàn)在我們將模型擴(kuò)充為將植物分為葉和根兩部分，葉攝取碳，根攝取氮。葉和根之間的碳和氮可以互相輸送。

葉部氮庫根部氮庫葉部碳庫根部碳庫碳氮根葉模型現(xiàn)在我們將模型擴(kuò)充為將植物分為葉和根兩部分20模型的建立

再引入六個(gè)變量：葉重，根重；葉部和根部碳的濃度為；葉部和根部氮的濃度為。我們?cè)谌~部和根部分別建立三個(gè)方程，方程中的函數(shù)f(C,N)與上一節(jié)中相同。兩個(gè)生長(zhǎng)方程是：(5.1)(5.2)

模型的建立21

用質(zhì)量守恒建立葉部的碳方程時(shí)，應(yīng)有一表示碳從葉部輸送到根部的項(xiàng)，設(shè)碳從葉流向根部的速度正比于葉部和根部碳濃度之差。比例系數(shù)為。葉部和根部碳的方程為：(5.3)(5.4)同樣，氮從根部流向葉部的速度則正比于根部和葉部的氮濃度之比，比例系數(shù)為，根部和葉部氮的方程為：用質(zhì)量守恒建立葉部的碳方程時(shí)，應(yīng)有22

(5.5)

(5.6)

本模型為六個(gè)一階非線性方程聯(lián)立的常微分方程組。參數(shù)==0.0003，其余參數(shù)與上一節(jié)相同。