第03講平面向量的數(shù)量積（原卷版）

第03講平面向量的數(shù)量積1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．2．平面向量的數(shù)量積a·b=|a||b|·cosθ（θ為a與b的夾角）3．平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為.4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))一．平面向量數(shù)量積的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題點(diǎn)1平面向量的模例1．（1）已知向量，滿足，則（

）A． B． C．3 D．7（2）已知向量的夾角為60°，且，，則向量在方向上的投影向量的模等于（

）A． B． C． D．1（3）若平面向量，，兩兩夾角相等且不共線，若，，，則的值為（

）A． B． C．2 D．6（4）已知，則的取值范圍是___________.（5）已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為______．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘記開方.(2)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.（6）已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時(shí)，勿忘記開方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.命題點(diǎn)2平面向量的夾角例2．（1）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.(2)注意事項(xiàng)：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時(shí)，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判斷θ的值時(shí)，要注意cosθ<0時(shí)，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cosθ>0時(shí)，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.（2）已知，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．（3）已知向量是單位向量，向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．（4）已知，作，則____________．（5）平面內(nèi)有兩個(gè)向量，，將繞起點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，且，則與的夾角為______.（6）已知向量，滿足，，則______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，θ的取值范圍為[0，π]．②坐標(biāo)法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).③解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中．命題點(diǎn)3平面向量的垂直例3．（1）已知a，b是異面直線，，分別為取自直線a，b上的單位向量，且，，⊥，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B．6 C．3 D．（2）是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心（3）已知向量，的夾角為，且，若，則______.（4）已知向量與的夾角為，記且，則_____．（5）設(shè)向量滿足，若，則的值是________．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決有關(guān)垂直問題時(shí)，設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.(1)a⊥b?a·b＝0.(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.二．平面向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算例4．（1）如圖，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．（2）已知菱形的邊長為2，，是菱形內(nèi)一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．2（3）已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．（4）如圖，菱形的邊上有一點(diǎn)，邊上有一點(diǎn)（，不與頂點(diǎn)重合）且，若是邊長為的等邊三角形，則的范圍是（

）A． B． C． D．（5）如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，且.若，則___________；若，，，則___________.（6）在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_____．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想(1)坐標(biāo)法．把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．(2)基向量法．適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解．(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用．三．平面向量的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)1平面幾何中的向量方法例5．（1）P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形（2）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心（3）已知點(diǎn)是銳角的外心，，，，若，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3（4）如圖所示，設(shè)P為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（

）A． B． C． D．1（5）已知圓是的外接圓，半徑為1，且，則___________.（6）如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路及步驟(1)利用線性運(yùn)算證明的四個(gè)步驟：①選取基底.②用基底表示相關(guān)向量.③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系.④把幾何問題向量化.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明的四個(gè)步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.②把相關(guān)向量坐標(biāo)化.③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系.④把幾何問題向量化.命題點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用例6．（1）如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為米，一艘船從河岸的地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，船的速度與水流速度的合速度為，那么當(dāng)航程最短時(shí)，下列說法正確的是（

）A．船頭方向與水流方向垂直 B．C． D．該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為分鐘（2）在日常生活中，我們常常會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情景，若行李包所受的重力為，兩個(gè)拉力分別為，，且，與夾角為，當(dāng)兩人拎起行李包時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)角越大時(shí)，用力越省 D．當(dāng)時(shí)，（3）某學(xué)生體重為，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，假設(shè)他每只胳膊的最大拉力大小均為（重力加速度大小為g），如果要使胳膊得到充分的鍛煉，那么他兩只胳膊的夾角最大為（

）A． B． C． D．（4）河中水流自西向東每小時(shí)10km，小船自南岸A點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的B點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)10km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為()A．西偏北30°，速度為20km/hB．北偏西30°，速度為20km/hC．西偏北30°，速度為20km/hD．北偏西30°，速度為20km/h【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：用向量方法解決平面幾何(物理)問題的步驟1．若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．2．已知不共線的平面向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟?，且，則（

）A． B．2 C．3 D．2或33．已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．已知?jiǎng)t=（

）A．4 B． C．10 D．165．已知平面向量，，兩兩之間的夾角均相等，且，，，則（

）A． B． C． D．6．已知向量，滿足，，若與共線，則（

）A．2 B．4 C． D．227．已知，，與的夾角為，則（

）．A．2 B．3 C．4 D．58．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．9．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．10．如圖，在等邊中，，向量在向量上的投影向量為（

）A．B．C．D．11．若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．12．在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．13．在平行四邊形中，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C．2 D．614．在中，，斜邊上一點(diǎn)滿足，則（

）A．24 B．27 C．36 D．8115．已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）.A． B． C． D．16．在△ABC中，AB＝4，AC＝2點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A．－6 B．6 C．－12 D．1217．窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點(diǎn)A在圓O的圓周上，點(diǎn)P是圓O內(nèi)部一點(diǎn)，若，且，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．9 D．1618．已知向量，則“與夾角為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件19．的外心滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．220．已知兩恒力，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，則力、的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為（

）A． B．2 C．4 D．21．在中，若，則為（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定22．已知的外接圓半徑為1，圓心為O，且，則的值為（）A． B． C． D．23．點(diǎn)是三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是的（）A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)24．（多選）下列關(guān)于向量的命題正確的是（

）A．向量共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得成立B．對(duì)任意向量，恒成立C．非零向量，滿足，，則D．在中，為邊上一點(diǎn)，且，則25．（多選）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則26．（多選）設(shè)均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為27．（多選）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．直線AO必過BC邊的中點(diǎn)C．D．若，則28．（多選）下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)是的重心，則B．已知，，若，則C．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，M三點(diǎn)共線，若，則D．已知正方形的邊長為1，點(diǎn)M滿足，則29．設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則___________．30．已知向量，滿足，，，則______．31．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最大值為________________．32．已知向量，向量與向量共線，且，則______．33．已知菱形ABCD的邊長為，，點(diǎn)分別在邊BC，CD上，且滿足，，則____________.34．已知向量和的夾角為150°，且，，則在上的投影為___________.35．已知，且，則與的夾角的余弦值___________．36．已知與是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則k的取值