信號與系統(tǒng)吳大正第四章作業(yè)

信號與線形系統(tǒng)（第四版）吳大正主編第四章課后習題：4.1證明(n為正整數(shù))是在區(qū)間的正交函數(shù)集。它是否是完備的正交函數(shù)集？解:由于所以在區(qū)間內(nèi)是正交函數(shù)集。存在使得所以不是完備的正交函數(shù)集。4.2上題中的函數(shù)集在區(qū)間是否是正交函數(shù)集？解：所以仍為正交函數(shù)集。4.3討論圖4.1-2所示的前6個沃爾什函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否是正交函數(shù)集。解：由題意得所以前6個沃爾什函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是正交函數(shù)集。4.4前四個勒讓德函數(shù)多項式為-4-10141(a)-4-10141(a)-2-10123t1(b)解：(a)圖所示周期，角頻率(b)圖所示周期，角頻率4.8如題4.8圖所示的4個周期相同的信號。-TT/20T/2Tt1（a）-TT/20T/2Tt1（a）-TT/20T/2Tt1(b)-TT/20T/2Tt1(c)-TT/20T/2Tt1(c)-TT/20T/2Tt1(d)(1)用直接求傅里葉系數(shù)的方法求圖(a)所示信號的傅里葉級數(shù)(三角形式)。(2)將圖(a)的函數(shù)左(或右)移，就得圖(b)的函數(shù)，利用(1)的結(jié)果求的傅里葉級數(shù)。(3)利用以上結(jié)果求圖(c)的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。(4)利用以上結(jié)果求圖(d)的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。解：(1)由圖可得所以可得所以傅里葉級數(shù)為(2)由圖形可得(3)比較和的波形可得(4)由圖形可得4.9試畫出題4.9圖所示信號的奇分量和偶分量。-2-10123t1（a）-2-10123t1（a）-T-T/20T/2Tt1(b)解：由定義可得表示奇分量，表示偶分量對于(a)圖奇分量偶分量1/2-3-2-10123t1/2-3-2-10123t11/2-3-2-10123t對于(b)圖奇分量偶分量-T-T/20T/2Tt1/2-T-T/20T/2-T-T/20T/2Tt1/2-T-T/20T/2Tt14.10利用奇偶性判斷題4.10圖所示各周期信號的傅里葉級數(shù)中所含的頻率分量。-T-T/20T/2Tt1(a)-T-T/20T/2Tt1(a)-T-T/20T/2Tt1(b)-T/20T/2Tt1(c)-T/20T/2Tt1(c)-T-T/20T/2Tt1(d)解：4.11某1Ω電阻兩端電壓如題4.11圖所示。-101234t/s-101234t/su/V1(1)求的三角形式傅里葉級數(shù)。(2)利用(1)的結(jié)果和，求下列無窮級數(shù)之和。(3)求1Ω電阻的平均功率和電壓有效值。(4)利用(3)的結(jié)果求下列無窮級數(shù)之和4.12如題4.12圖所示的周期性方波電壓作用于RL電路，試求電流的前五次諧波。-2π-π-2π-π0π2πt1(a)1H+-1Ω0τt0τt1（a）0τt1(b)-101t1(c)-101t1(c)-T/20T/2t1(d)4.14依據(jù)題意(a)、(b)的結(jié)果，利用傅里葉變換的性質(zhì)，求題4.14圖所示各信號的福利葉變換。-τ0-τ0τt-11（a）-3-1013t21(b)(d)-τ0(d)-τ0τt2(c)-2τ02τt10t1(e)0t1(e)0t1(f)4.15若為虛函數(shù)，且，試證：(1)(2)4.16若為復函數(shù)，可為且。式中均為實函數(shù)，證明：(1)(2),4.17利用對稱性求下列函數(shù)的福利葉變換。(1)(2)(3)4.18求下列信號的傅里葉變換。(1)(2)(3)(4)(5)4.19試用時域微積分性質(zhì)，求題4.19圖所示信號的頻譜。-τ0-τ0τt1-τ/20τ/2t1(b)4.20若已知，試求下列函數(shù)的頻譜。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)4.21求下列函數(shù)的傅里葉逆變換。(1)(2)(3)(4)(5)4.22利用傅里葉變換性質(zhì)，求題4.22圖所示函數(shù)的傅里葉逆變換。0ω0ωA0ωA00t(a)（b）0ω4.23試用下列方法求題4.23圖所示信號的頻譜函數(shù)。-3-1013t-3-1013t1(1)利用延時和線性性質(zhì)(門函數(shù)的頻譜可利用已知結(jié)果)(2)利用時域的積分定理。(3)將看作門函數(shù)與沖擊函數(shù)的卷積和。4.24試用下列方法求題4.24圖所示余弦脈沖的頻譜函數(shù)。-101t-101t1(1)利用福利葉變換定義。(2)利用微分、積分特性。(3)將它看作門函數(shù)與周期余弦函數(shù)的乘積。4.25試求題4.25圖所示周期信號的頻譜函數(shù)。圖(b)中沖擊函數(shù)的強度均為1。-3-1013t1(a)-3-1013t1(a)-2T-T0T2Tt1(b)4.26題4.26圖所示升余弦脈沖可表示為試用以下方法求其頻譜函數(shù)。利用福利葉變換的定義。利用微分、積分特性。將它看作門函數(shù)與題4.25(a)圖函數(shù)的乘積。4.27如題4.27圖所示信號的頻譜函數(shù)為，求下列各值[不必求出]。(1)(2)(3